Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

Hallo, hier ist wieder Doktor Psi. Unser heutiges Thema sind Ohm'sche Widerstände im Wechselstromkreis. Wir beginnen mit einer knappen Wiederholung der mathematischen Beschreibung von Wechselspannung und Wechselstrom. Im Zusammenhang damit gehen wir auch auf Zeigerdiagramme ein. Schließlich behandeln wir das elektrische Verhalten des Ohm'schen Widerstandes im Wechselstromkreis. Zum Schluss fassen wir das Gelernte wie üblich zusammen. Starten wir also mit einem Stromkreis, der eine Wechselspannungsquelle enthält. Unsere Wechselspannungsquelle liefert eine sinusförmige Wechselspannung, die zu zum Beispiel durch U(t)=U0sin(Omega t) beschrieben werden kann, dabei ist U0 der Maximal- oder Scheitelwert der Spannung. Wir sehen den entsprechenden Verlauf in einem Diagramm, das auf der x-Achse das Produkt aus Kreisfrequenz Omega und Zeit t und auf der y-Achse zunächst die Spannung U enthält. Der Nulldurchgang der Sinuskurve für die Spannung U(t) fällt mit t=0 zusammen. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Allgemein erzeugt eine Wechselspannung im Stromkreis einen sinusförmigen Wechselstrom, der hier dargestellt wird durch I(t)=I0sin(Omega t+Phi0). Dabei ist Phi0 der Nullphasenwinkel, dieser beschreibt die Verschiebung der Sinuskurve für den Fall, dass deren Nulldurchgang nicht mit t=0 zusammenfällt, wie wir das hier für die Stromstärke in dem Diagramm sehen. Links von der Darstellung von U und I als sinusförmiger Verlauf sehen wir das Zeigerdiagramm für U(t) und I(t). Wir sehen zwei Zeiger, einen für U und einen für I, die Länge der Zeiger entspricht den jeweiligen Scheitelwerten. Die Zeiger drehen sich im mathematisch positiven Sinn und aus der Zeigerstellung kann der jeweilige Momentanwert als Projektion auf die U- beziehungsweise I-Achse abgelesen werden. Soweit eine knappe Wiederholung der mathematischen Beschreibung von Größen im Wechselstromkreis. Betrachten wir nun einen Wechselstromkreis, der einen Ohm'schen Widerstand R enthält. Es wird eine Wechselspannung angelegt und diese Wechselspannung habe die Gestalt U(t)=U0sin(Omega t). Diese Wechselspannung erzeugt in unserem Stromkreis einen Wechselstrom und dieser Wechselstrom den können wir darstellen als I(t)=U(t)/R. I=U/R, das kommt dir sicherlich aus dem Fall des Gleichstromkreises bekannt vor. Ja, setzen wir jetzt für U(t) unsere Beziehung hier oben ein, erhalten wir U0Rsin(t). Und wenn wir uns U0/R mal anschauen, das hat die Dimension einer Stromstärke, dann ist das die Stromstärke I0sin(Omega t). Und wir sehen, wenn wir hier die Spannung, die an den Stromkreis angelegt wurde, vergleichen mit der Stromstärke I(t)=I0sin(Omega t), dass die beiden Sinusfunktionen gleichphasig sind, hier in beiden Argumenten der Funktion steht kein Nullphasenwinkel, der ist 0. Wir sagen, dass in diesem Fall die beiden Größen in Phase sind. Und wir wollen uns das in einer Animation mal anschauen. Wir sehen ja hier den Ohm'schen Widerstand in dem Stromkreis mit einigen Messgeräten, und zwar Messgeräte für Spannung und Stromstärke; und wenn die Spannung U(t) anliegt, fließt ein Strom und wir sehen, dass die beiden Zeiger der Messgeräte im Gleichtakt schwingen. Und wenn wir dies in das Diagramm für Stromstärke und Spannung, das wir aus der mathematischen Beschreibung dieser Größen her kennen, übertragen, sehen wir den Verlauf der Spannung, den Verlauf der Stromstärke und beide haben zur selben Zeit den Nulldurchgang, beziehungsweise der Scheitelwert jeweils