Innenwinkel und Außenwinkel von Dreiecken

Innenwinkel und Außenwinkel von Dreiecken Übung

• Berechne die Winkelgröße.

  Tipps

  Die Innenwinkelsumme im Dreieck ist genauso groß wie die Summe eines Innenwinkels und des ihm anliegenden Außenwinkels.

  Es gibt kein Dreieck mit den Winkelgrößen $30^\circ$, $40^\circ$ und $50^\circ$, da $30^\circ + 40^\circ + 50^\circ = 120^\circ \neq 180^\circ$.

  Der einem Außenwinkel $\gamma'=120^\circ$ anliegende Innenwinkel hat die Winkelgröße $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

  Lösung

  Die Summe der Innenwinkel beträgt in jedem Dreieck stets $180^\circ$. Du kannst diesen Sachverhalt ausnutzen, um fehlende Winkelgrößen auszurechnen. Auch die Summe eines Innenwinkels und des ihm anliegenden Außenwinkels beträgt stets $180^\circ$. Zusammen kannst du beide Sachverhalte verwenden, um alle fehlenden Winkelgrößen in diesem Dreieck zu berechnen:

  Das Dreieck im Bild hat einen Außenwinkel der Größe $100^\circ$. Der diesem Außenwinkel anliegende Innenwinkel hat daher die Winkelgröße $180^\circ -100^\circ =80^\circ$. Du kennst jetzt die Winkelgrößen von zwei der drei Innenwinkeln des Dreiecks, nämlich den vorgegebenen Innenwinkel $55^\circ$ und den eben ausgerechneten Innenwinkel $80^\circ$.

  Der Winkel $\alpha$ in dem Dreieck im Bild ist der dritte Innenwinkel. Seine Winkelgröße kannst du aus der Innenwinkelsumme und den beiden anderen Innenwinkeln ausrechnen:

  $\alpha = 180^\circ-55^\circ -80^\circ =45^\circ$

  Du kannst auch die Winkelgrößen der beiden übrigen Außenwinkel berechnen: Der dem Innenwinkel $\alpha$ anliegende Außenwinkel $\alpha'$ hat die folgende Winkelgröße:

  $\alpha' = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

  Der dem Innenwinkel $55^\circ$ anliegende Außenwinkel hat diese Winkelgröße:

  $180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$

• Beschreibe die Winkel an einem Dreieck.

  Tipps

  Ein Schenkel des Außenwinkels ist eine Seite des Dreiecks.

  An allen Eckpunkten des Dreiecks zusammen sind $12$ Winkel zu sehen.

  Scheitelwinkel sind stets gleich groß.

  Lösung

  Ein Dreieck besteht aus drei Punkten, die durch Strecken miteinander verbunden sind. Die Punkte heißen Eckpunkte des Dreiecks, die Strecken sind die Seiten. Zwischen den Seiten entstehen jeweils die Innenwinkel des Dreiecks. Verlängerst du die Strecken zu Geraden, so entstehen außerhalb des Dreiecks weitere Winkel. Nicht jeder Winkel außerhalb des Dreiecks heißt Außenwinkel. Denn ein Außenwinkel ist ein Winkel außerhalb des Dreiecks, der durch eine Dreieckseite und die Verlängerung einer anderen Dreieckseite gebildet wird und daher einer Seite des Dreiecks anliegt.

  Verlängerst du die Dreieckseiten zu Geraden, entstehen an jedem Eckpunkt des Dreiecks vier Winkel. Da ein Dreieck drei Ecken hat, sind es insgesamt zwölf solcher Winkel. Drei dieser Winkel heißen Innenwinkel, sie liegen im Inneren des Dreiecks. Von den übrigen Winkeln heißen sechs Außenwinkel. Die restlichen drei Winkel sind die Scheitelwinkel der Innenwinkel. Man nennt sie auch Gegenwinkel der Innenwinkel.

  Der Innenwinkel $\gamma$ liegt zwei Seiten des Dreiecks an. Die beiden Außenwinkel sind im Bild mit $\gamma'$ und $\gamma'$ bezeichnet. Sie liegen jeweils nur einer Seite des Dreiecks an. Die beiden Außenwinkel sind Scheitelwinkel voneinander und sind daher gleich groß.

