Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken

Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken Übung

• Beschreibe die Berechnung des Flächeninhalts.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Quadrates ist das Produkt der beiden Seiten.

  Ein rechtwinkliges Dreieck ist immer die Hälfte eines Rechtecks.

  Ein Dreieck mit der Grundseite $5$ und der Höhe $4$ hat den Flächeninhalt:

  $A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10$.

  Lösung

  Mofa berechnet den Flächeninhalt verschiedener Gemüsebeete. Diese haben die Form von Rechtecken oder rechtwinkligen Dreiecken. Bei einem Rechteck ist der Flächeninhalt das Produkt der beiden Seiten. Jedes rechtwinklige Dreieck ist die Hälfte eines Rechtecks. Sein Flächeninhalt ist daher die Hälfte des Flächeninhalts dieses Rechtecks, d. h. die Hälfte des Produktes der beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden.

  Mofas erstes Gemüsebeet hat die Form eines Rechtecks. Seinen Flächeninhalt kann Mofa daher einfach ausrechnen: Dies ist das Produkt der beiden Seiten des Rechtecks.

  Also Länge $\cdot$ Breite.

  Mofa kann das auch als Formel aufschreiben:

  $A = l \cdot b$.

  Bei einer Breite von $b = 5$ und einer Länge von $l=3$ ergibt sich daher der Flächeninhalt für das Rechteck:

  $A = 3 \cdot 5= 15$.

  Jedes rechtwinklige Dreieck entsteht aus einem Rechteck durch Halbierung längs einer Diagonalen des Rechtecks. Umgekehrt kann man aus zwei kongruenten rechtwinkligen Dreiecken wieder ein Rechteck zusammensetzen. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist daher genau die Hälfte des Flächeninhalts des zugehörigen Rechtecks.

  Als Formel schreibt man für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks:

  $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$.

  Mofa erhält also:

  $A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7,5$.

  Hierbei ist $g$ eine Grundseite und $h$ die zugehörige Höhe des Dreiecks. Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann man die Rollen von Grundseite und Höhe vertauschen. Denn jede der beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, steht auf der jeweils anderen Seite senkrecht. Daher kann jede dieser beiden Seiten die Höhe zu der jeweils anderen Seite sein.

• Bestimme den Flächeninhalt.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der beiden Seiten.

  Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produktes der beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden.

  Bei einem Dreieck mit den Seiten $3$, $4$ und $5$ bilden die beiden kürzeren Seiten den rechten Winkel. Der Flächeninhalt ist daher:

  $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.

  Lösung

  Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks kannst du ausrechnen, indem du die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, multiplizierst und von dem Produkt die Hälfte nimmst. Ohne den Faktor $\frac{1}{2}$ erhältst du den Flächeninhalt des Rechtecks mit diesen beiden Seiten.

  • Das Rechteck mit den Seitenlängen $3$ und $5$ hat den Flächeninhalt $A = 3 \cdot 5 = 15$.

  • Der Flächeninhalt des Dreiecks mit den beiden kürzeren Seiten der Längen $3$ und $5$ ist $A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7,5$.

  • Der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Seitenlängen $8$, $15$ und $17$ ist $A=\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$. Denn bei jedem rechtwinkligen Dreieck liegt der rechte Winkel zwischen den beiden kürzeren Seiten.

  • Für das Dreieck mit den Seitenlängen $17,2$, und $21,5$ und $27,53$ findest du den Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot 17,2 \cdot 21,5 = 184,9$.

• Bestimme den Flächeninhalt.

  Tipps

  In der Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks kommt die Hypotenuse des Dreiecks nicht vor.

  Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seitenlängen $3$, $4$ und $5$ ist:

  $A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.

  Lösung

  Mofa hat alle Beete als Dreiecke geplant. Die meisten der Dreiecke sind rechtwinklig. Für diese hat Mofa die Formel $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ direkt aus der Fläche des zugehörigen Rechtecks abgelesen. Auch für die nicht rechtwinkligen Vierecke kann er diese Formel verwenden, wenn er die Größen $g$ und $h$ richtig verwendet. Denn $g$ ist als Grundseite immer eine der Seiten des Dreiecks. $h$ ist die zugehörige Höhe, also eine zur Grundseite senkrechte Strecke von der Grundseite (oder ihrer Verlängerung) bis zur gegenüberliegenden Ecke. Im Fall eines rechtwinkligen Dreiecks kann Mofa jede der beiden Seiten an dem rechten Winkel als Grundseite wählen. Die jeweils andere Seite ist dann die zugehörige Höhe.