ist auch direkt im Zeitdiagramm übereinander. Auch hier sehen wir, dass der Nullphasenwinkel, beide haben zur gleichen Zeit den Nulldurchgang, dass der Nullphasenwinkel 0 ist, das haben wir ja hier auch schon in der mathematischen Beschreibung gesehen; und wir sprechen wieder, wie wir hier schon erwähnt haben, Stromstärke und Spannung sind in Phase. Übrigens gilt dies auch unabhängig davon, welche Frequenz bei dem Stromkreis, der Spannung oder des Stroms, hier zu beobachten ist. Und als Ergebnis unserer ganzen Überlegung fehlt noch eine Größe, die wir betrachten müssen, wie nämlich die Wechselspannung und die Wechselstromstärke in unserem Stromkreis mit der Leistung zusammenhängt. Das wollen wir uns im Folgenden mal kurz ansehen. Wir hatten in unserem Stromkreis mit Wechselspannungsquelle und Ohm'schem Widerstand Messinstrumente eingebaut, Messinstrumente für Spannung und Stromstärke, und diese haben sich hinsichtlich ihrer Zeiger im Gleichtakt bewegt, und zwar im Rhythmus der Frequenz der Wechselspannung; wir sagten ja auch, Strom und Spannung sind in diesem Fall in Phase. Wir gucken uns das noch einmal an, wir zeichnen uns diesen Verlauf noch einmal hier in diesem Diagramm ein. Wir haben hier die Spannung mit Nulldurchgang und Scheitelwert. Das wäre die Spannung. Und die Stromstärke hat etwa folgenden Verlauf. Wir sehen, die Scheitelwerte liegen übereinander und die Nulldurchgänge liegen bei t=0; Strom und Spannung sind also in Phase. Dieser Verlauf ist sicherlich für uns im Haushalt nicht so wichtig. Bei uns im Haushalt ist die Energie, die ankommt, wichtig und die sehen wir zum Beispiel bei der Helligkeit einer Glühlampe. Die mathematische Beschreibung dieses Verhaltens des elektrischen Stromes in unserem Haushalt wird mit effektiver Spannung und effektiver Stromstärke beschrieben. Und was diese Größen nun bedeuten, das wollen wir kurz erklären. Der Effektivwert einer Wechselspannung ist der Spannungswert, bei dem eine Glühlampe dieselbe Helligkeit zeigt wie eine Gleichspannung. Der Satz ist wichtig, deswegen notiere ich ihn einmal. Also: Der Effektivwert, und zwar einer Wechselspannung, ist der Spannungswert, der zum Beispiel bei einer Glühlampe dieselbe Helligkeit erzeugt wie eine Gleichspannung. Ja, und diese Eigenschaft unseres Stromkreises, unseres elektrischen Stroms, wird mit der elektrischen Leistung beschrieben. Und genau das wollen wir jetzt mal tun, indem wir versuchen, die Leistung mathematisch zu erfassen. Das wäre unsere nächste Überlegung. Schauen wir uns zuerst einmal die Leistung im Gleichstromkreis an; die wollen wir ja mit den entsprechenden Größen des Wechselstromkreises vergleichen. Also die Leistung im Gleichstromkreis ist P=UI und mit I als U/R erhalten wir die Beziehung P=UU/R, das können wir zusammenfassen, das ist U²/R. Und diese Leistung ist im Gleichstromkreis konstant, klar. Nun wollen wir uns mal die gleiche Leistung im Wechselstromkreis anschauen. Nun, Ausgangspunkt ist wieder die Leistung, Stromstärke mal Spannung, und die ist in unserem Fall zeitabhängig und ergibt sich als P(t)=U(t)I(t). Und diese Größen U(t) und I(t) kennen wir aus unseren Betrachtungen, die verlaufen sinusförmig, also U0sin(Omega t)I0sin(Omega t) und wenn wir das zusammenfassen, erhalten wir hier U0 I0sin²(Omega t). Und dies wollen wir auch graphisch mal darstellen, wir benutzen dazu dieses Diagramm. Wir sehen hier die Leistung über Omega t aufgetragen und wir können hier diese Leistung darstellen, indem wir diese Funktion einmal hier übertragen. Wir