  Der Winkel $\gamma$, den du im Bild oben in der Mitte siehst, liegt außerhalb des Dreiecks und liegt keiner Seite des Dreiecks an. Er ist daher kein Außenwinkel des Dreiecks. Aber er ist ein Scheitelwinkel oder Gegenwinkel des Innenwinkels $\gamma$ und daher gleich groß.

• Bestimme die Winkelgrößen.

  Tipps

  Ein Innenwinkel und der ihm anliegende Außenwinkel sind Nebenwinkel voneinander. Das heißt, sie ergänzen einander zu einem gestreckten Winkel.

  Der gestreckte Winkel hat die Winkelgröße $180^\circ$.

  Ein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha =30^\circ$, $\beta = 60^\circ$ und $\gamma = 90^\circ$ hat die Außenwinkel $\alpha' = 150^\circ$, $\beta' = 120^\circ$ und $\gamma' = 90^\circ$.

  Lösung

  In einem Dreieck heißen die von den Seiten gebildeten Winkel, die im Inneren des Dreiecks liegen, Innenwinkel des Dreiecks. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt stets $180^\circ$.

  Jedem Innenwinkel eines Dreiecks liegt ein Winkel außerhalb des Dreiecks genau gegenüber. Dieser Winkel heißt Gegenwinkel oder Scheitelwinkel des Innenwinkels. Zwei Winkel, die Gegenwinkel bzw. Scheitelwinkel voneinander sind, haben stets dieselbe Winkelgröße.

  Außerhalb des Dreiecks liegen auch die Außenwinkel: Jeder Außenwinkel wird von zwei Seiten des Dreiecks gebildet, genauer von einer Seite des Dreiecks und der Verlängerung einer zweiten Seite. Jeder Außenwinkel liegt also genau einer Seite des Dreiecks an. Die Summe der Winkelgrößen eines Innenwinkels und des zugehörigen Außenwinkels beträgt $180^\circ$.

  In dem Dreieck im Bild ist die Größe eines Innenwinkels gegeben, nämlich $110^\circ$, sowie die Winkelgröße des Scheitelwinkels eines Innenwinkels, nämlich $30^\circ$. Du kannst daher die Größe des Innenwinkels unten links erschließen: Sie beträgt ebenfalls $30^\circ$. Der Innenwinkel unten rechts im Dreieck hat wegen der Innenwinkelsumme die Winkelgröße: $180^\circ - 30^\circ -110^\circ = 40^\circ$. Der zugehörige Scheitelwinkel hat ebenfalls die Winkelgröße $40^\circ$.

  Die Übrigen sind noch die Außenwinkel: Die Außenwinkel unten links am Dreieck haben die Winkelgröße $180^\circ -30^\circ = 150^\circ$, die Außenwinkel unten rechts am Dreieck dagegen $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

• Erschließe die Winkelgrößen.

  Tipps

  Die Dreiecke $\Delta_{ACB}$ und $\Delta_{ABD}$ sind rechtwinklig.

  Die Summe eines Innenwinkels und des ihm anliegenden Außenwinkels beträgt $180^\circ$.

  Lösung

  Im Bild siehst du zwei Dreiecke, die eine Seite gemeinsam haben. Beide Dreiecke sind rechtwinklig und die gemeinsame Seite liegt jeweils dem rechten Winkel gegenüber. Du kannst die fehlenden Winkelgrößen berechnen mit der Innenwinkelsumme und der Eigenschaft, dass einander anliegende Innenwinkel und Außenwinkel Nebenwinkel voneinander sind.

  Im Dreieck $\Delta_{ACB}$ hat der Innenwinkel bei $C$ die Winkelgröße $\gamma =90^\circ$, denn er ist als rechter Winkel gekennzeichnet. Der Winkel bei $B$ in diesem Dreieck hat die Winkelgröße:

  $\beta =180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 50^\circ - 90^\circ =40^\circ$

  Beide dem Innenwinkel $\gamma$ anliegenden Außenwinkel haben jeweils die Winkelgröße $\gamma'=180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, denn einander anliegende Innenwinkel und Außenwinkel sind jeweils Nebenwinkel. Das heißt, ihre Winkelgrößen addieren sich zu $180^\circ$. Analog hat jeder Außenwinkel zu $\alpha$ die Winkelgröße $\alpha'=130^\circ$ und jeder Außenwinkel zu $\beta$ die Winkelgröße $\beta'=140^\circ$.