  In den Konstruktionen sind einige Dinge durcheinander geraten:

  1. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts ist korrekt, aber die Seiten im Dreieck sind nicht dazu passend bezeichnet. Die mit $h$ bezeichnete Seite ist die Hypotenuse und steht nicht senkrecht auf der Grundseite $g$.
  2. Die Seiten des Dreiecks sind korrekt bezeichnet und die Formel für den Flächeninhalt ist ebenfalls korrekt.
  3. Das Dreieck ist die Hälfte eines Quadrates, daher sind die beiden Katheten gleich lang. Die Länge $a = 1,41$ ist ungefähr dasselbe wie $\sqrt{2}$, daher ist der Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \approx \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.
  4. Das Dreieck ist rechtwinklig, die beiden Katheten sind $2$ und $8$. Daher ist der Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8$.
  5. Das Dreieck ist nicht rechtwinklig. Dennoch kannst du dieselbe Formel $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ für den Flächeninhalt verwenden wie bei rechtwinkligen Dreiecken, wenn du die Größen $g$ und $h$ richtig zuordnest. Die Grundseite $g$ muss eine Seite des Dreiecks sein und $h$ die zugehörige Höhe. In dem Bild stehen $g$ und $h$ nicht aufeinander senkrecht und $g$ ist keine Seite des Dreiecks. Zudem fehlt in der Formel für den Flächeninhalt der Faktor $\frac{1}{2}$.

• Bestimme den Flächeninhalt.

  Tipps

  Um den Flächeninhalt eines rechteckigen Beetes zu bestimmen, kannst du die Länge und Breite des Rechtecks multiplizieren.

  Ist der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks doppelt so groß wie $5~\text m^2$, so kannst du nichts über die Seitenlängen dieses Dreiecks bestimmen.

  Die dritte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks kannst du mit dem Satz des Pythagoras bestimmen: Ist die kürzeste Seite $3~\text m$ lang und die längste $5~\text m$, so ist die Länge der mittleren Seite in $\text m$:

  $\sqrt{5^2 -3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$

  Lösung

  Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks kannst du mit einer einfachen Formel ausrechnen: Du multiplizierst die Längen der beiden kürzeren Seiten (der Katheten) und teilst das Produkt durch $2$. Hier sind die Flächeninhalte der einzelnen Beete:

  Salat: Die längste Seite ist die Hypotenuse. Mofa muss zuerst die Länge der zweiten Kathete ausrechnen. Das geht mit dem Satz des Pythagoras. Sind die beiden Katheten $a=3~\text m$ und $b = ?$ und die Hypotenuse $c = 5~\text m$, so kannst du die Formel des Pythagoras $a^2 + b^2 = c^2$ nach $b$ auflösen:

  $b = \sqrt{b^2} = \sqrt{c^2-a^2} = \sqrt{25-9}~\text m = \sqrt{16}~\text m = 4~\text m$.

  In die Formel für den Flächeninhalt gehen die beiden Katheten $a= 3~\text m$ und $b = 4~\text m$ ein. Der Flächeninhalt ist dann:

  $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4~\text m^2 = 6~\text m^2$.

  Blaukraut: Sind in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seiten gleich lang, so müssen dies die Katheten sein. Denn die Hypotenuse ist stets länger als jede der beiden Katheten. Ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei gleich langen Seiten ist die Hälfte eines Quadrates. Der Flächeninhalt ist $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a^2$. Die Länge dieser Seite $a$ ist gegeben durch die Hypotenuse des Salatbeetes, also $a = 5~\text m$. Die beiden Seiten in der Formel des Flächeninhaltes haben also jeweils die Länge $5~\text m$. Mofa erhält daraus den Flächeninhalt:

  $A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5~\text m^2 = 12,5~\text m^2$.

  Gelbe Rüben: Das Beet für die Gelben Rüben ist die Hälfte eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a = 3,5~\text m$ und $b = 7~\text m$. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist das Produkt dieser beiden Längen. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist halb so groß, also:

  $A = \frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot 7 = 12,25~\text m^2$.

  Die beiden Seiten des Dreiecks, die zur Berechnung des Flächeninhaltes verwendet wurden, sind $a = 3,5~\text m$ und $b=7~\text m$.

  Rote Bete: Der Flächeninhalt des Beetes für die Rote Bete ist doppelt so groß wie der des Beetes für die Gelben Rüben. Dies ist nur eine Aussage über den Flächeninhalt. Die Seitenlängen des Beetes für die Rote Bete sind nicht bekannt. Das Beet für die Gelben Rüben hat einen Flächeninhalt von $12,25~\text m^2$. Daher findet Mofa für die Rote Bete den Flächeninhalt:

  $A = 2 \cdot 12,25~\text m^2 = 24,5~\text m^2$.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Ein rechtwinkliges Dreieck hat zwei Katheten und eine Hypotenuse.

  Jede Höhe in einem Dreieck steht senkrecht auf einer Seite des Dreiecks.

  Der rechte Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck wird von den beiden Katheten gebildet.