gewinnen also etwa folgenden Verlauf. Und wir sehen, dass also das Maximum hier, wir haben ja den Sinus zum Quadrat genommen, dass wir hier beobachten, dass das mit den Maxima beziehungsweise Minima zusammenfällt. Die Leistung ändert also periodisch ihre Größe. Und wir hatten gesagt, dass die Leistung der Gleichspannung eine Helligkeit erzeugt und diese Helligkeit soll gleich sein der Leistung, der Effektivwerte, von Strom und Spannung im Wechselstromkreis. Wir erhalten also einmal hier, dass die Leistung periodisch um einen bestimmten Wert schwankt, und wir sehen, dass dieser Wert hier in der Mitte einen bestimmten Verlauf hat. Und wir sehen auch, wenn wir diesen Bereich hier halbieren, können wir den jeweils umklappen, diesen Bereich ebenfalls umklappen, sodass der Mittelwert, der hier entsteht, gleich einem Wert ist, der hier aufzutragen wäre. Das ist nämlich U0²/R, wir sehen ihn dort, der liegt an dieser Stelle. Ja, wir hatten gesagt, dass diese Spannung also dieselbe Helligkeit und damit dieselbe Leistung erzeugt wie die effektive Spannung im Wechselstromkreis. Also muss gelten: P ist gleich, wir sehen das, die Hälfte von diesem Wert dort, ½ U0²/R; und genau das soll gleich sein dem entsprechenden Effektivwert der Spannung durch R: ½U0²/R=U²eff/R. Und wenn wir uns mal diese Größe hier ansehen, wir dividieren durch R oder multiplizieren die Gleichung mit R, dann würde hier stehen ½U0²=U²eff. Nun, das können wir ein bisschen umformen; wir können die Wurzel ziehen und erhalten, wenn wir jetzt die ganze Gleichung mit zwei multiplizieren: U0 gleich, dann wird das mit 2 multipliziert, die Wurzel ziehen, also aus U²eff die Wurzel ziehen, erhalten wir U0=UeffWurzel 2. Wir können auch das nach Ueff umstellen, brauchen wir bloß durch Wurzel 2 zu dividieren, dann ist das U0, die Wurzel kommt später, dann ist das U0 mal 1/Wurzel 2. Wenn wir dieselbe Überlegung für die Stromstärke machen, kriegen wir analoge Werte. Also erhalten wir I0=IeffWurzel 2 beziehungsweise Ieff=I01/Wurzel 2. Das sind die entsprechenden Werte für die Effektivwerte von Strom und Spannung. Und wir wollen uns das mal an einem Beispiel angucken, nämlich am Beispiel unserer Netzspannung. Für die Netzspannung gilt ja U0=230V, pardon, für die Netzspannung gilt natürlich Ueff=230V. Wenn wir dies in unsere Formel einsetzen, dann folgt nämlich der Spitzenwert für die Spannung beziehungsweise die Stromstärke. Also ist U0=230VWurzel 2 und das ist ungefähr 325V. Das ist also der Scheitel- beziehungsweise Spitzenwert unserer Wechselspannung im Wechselstromkreis. Ja, das ist eine kurze Anmerkung zu den Effektivwerten von Strom und Spannung. Fassen wir kurz unser Gelerntes heute zusammen: Wir haben zunächst die mathematische Beschreibung von Stromstärke und Spannung im Wechselstromkreis wiederholt und haben die Diagramme dazu uns angeschaut, und auch die Zeigerdiagramme, die ja für die technische Erläuterung von Wechselstromgrößen sehr wichtig sind. Dann haben wir festgestellt, dass bei Stromstärke und Spannung kein Phasenunterschied auftritt, der Nullphasenwinkel ist 0; wir sagen, Stromstärke und Spannung sind in Phase. Und zum Schluss haben wir die Effektivwerte, die bezogen auf Leistung von Wechselstromkreis und Gleichstromkreis einen bestimmten Wert darstellen, uns angeschaut und haben die entsprechenden Formeln hergeleitet und haben das Ganze noch mal auf unsere Netzspannung angewendet. Ja, das war’s wieder für heute. Vielleicht sehen wir uns bald bei einem Video von Doktor Psi wieder. Tschüss!