Dreiecke aus gegebenen Angaben zeichnen

Dreiecke aus gegebenen Angaben zeichnen Übung

• Bestimme, welche Dreiecke eindeutig konstruierbar sind.

  Tipps

  Die Summe der beiden kürzeren Seiten eines Dreiecks muss länger sein als die längste Seite des Dreiecks.

  Zur Lösung dieser Aufgabe kannst du versuchen, Dreiecke mit diesen Angaben aufzuzeichnen.

  Es gibt unendlich viele rechtwinklige Dreiecke.

  Lösung

  Wenn wir nur einen Winkel kennen, können wir mit diesem unendlich viele unterschiedliche Dreiecke konstruieren.

  Eine Vorgabe von zwei Seiten und einem Winkel, dessen Lage nicht bekannt ist, ermöglicht die Konstruktion mehrerer unterschiedlicher Dreiecke.

  Sind drei Seitenlängen gegeben, ist das Dreieck eindeutig konstruierbar. Wichtig ist dabei, dass die Summe der beiden kürzeren Seiten länger ist als die längste Seite. Dies ist der Fall bei:

  • $a=9\ \text{cm}$; $b=7\ \text{cm}$; $c=4\ \text{cm}$, denn $9<11=7+4$

• Beschreibe, wie du ein Dreieck, dessen drei Seitenlängen gegeben sind, konstruierst.

  Tipps

  Zeichne zuerst die längste Seite des Dreiecks.

  Die Seite $b$ entspricht der Strecke $\overline{AC}$ und die Seite $a$ der Strecke $\overline{BC}$.

  Lösung

  Ein Dreieck, bei dem drei Seitenlängen bekannt sind und bei dem die beiden kürzeren Seiten zusammen länger sind als die längste Seite, ist eindeutig konstruierbar.

  Bei der Konstruktion eines solchen Dreiecks gehen wir wie folgt vor:

  1. Wir zeichnen mit einem Lineal die Strecke $\overline{AB}$, also die längste Seite $c$ des Dreiecks.
  2. Wir stellen den Zirkel auf die Länge von $b$ ein und zeichnen einen Kreisbogen um $A$.
  3. Wir stellen den Zirkel auf die Länge von $a$ ein und zeichnen einen Kreisbogen um $B$.
  4. Den Punkt, in dem sich die beiden Kreisbogen schneiden, beschriften wir mit $C$.
  5. Mit einem Lineal zeichnen wir die Seiten $a$ und $b$, indem wir den Punkt $C$ jeweils mit den Punkten $A$ und $B$ verbinden.

• Erläutere, wann ein Dreieck, dessen drei Seitenlängen bekannt sind, konstruierbar ist.

  Tipps

  Überlege, was für die kürzeren Seiten eines Dreiecks gelten muss, damit überhaupt ein Dreieck entstehen kann.

  Ein Dreieck entsteht erst dann, wenn die längste Seite kürzer ist als die beiden kurzen Seiten zusammen.

  Lösung

  In einem Dreieck ist die Summe der beiden kürzeren Seiten immer länger als die längste Seite, also gilt hier:

  $c<a+b$

  Nur in diesem Fall ist es überhaupt möglich, ein Dreieck zu zeichnen.

  Andernfalls würden sich die Enden zweier Seiten nicht im dritten Punkt treffen (falls $c>a+b$) oder alle Punkte würden auf einer Strecke liegen (falls $c=a+b$).

• Erschließe, bei welchen der Angaben die Konstruktion eines Dreiecks möglich ist.

  Tipps

  Überlege dir, wie groß die Summe der kürzesten Seiten mindestens sein muss, damit ein Dreieck konstruiert werden kann.

  Ein gleichseitiges Dreieck besitzt drei gleich lange Seiten.

  Das Dreieck mit den Seitenlängen $3\ \text{cm}$, $4\ \text{cm}$ und $5\ \text{cm}$ kann konstruiert werden, da die Dreiecksungleichung wie folgt erfüllt ist:

  • $3\ \text{cm}+4\ \text{cm}=7\ \text{cm}>5\ \text{cm}$

  Lösung

  Bevor wir die Angaben zu den Dreiecken untersuchen, wiederholen wir die Bedingung für die Seiten von Dreiecken:

  • Haben wir drei Seiten eines Dreiecks gegeben, muss die längste Seite kleiner als die Summe der beiden kürzeren Seiten sein.

  Mit dieser Bedingung können wir nun die Angaben überprüfen:

  Beispiel 1

  Die Seiten $a = 165\ \text{cm}$, $b = 75\ \text{cm}$ und $c = 35\ \text{cm}$ erfüllen nicht die Bedingung. Es gilt nämlich:

  • $b+c=75\ \text{cm}+35\ \text{cm}=110\ \text{cm}<165\ \text{cm}$

  Die längste Seite ist also nicht kleiner als die Summe der beiden kürzeren Seiten.

  Beispiel 2

  Die Seiten $a = 95\ \text{cm}$, $b = 110\ \text{cm}$ und $c = 45\ \text{cm}$ ergeben ein Dreieck, da sie die Bedingung erfüllen. Es gilt nämlich:

  • $a+c=95\ \text{cm}+45\ \text{cm}=140\ \text{cm}>110\ \text{cm}$

  Die längste Seite ist also kleiner als die Summe der beiden kürzeren Seiten.