  Lösung

  Ein rechtwinkliges Dreieck hat verschieden lange Seiten. Die längste Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie heißt Hypotenuse. Da die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüberliegt, wird der rechte Winkel von den beiden anderen Seiten, den Katheten, gebildet. Sie sind in jedem Fall kürzer als die Hypotenuse. Die beiden Katheten können gleich lang sein. Die Höhe in einem Dreieck ist eine Strecke, die auf einer Dreieckseite senkrecht steht. Ist das Dreieck nicht rechtwinklig, so gibt es keine zwei Seiten, die aufeinander senkrecht stehen. Daher kann keine Höhe eine Seite des Dreiecks sein.

  Mit diesen Überlegungen findest du folgende Sätze:

  • In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse ... die längste Seite.

  • In einem rechtwinkligen Dreieck liegt an dem rechten Winkel ... die kürzeste Seite.

  • In einem nicht rechtwinkligen Dreieck ist die Höhe ... keine der Dreiecksseiten.

  • In jedem Dreieck ist die Höhe ... senkrecht zur Grundseite.

• Charakterisiere die Bestimmung des Flächeninhalts von nicht rechtwinkligen Dreiecken.

  Tipps

  Da die Höhe immer senkrecht auf der Grundseite steht, haben wir mit ihr die Möglichkeit unsere beliebigen Dreiecke in rechtwinklige Dreiecke aufzuteilen oder zu rechtwinkligen zu ergänzen.

  In dem Bild des stumpfwinkligen Dreiecks siehst du drei Dreiecke. Überlege, wie du den Flächeninhalt von $\Delta_{ABC}$ aus den Flächeninhalten der beiden anderen Dreiecke bestimmen kannst.

  Lösung

  Für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks hast du die Formel $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ kennengelernt. Hierbei sind $g$ und $h$ die beiden Katheten des Dreiecks. Auch für andere als rechtwinklige Dreiecke gilt diese Formel, wenn du die Größen $g$ und $h$ richtig einsetzt. In dieser Aufgabe siehst du die Begründung einmal für spitzwinklige und dann für stumpfwinklige Dreiecke:

  Spitzwinkliges Dreieck: Die Höhe $h$ in dem spitzwinkligen Dreieck $\Delta_{ABC}$ im ersten Bild zerlegt dieses Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke $\Delta_{ADC}$ und $\Delta_{DBC}$. Der Flächeninhalt dieser Dreiecke ist nach der bekannten Formel:

  $A(\Delta_{ADC}) = \frac{1}{2} \cdot g_1 \cdot h$

  und

  $A(\Delta_{DBC}) = \frac{1}{2} \cdot g_2 \cdot h$.

  Denn beide Dreiecke haben die gemeinsame Kathete $h$ und die jeweils andere Kathete ist $g_1$ bzw. $g_2$. Da das Dreieck $\Delta_{ABC}$ genau aus den beiden rechtwinkligen Dreiecken zusammen gesetzt ist, ergibt die Summe der Flächeninhalte von $\Delta_{ADC}$ und $\Delta_{DBC}$ den Flächeninhalt von $\Delta_{ABC}$:

  $A(\Delta_{ABC}) = A(\Delta_{ADC}) + A(\Delta_{DBC})$.

  Für die Grundseite $g=\overline{AB}$ von $\Delta_{ABC}$ gilt:

  $g = g_1 + g_2$.

  Den Flächeninhalt von $\Delta_{ABC}$ kann man demnach durch folgende Formel berechnen:

  $A(\Delta_{ABC})= \frac{1}{2} \cdot (g_1 + g_2) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$.

  Stumpfwinkliges Dreieck: Die außerhalb liegende Höhe $h$ zur Grundseite $g=\overline{AB}$ in dem stumpfwinkligen Dreieck $\Delta_{ABC}$ bildet die beiden rechtwinkligen Dreiecke $\Delta_{ADC}$ und $\Delta_{BDC}$. Für diese beiden kannst du wieder die bekannte Formel für den Flächeninhalt verwenden. Der Flächeninhalt von $\Delta_{ADC}$ ist:

  $A(\Delta_{ADC}) = \frac{1}{2} \cdot (g + g') \cdot h$.

  Der Flächeninhalt von $\Delta_{BDC}$ dagegen ist:

  $A(\Delta_{BDC}) = \frac{1}{2} \cdot g' \cdot h$.

  Das Dreieck $\Delta_{ADC}$ kannst du aus den beiden Dreiecken $\Delta_{ABC}$ und $\Delta_{BDC}$ zusammensetzen. Daher ist sein Flächeninhalt die Summe der Flächeninhalte dieser beiden Dreiecke. Umgekehrt ist also die Differenz der Flächeninhalte von $\Delta_{ADC}$ und $\Delta_{BDC}$ der gesuchte Flächeninhalt von $\Delta_{ABC}$:

  $A(\Delta_{ABC}) = A(\Delta_{ADC}) - A(\Delta_{BDC}) = \frac{1}{2} \cdot \big((g+g') - g'\big) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$.

  Nutzt du in diesem Dreieck die Seite $\overline{AC}$ als Grundseite, kannst du ebenso wie beim spitzwinkligen Dreieck vorgehen.