Fehlende Größen im Dreieck berechnen

Fehlende Größen im Dreieck berechnen Übung

• Vervollständige den Text zur Wiederholung der Größen von Dreiecken.

  Tipps

  Mit den hier gekennzeichneten Längen kann der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet werden.

  Die allgemeine Formel zur Berechnung des Umfangs eines Dreiecks addiert alle drei Seiten miteinander.

  Die Fläche eines Dreiecks ist genau halb so groß, wie die eines Rechtecks mit den Seiten $g$ und $h$.

  Lösung

  Ein Dreieck ist eine geometrische Figur mit drei Ecken und drei Seiten. Um den Flächeninhalt eines Dreiecks auszurechnen, benötigen wir die Grundseite $g$ und die Höhe $\color{#99CC00}{h}$. Es gibt also zu jeder der drei Seiten eines Dreiecks eine dazugehörige Höhe $h$.

  Der Flächeninhalt $A$ wird berechnet, indem die Grundseite $g$ mit der Höhe $h$ multipliziert und anschließend halbiert wird. Die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet also:

  $A = \color{#99CC00}{\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h}$

  Rechenbeispiel:

  Gegeben ist die Grundseite $g$ eines Dreiecks mit $g=10~\text{cm}$ und der Höhe $h=4~\text{cm}$. Wir berechnen den Flächeninhalt wie folgt:

  $\begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 10~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 40~\text{cm}^{2} \\ \\ &=& 20~\text{cm}^{2} \end{array}$

  Addieren wir hingegen alle drei Seiten eines Dreiecks, so können wir den Umfang eines Dreiecks berechnen. Die allgemeine Formel zur Berechnung des Umfangs von Dreiecken lautet:

  $U = \color{#99CC00}{a + b + c}$

  Rechenbeispiel:

  Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen $a=4~\text{cm}$, $b=7~\text{cm}$ und $c=11~\text{cm}$. Wir stellen die Gleichung zur Berechnung des Umfangs auf und rechnen aus:

  $\begin{array}{rcl} U &=& a + b + c \\ \\ &= &4~\text{cm} +7~\text{cm} + 11~\text{cm}\\ \\ &=& 22 ~\text{cm} \end{array}$

• Gib die fehlenden Größen des gleichschenkligen Dreiecks an.

  Tipps

  Setze die gegebenen Größen in die passende Formel ein und überlege, welchen Wert die gesuchte Größe haben muss, damit die Gleichung stimmt.

  Die Flächeninhaltsformel von Dreiecken lautet:

  $A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$

  Die Umfangsformel eines gleichschenkligen Dreiecks lautet:

  $U = 2a + b$

  Lösung

  Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Diese werden als Schenkel bezeichnet. Die dritte Seite nennt man Basis.

  Um den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks zu ermitteln, müssen wir die Gleichung aufstellen und die gegebenen Werte einsetzen und berechnen. Die Werte $U=18~\text{m}$ und $a=5~\text{m}$ werden in die Formel ${U = 2\cdot a + b}$ eingesetzt:

  $\begin{array}{lrcl} & U &=& 2 \cdot a + b& \\ & 18~\text{m} &= &2 \cdot 5~\text{m} + b \\ & 18~\text{m} &=& 10~\text{m} + b \\ \Leftrightarrow & b &=& \underline{\underline{\color{#99CC00}{8}\color{black}{~\text{m}}}} \end{array}$

  Um den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks zu ermitteln, müssen wir die allgemeine Gleichung aufstellen, die gegebenen Werte einsetzen und berechnen. Die Werte $A=7,\!5~\text{m}^{2}$ und $g = 5~\text{m}$ werden in die Flächeninhaltsformel $A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$ eingesetzt:

  $\begin{array}{lrcl} & A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ \\ & 7,\!5~\text{m}^{2} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 5~\text{m} \cdot h \\ \\ & 7,\!5~\text{m}^{2} &=& 2,\!5~\text{m} \cdot h \\ \\ \Leftrightarrow & h &=& \underline{\underline{\color{#99CC00}{3}\color{black}{~\text{m}}}} \end{array}$

• Berechne die fehlenden Größen im Dreieck.