  Beispiel 3

  Die Seiten $a=b=c = 65\ \text{cm}$ erfüllen die Bedingung. Es handelt sich hier um ein gleichseitiges Dreieck. Die Dreiecksungleichung ist für alle Seiten erfüllt.

  Beispiel 4

  Die Seiten $a = 10\ \text{cm}$, $b = 20\ \text{cm}$ und $c = 30\ \text{cm}$ ergeben kein Dreieck, da sie die Bedingung nicht erfüllen. Es gilt nämlich:

  • $a+b=10\ \text{cm}+20\ \text{cm}=30\ \text{cm}$

  Da die Summe der längsten Seite entspricht, würden alle drei Punkte auf einer Strecke liegen.

  Beispiel 5

  Die Seiten $a = 70\ \text{cm}$, $b = 70\ \text{cm}$ und $c = 10\ \text{cm}$ ergeben ein Dreieck, da sie die Bedingung erfüllen. Es handelt sich hierbei um ein gleichschenkliges Dreieck. Es gilt:

  • $a+c>b$
  • $b+c>a$

  Beispiel 6

  Die Seiten $a = 120\ \text{cm}$, $b = 60\ \text{cm}$ und $c = 55\ \text{cm}$ ergeben kein Dreieck, da sie die Bedingung nicht erfüllen. Es gilt nämlich:

  • $b+c=60\ \text{cm}+55\ \text{cm}=115\ \text{cm}<120\ \text{cm}$

  Die längste Seite ist also größer als die Summe der beiden kürzeren Seiten.

• Gib diejenigen Dreiecke an, die die Vorgaben erfüllen.

  Tipps

  Einen rechten Winkel erkennst du an dem Punkt im Winkelbogen.

  Ein Dreieck mit den Vorgaben $10\ \text{cm}$, $6\ \text{cm}$ und $30^\circ$ kann keinen rechten Winkel besitzen.

  Ein Dreieck mit den Seitenlängen $9\ \text{cm}$, $7\ \text{cm}$ und $4\ \text{cm}$ kann keinen rechten Winkel besitzen.

  Lösung

  Einen rechten Winkel erkennen wir an dem Punkt im Winkelbogen. Wir haben hier drei Dreiecke mit einem rechten Winkel im Punkt $C$. Diesen Winkel bezeichnen wir mit $\gamma$. Damit erfüllen folgende Dreiecke die Vorgabe $\gamma=90^\circ$: Dreieck $1$ und $3$.

  Die Beschriftungen der Seiten verraten uns, dass das Dreieck $4$ der Vorgabe $10\ \text{cm}$, $6\ \text{cm}$ und $30^\circ$ zuzuordnen ist.

  Das Dreieck $2$ hat die Seitenlängen $9\ \text{cm}$, $7\ \text{cm}$ und $4\ \text{cm}$. Mit dieser Vorgabe ist dieses Dreieck eindeutig konstruierbar.

• Zeige, welche Angaben nur kongruente, mehrere nicht kongruente oder keine Dreiecke liefern.

  Tipps

  Bedenke, dass die beiden kürzeren Seiten eines Dreiecks zusammen länger sein müssen als die längste Seite des Dreiecks.

  Es spielt eine Rolle, ob der bekannte Winkel von den beiden bekannten Seiten eingeschlossen wird oder nicht.

  Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer $180^\circ$.

  Lösung

  Kennst du alle drei Seiten eines Dreiecks, die die Dreiecksungleichung erfüllen, so kannst du nur kongruente, also deckungsgleiche Dreiecke konstruieren.

  Die Dreiecksungleichung besagt, dass die beiden kürzeren Seiten des Dreiecks zusammen länger sein müssen als die längste Seite.

  Kennst du alle drei Winkel eines Dreiecks, die die Innenwinkelsumme von $180^\circ$ erfüllen, so kannst du mehrere nicht kongruente Dreiecke konstruieren, da die Seitenlängen bei gleichbleibenden Winkeln variieren können.

  Kennst du zwei Seiten sowie den von diesen eingeschlossenen Winkel eines Dreiecks, so kannst du wieder nur kongruente Dreiecke konstruieren.

  Demnach kannst du die Vorgaben wie folgt zuordnen:

  Konstruktion mehrerer nicht kongruenter Dreiecke

  • $\alpha=35^\circ$, $\beta=125^\circ$ und $\gamma=20^\circ$

  Konstruktion kongruenter Dreiecke

  • $a=45\ \text{cm}$, $b=15\ \text{cm}$ und $c=45\ \text{cm}$
  • $b=6\ \text{cm}$, $c=10\ \text{cm}$ und $\alpha=30^\circ$

  Keine Konstruktion möglich

  • $a=70\ \text{cm}$, $b=15\ \text{cm}$ und $c=45\ \text{cm}$, denn $b+c<a$
  • $\alpha=40^\circ$, $\beta=45^\circ$ und $\gamma=90^\circ$, denn $\alpha+\beta+\gamma<180^\circ$