Effektivwert von Wechselstrom und Wechselspannung

Effektivwert von Wechselstrom und Wechselspannung Übung

• Definiere den Begriff Effektivwert.

  Tipps

  Warum führt man in der Wechselstromtechnik den Begriff Effektivwert ein?

  Wechselspannungssignal

  Lösung

  Da bei der Wechselspannung die Spannung periodisch in den positiven als auch in den negativen Bereich wandert, würde man theoretisch eine Durchschnittsspannung von 0 V erhalten.

  Da jedoch auch bei der Verwendung einer Wechselspannungsquelle eine Lampe leuchtet, wird schnell klar, dass dieser Mittelwert nicht relevant ist. Stattdessen bestimmt man den quadratischen Mittelwert, der Effektivwert genannt wird.

• Vervollständige die Wechselspannungsdiagramme.

  Tipps

  Warum hat man den Begriff Scheitelspannung gewählt?

  Lösung

  Den Begriff Scheitelpunkt kennt ihr bereits aus der Mathematik. Eine Parabel hat hier ihren Maximal- oder Minimalwert. Wenn ihr also die Maximalwerte von Strom, Spannung oder Leistung bestimmt, dann sind dies ihre Scheitelwerte.

  Den Effektivwert der Leistung findest du hingegen genau bei der Hälfte der Scheitelleistung.

• Bestimme die Effektivspannung.

  Tipps

  Überlege zuerst, was gesucht und gegeben ist und welche Formeln dazu passen.

  Zeigt ein Multimeter Effektiv- oder Scheitelwerte an?

  Lösung

  Bei einem Kondensator ist es die Scheitelspannung, die entscheidet, ob er kaputt geht.

  Wir lösen die Aufgabe, indem wir uns überlegen, was gesucht und gegeben ist und welche Formeln wir kennen. Danach wird umgeformt und eingesetzt.

  Gegeben:

  $ \hat U =10\,V$ $ I_{\text{eff}} =2\, mA$

  Gesucht:

  ${U_{\text{eff}}}, \overline P $

  Formeln:

  $\begin{align} U_{\text{eff}}^2&=\frac{1}{2}\hat U^2\\ \overline P&=\frac{\hat P}{2}=\frac{\hat U^2}{2R}\\ R&=\frac{U_{\text{eff}}}{I_\text{eff}}\\ \end{align}$

  Rechnung:

  ${U_{\text{eff}}}:$

  $\begin{align} U_{\text{eff}}^2&=\frac{1}{2}\hat U^2\\ U_{\text{eff}}&=\frac{1}{\sqrt 2}\hat U\\ &=\frac{1}{\sqrt 2}\cdot 10\,V\\ &=7,07\,V\\ \end{align}$

  $ \overline P$:

  $\begin{align} \overline P&=\frac{\hat U^2}{2R}\\ &=\frac{\hat U^2}{2\cdot \frac{U_{\text{eff}}}{I_\text{eff}}}\\ &=\frac{\hat U^2}{2\cdot U_{\text{eff}}}\cdot I_\text{eff}\\ &=\frac{(10\, V)^2}{2\cdot7,07\, V} \cdot{2\,mA}\\ &=14,14\,mW\\ \end{align}$

• Erkläre und bestimme die Scheitelwerte.

  Tipps

  Überlege dir, was gesucht und was gegeben ist und welche Formel du verwenden kannst.

  Wenn man von Strom und Spannung in der Wechselstromtechnik redet, meint man immer Effektivwerte.

  Lösung

  Wir lösen die Aufgabe, indem wir uns überlegen, welche Größen gesucht und gegeben sind und welche Formeln wir kennen. Danach wird umgeformt und eingesetzt.

  Gegeben:

  $ U_{\text{eff}}=230\,V$ $ I_{\text{eff}} =0,5\, A$

  Gesucht:

  $\hat U, \hat P, \overline P $

  Formeln:

  $\begin{align} U_{\text{eff}}^2&=\frac{1}{2}\hat U^2\\ {\hat P}&=\frac{\hat U^2}{R}\\ \overline P&=\frac{\hat P}{2}=\frac{\hat U^2}{2R}\\ R&=\frac{U_{\text{eff}}}{I_\text{eff}}\\ \end{align}$

  Rechnung: $\hat U$:

  $\begin{align} U_{\text{eff}}^2&=\frac{1}{2}\hat U^2\\ \hat U^2&=2\cdot U_{\text{eff}}^2\\ \hat U&=\sqrt 2 \cdot U_{\text{eff}}\\ &=\sqrt 2 \cdot 230\, V\\ &=325\, V\\ \end{align}$

  $\hat P,~ \overline P$:

  $\begin{align} {\hat P}&=\frac{\hat U^2}{R}\\ &=\frac{\hat U^2}{\frac{U_{\text{eff}}}{I_\text{eff}}}\\ &=\frac{\hat U^2}{U_{\text{eff}}}\cdot I_\text{eff}\\ &=\frac{(325\, V)^2}{230, V} \cdot{0,5\,A}\\ &=230\,W\\ \overline P&=\frac{\hat P}{2}\\ &=115\,W\\ \end{align}$

• Nenne die Formeln der Wechselstromtechnik.

  Tipps

  Wie hängen $\hat p$ und $\overline p$ zusammen?

  Lösung

  Effektivstrom und -Spannung sind jeweils um den Faktor 0,707 kleiner als ihr Scheitelwert.

  Der Mittelwert der Leistung, der einfach nur Leistung genannt wird, ist genau halb so groß wie die Scheitelleistung.

• Bestimme Scheitel- und Effektivwerte einer Rechteckspannung.

  Tipps

  Wie bestimmt man Effektiv- und Scheitelwert bei einer sinusförmigen Spannung?

  Einen quadratischen Mittelwert berechnet man mit folgender Formel.

  Lösung

  Rechtecksignale werden beispielsweise als Taktgeber bei Prozessoren verwendet.

  Die Scheitelspannung liegt hier offensichtlich bei 5 V. Interessanter ist die Frage nach der Effektivspannung. Diese wird nicht nach der bisher bekannten Formel für ein sinusförmiges Signal $U_{\text{eff}}^2=\frac{1}{2}\hat U^2$ berechnet.

  Stell dir vor, du wärst ein Widerstand und dich interessiert nicht, in welche Richtung der Strom fließt. Dann stellst du fest, dass ständig eine Spannung von 5 V anliegt und somit permanent der gleiche Strom in abwechselnde Richtungen fließt. Die Effektivspannung ist somit gleich der Scheitelspannung.

  Man kann auch mathematisch argumentieren:

  Die Effektivspannung ist der quadratische Mittelwert der zeitlich veränderlichen Spannung. Durch das Quadrat spielt es keine Rolle, ob die Spannung + oder - 5 V beträgt, da das Quadrat jeweils 25 V² beträgt. Die Effektivspannung beträgt also immer 5 V.

  Beispiel: zwei Werte + 5 V, - 5V

  quadratischer Mittelwert:

  $U_{\text{eff}}=\sqrt{\frac{(+5\, V)^2+(-5\,V)^2}{2}}=\sqrt{\frac{50\,V}{2}}=\sqrt{25\,V}=5\, V$

  Tatsächlich gibt es keine exakten Rechteckspannungen, da der Strom von einem Moment auf den anderen die Richtung wechseln muss. Man kann es aber schaffen, dass er dies sehr schnell tut, sodass es annähernd eine Rechteckspannung ist.