  Tipps

  Hier siehst du die Formel für den Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks.

  Der Umfang eines Dreiecks entspricht der Summe aller Seitenlängen.

  Beispiel:

  Gegeben sind $U=15~\text{cm}$, $a = 5 ~\text{cm}$ und $c=4~\text{cm}$. Die Lösung für die Seite $b$ lautet:

  $\begin{array}{lrcl} & U &=& a + b + c& \\ & 15~\text{cm} &=& 5 ~\text{cm} + b + 4~\text{cm} \\ & 15~\text{cm} &=& 9~\text{cm} + b \\ \Leftrightarrow & b &=& 6~\text{cm}& \end{array}$

  Da $9 + 6 = 15$ ergibt.

  In unserem Rechenbeispiel lautet die Lösung für die dritte Seitenlänge ${b=6~\text{cm}}$.

  Lösung

  Gegeben ist die Grundseite eines spitzwinkligen Dreiecks ${g = 7~\text{m}}$ und der dazugehörige Flächeninhalt ${A =14~\text{m}^{2}}$.
  Um die Höhe $h$ auszurechnen, setzen wir die gegebenen Werte in die Flächeninhaltsformel ein und fassen zusammen. Dann überlegen wir, welchen Wert die gesuchte Größe $h$ haben muss:

  $\begin{array}{lrcl} & A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ \\ & 14~\text{m}^{2} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 7~\text{m} \cdot h \\ \\ & 14~\text{cm}^{2} &=& 3,\!5~\text{cm} \cdot h \\ \\ \Leftrightarrow & h &=& \underline{\underline{\color{#99CC00}{4}\color{black}{~\text{m}}}} \end{array}$

  Da $3,\!5 \cdot 4 = 14$.

  Nun sind zusätzlich ${U=21~\text{m}}$ und ${f=6~\text{m}}$ gegeben. Mit der Seite ${g = 7~\text{m}}$ können wir die Gleichung zur Berechnung des Umfangs aufstellen und vereinfachen, um dann auf den passenden Wert für $e$ zu kommen. In unserem Beispiel lautet die Umfangsformel wie folgt:

  $\begin{array}{lrcl} & U &=& e + f + g& \\ & 21~\text{m} &=& e + 6~\text{m} + 7~\text{m} \\ & 21~\text{m} &=&e + 13~\text{m} \\ \Leftrightarrow & e &=& \underline{\underline{\color{#99CC00}{8}\color{black}{~\text{m}}}} \end{array}$

  Da $8 + 13 = 21$.

• Bestimme die gesuchten Größen im Dreieck.

  Tipps

  Was für jedes Dreieck gilt, siehst du auf dieser Abbildung.

  Überlege, für welchen Wert der gesuchten Größe die Formel mit den gegebenen Größen das richtige Ergebnis liefert.

  Beispiel:

  $\begin{array}{lrcl} & 15 &=& x \cdot 3 \\ \Leftrightarrow & x &=& 5 \end{array}$

  Da $5 \cdot 3 = 15$.

  Lösung

  Die Flächeninhaltsformel eines Dreiecks lautet:

  $A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$

  Für den Umfang eines Dreiecks mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ gilt allgemein:

  $U = a + b + c$

  
  Wollen wir bei gegebenem Flächeninhalt oder Umfang eine der Seiten berechnen, setzen wir die gegebenen Größen in die passende Formel ein. Dann überlegen wir, für welchen Wert der gesuchten Größe die Formel stimmt.

  Beispiel 1

  $~{A = 36~\text{cm}^{2}}$, ${g = 18~\text{cm}}$, ${h =\ ?}$

  $\begin{array}{lrcl} & A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ \\ & 36~\text{cm}^{2} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 18~\text{cm} \cdot h \\ \\ & 36~\text{cm}^{2} &=& 9~\text{cm} \cdot h \\ \\ \Leftrightarrow & h &=& \underline{\underline{4~\text{cm}}} \end{array}$

  Da $~9 \cdot 4 = 36$.