  In dem zweiten Dreieck $\Delta_{ABD}$ hat der rechte Winkel bei $D$ die Winkelgröße $\theta =90^\circ$. Der Innenwinkel bei $A$ hat die resultierende Winkelgröße $\eta =180^\circ - 20^\circ - 90^\circ =70^\circ$.

  Die Außenwinkel zu $\delta$ haben die Winkelgröße $\delta'=180^\circ - \delta = 160^\circ$, die Außenwinkel zu $\eta$ die Winkelgröße $\eta'=180^\circ - \eta =110^\circ$ und die Außenwinkel zu $\theta$ die Winkelgröße $\theta'=180^\circ - \theta = 90^\circ$.

• Beschrifte die Winkel.

  Tipps

  Der am Scheitelpunkt einem Innenwinkel gegenüberliegende Winkel heißt Scheitelwinkel.

  Jeder Außenwinkel liegt außerhalb vom Dreieck einer Dreieckseite an.

  Wechselwinkel treten nur bei Parallelen auf.

  Lösung

  Jeder Winkel im Inneren eines Dreiecks, der durch zwei Seiten des Dreiecks gebildet wird, heißt Innenwinkel des Dreiecks. Die Außenwinkel sind genau diejenigen Winkel, die durch eine Dreieckseite und die Verlängerung einer weiteren Dreieckseite gebildet werden. Jeder Außenwinkel liegt daher außerhalb des Dreiecks einer Dreieckseite an. Diejenigen Winkel, die nur durch zwei verlängerte Dreieckseiten gebildet werden, haben als Scheitelpunkt einen Eckpunkt des Dreiecks und liegen keiner Seite des Dreiecks an. Sie liegen aber je einem Innenwinkel gegenüber, der denselben Scheitelpunkt hat. Man nennt diese Winkel Scheitelwinkel.

  Stufenwinkel und Wechselwinkel haben nicht denselben Scheitelpunkt. Sie treten nur auf, wo zwei parallele Geraden von einer weiteren, nicht parallelen Gerade geschnitten werden. Dies ist bei den Geraden eines Dreiecks nicht der Fall.

• Analysiere die Bilder und ihre Beschriftungen.

  Tipps

  Die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks beträgt $180^\circ$, die Summe eines Innenwinkels und des zugehörigen Außenwinkels beträgt ebenfalls $180^\circ$.

  Bestimme die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks.

  Lösung

  Winkel, die einander an ihrem Scheitelpunkt gegenüberliegen und durch dieselben Geraden gebildet werden, sind Scheitelwinkel oder Gegenwinkel voneinander und daher gleich groß. Einander anliegende Innenwinkel und Außenwinkel sind Nebenwinkel voneinander. Das heißt, die Summe ihrer Winkelgrößen beträgt $180^\circ$. Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt stets $180^\circ$. Die Winkelgröße eines Außenwinkels stimmt mit der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel überein, denn sowohl diese Summe als auch jener Außenwinkel ergänzen jeweils den dritten Innenwinkel zu $180^\circ$.

  • Das Bild mit den vier Winkeln an einem Eckpunkt ist falsch, denn die Winkelsumme beträgt $350^\circ$ und die Scheitelwinkel sind verschieden groß bezeichnet.

  • Das Bild mit einem Außenwinkel $75^\circ$ und dem anliegenden Innenwinkel $110^\circ$ ist falsch, denn die Winkelsumme beträgt $110^\circ + 75^\circ = 185^\circ \neq 180^\circ$.

  • Ein Bild zeigt ein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha=30^\circ$ und $\beta = 40^\circ$ und $\gamma =110^\circ$. Der Außenwinkel $\gamma'$ zu $\gamma$ ist mit $80^\circ$ bezeichnet. Die Winkelgröße dieses Außenwinkels stimmt darum nicht mit der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel überein: $80^\circ \neq 30^\circ + 40^\circ$. Deshalb ist dieses Bild falsch.

  • Ein Bild zeigt ein Dreieck, bei dem die Außenwinkel mit $125^\circ$, $145^\circ$ und $70^\circ$ bezeichnet sind. Die zugehörigen Innenwinkel müssten dann $180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$, $180^\circ - 145^\circ = 35^\circ$ und $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ betragen. Die Innenwinkelsumme wäre dann $55^\circ + 35^\circ + 110^\circ = 200^\circ \neq 180^\circ$. Dieses Bild ist daher auch falsch.

  Die anderen Bilder sind korrekt.