  Beispiel 2

  $~{h = 12~\text{cm}}$, ${g = 7~\text{cm}}$, ${A =\ ?}$

  $\begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g\cdot h \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 7~\text{cm} \cdot 12~\text{cm} \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 84~\text{cm}^{2} \\ \\ &=& \underline{\underline{42~\text{cm}^{2}}} \end{array}$

  Beispiel 3

  $~{U = 23~\text{cm}}$, ${a = 5~\text{cm}}$, ${c = 7~\text{cm}}$, ${b =\ ?}$

  $\begin{array}{lrcl} & U &=& a + b + c \\ & 23~\text{cm} &=& 5~\text{cm} + b + 7~\text{cm} \\ & 23~\text{cm} &=& 12~\text{cm} + b \\ \Leftrightarrow & b &=& \underline{\underline{11~\text{cm}}} \end{array}$

  Da $12 + 11 = 23$.

  Beispiel 4

  $~{A = 48~\text{cm}^{2}}$, ${g = 16~\text{cm}}$, ${h =\ ?}$

  $\begin{array}{lrcl} & A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ \\ & 48~\text{cm}^{2} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 16~\text{cm} \cdot h \\ \\ & 48~\text{cm}^{2} &=& 8~\text{cm} \cdot h \\ \\ \Leftrightarrow & h &=& \underline{\underline{6~\text{cm}}} \end{array}$

  Da $8 \cdot 6 = 48$.

  Beispiel 5

  $~{U = 32~\text{cm}}$, ${a = 4~\text{cm}}$, ${c = 13~\text{cm}}$, ${b =\ ?}$

  $\begin{array}{lrcl} & U &=& a + b + c \\ & 32~\text{cm} &=& 4~\text{cm} + b + 13~\text{cm} \\ & 32~\text{cm} &=& 17~\text{cm} + b \\ \Leftrightarrow & b &=& \underline{\underline{15~\text{cm}}} \end{array}$

  Da $17 + 15 = 32$.

  Beispiel 6

  ${g = 4~\text{cm}}$, ${h = 29~\text{cm}}$, ${A =\ ?}$

  $\begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g\cdot h \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 4~\text{cm} \cdot 29~\text{cm} \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 116~\text{cm}^{2} \\ \\ &=& \underline{\underline{58~\text{cm}^{2}}} \end{array}$

• Berechne den Flächeninhalt des Dachgiebels.

  Tipps

  Prüfe, welche besondere Eigenschaft das dargestellte Dreieck aufweist.

  Die Seite $b$ liegt senkrecht zur Seite $a$. Dasselbe gilt auch umgekehrt.

  Beispiel:

  Gegeben sind die kurze Seite $a = 8 ~\text{cm}$ und die Seite $b = 4 ~\text{cm}$ eines rechtwinkligen Dreiecks. Durch die Flächeninhaltsformel können wir den gesuchten Flächeninhalt $A$ ermitteln:

  $\begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 8~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 32~\text{cm}^{2} \\ \\ &=& 16~\text{cm}^{2} \end{array}$

  Lösung

  Der Dachgiebel dieses Hauses ist ein rechtwinkliges Dreieck. Zwischen zwei Seiten dieses Dreiecks besteht also ein $\color{#99CC00}{90^\circ}$-Winkel. Der rechte Winkel wird im Dreieck als Punkt im Winkelzeichen angegeben. Die anderen beiden Winkel sind demnach spitze Winkel und somit kleiner als $90^\circ$. Durch diese Eigenschaften kann man in diesem Dreieck besonders leicht Berechnungen durchführen.

  Gegeben sind die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks $a = 10 ~\text{m}$ und $b = 7 ~\text{m}$. Um den Flächeninhalt $A$ auszurechnen, setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein:

  $\begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \\ \\ A &=& \dfrac{1}{2} \cdot 10~\text{m} \cdot 7~\text{m} \\ \\ A &=& \dfrac{1}{2} \cdot 70~\text{m}^{2} \\ \\ A &=& \underline{\underline{\color{#99CC00}{35}~\color{black}{\text{m}^{2}}}} \end{array}$

• Ermittle den Flächeninhalt der Teildreiecke.

  Tipps

  Ein gleichschenkliges Dreieck besteht aus zwei gleichlangen Seiten und einer weiteren Seite. Es ist symmetrisch.

  Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, müssen im ersten Schritt die Grundseite und die Höhe multipliziert werden.

  Mit der bekannten Gesamtfläche und der Höhe kannst du die Länge der Grundseite $g$ bestimmen.

  Lösung

  Gegeben ist der Gesamtflächeninhalt $A = 112~\text{cm}^2$ und die Höhe $h = 16~\text{cm}$. Wir können daraus die Grundseite $g$ berechnen:

  $\begin{array}{lrcl} & A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ \\ & 112~\text{cm}^{2} &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot 16~\text{cm} \\ \\ & 112~\text{cm}^{2} &=& 8~\text{cm} \cdot g \\ \\ \Leftrightarrow & g &=& 14~\text{cm} \end{array}$

  Um die Grundseiten (diese bezeichnen wir hier mit $g_{1/3}$) der kleinen Dreiecke zu berechnen, ziehen wir die Länge der grünen Seite von $g$ ab und teilen durch $2$:

  $g_{1/3} = \dfrac{g - 7~\text{cm}}{2} = \dfrac{14~\text{cm} - 7~\text{cm}}{2} = 3{,}5~\text{cm}$

  Hier haben wir durch $2$ geteilt, da wir links und rechts die gleichen Dreiecke mit der gleichen Grundseitenlänge haben.

  Die Höhe ($h_{1/3}$) der kleinen Dreiecke ermitteln wir, indem wir die Höhe durch $2$ teilen, da die grüne Linie die Höhe genau halbiert:

  $h_{1/3} = \dfrac{h}{2} = \dfrac{16~\text{cm}}{2} = 8~\text{cm}$

  Damit haben wir alle Bestandteile, um die Flächeninhalte der unteren Dreiecke zu berechnen:

  $A_1 = \dfrac{1}{2}\cdot g_1 \cdot h_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 3{,}5~\text{cm} \cdot 8~\text{cm} = \underline{\underline{\color{#99CC00}{14}\color{black}{~\text{cm}^2}}}$

  Das entspricht auch $A_3$, denn die Gesamtfigur ist als gleichschenkliges Dreieck symmetrisch.

  Das obere Dreieck können wir analog mit der Höhe $h_2 = 8~\text{cm}$ berechnen, da das die obere Hälfte der Gesamthöhe ist. Als Grundseite nehmen wir die grüne Linie $g_2 = 7~\text{cm}$. Damit erhalten wir:

  $A_2 = \dfrac{1}{2}\cdot g_2 \cdot h_2 = \dfrac{1}{2} \cdot 7~\text{cm} \cdot 8~\text{cm} = \dfrac{1}{2} \cdot 56~\text{cm}^2 = \underline{\underline{\color{#99CC00}{28}\color{black}{~\text{cm}^2}}}$

  Zusammengefasst ergeben sich die folgenden Teilflächen:

  • $A_1 = 14~\text{cm}^2$
  • $A_2 = 28~\text{cm}^2$
  • $A_3 = 14~\text{cm}^2$

  Hinweis: Alternativ kannst du auch eine der drei Dreiecksflächen und die Fläche des Rechtecks in der Mitte berechnen. Diese ziehst du dann vom Gesamtflächeninhalt ab, um die anderen zwei Flächen zu bestimmen. Das funktioniert, da es sich hier um ein gleichschenkliges und daher symmetrisches Dreieck handelt.