Kondensator und kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis

Hallo, hier ist wieder Dr. Psi. Unser heutiges Thema ist der Kondensator und sein kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis. Wir beginnen mit einer knappen Wiederholung der Schreibweise von Spannung und Strom im Wechselstromkreis und widmen uns dann der Betrachtung des elektrischen Verhaltens von Kondensatoren in Wechselstromkreisen. Zum Schluss fassen wir wie üblich das Wichtigste zusammen. Starten wir also mit einem Stromkreis, der eine Wechselspannungsquelle enthält. Unsere Wechselspannungsquelle liefert eine sinusförmige Wechselspannung, die zum Beispiel durch U(t)=U₀sin(Omegat) geschrieben werden kann. Dabei ist U₀ der Maximal- oder Scheitelwert der Spannung. Wir sehen den entsprechenden Verlauf in einem Diagramm, das auf der x-Achse das Produkt aus Kreisfrequenz Omega und Zeit t und auf der y-Achse zunächst die Spannung U enthält. Der Nulldurchgang der Sinuskurve für die Spannung U(t) fällt mit t = 0 zusammen. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Allgemein erzeugt eine Wechselspannung im Stromkreis einen sinusförmigen Wechselstrom, der hier dargestellt wird durch I(t)=I₀sin(Omegat)+Phi₀. Dabei ist Phi_0 der Nullphasenwinkel. Dieser beschreibt die Verschiebung der Sinuskurve für den Fall, dass deren Nulldurchgang nicht mit t = 0 zusammenfällt, wie wir das hier für die Stromstärke in dem Diagramm sehen. Links von der Darstellung von U und I als sinusförmiger Verlauf sehen wir das Zeigerdiagramm für U(t) und I(t). Wir sehen zwei Zeiger, einen für U und einen für I. Die Länge der Zeiger entspricht den jeweiligen Scheitelwerten. Die Zeiger drehen sich im mathematisch positiven Sinn und aus der Zeigerstellung kann der jeweilige Momentanwert als Projektion auf die U- bzw. I Achse abgelesen werden. Soweit eine knappe Wiederholung der mathematischen Beschreibung von Größen im Wechselstromkreis. Ja, wir betrachten nun einen Wechselstromkreis mit einer Wechselspannungsquelle und einem Kondensator und wieder zwei Messgeräten für Spannung und Stromstärke. Beachte übrigens, dass der Widerstand eines Kondensators im Wechselstromkreis als kapazitiver Widerstand bezeichnet wird. Erinnerst du dich noch an den Widerstand, an den Wert des Widerstandes eines Kondensators im Gleichstromkreis? Nun kannst du dich bestimmt dran erinnern. Ein Kondensator hat im Gleichstromkreis den unendlich großen Widerstand. Ja, woran liegt das? Nun, der Kondensator wird ja einmal aufgeladen beim Gleichstrom und dann besteht das elektrische Feld und dann ist aus. Also der Widerstand ist sehr groß. Anders als im Wechselstromkreis. Der Kondensator wird aufgeladen bei einer Periode der Wechselspannung, dann wird er entladen und wieder umgeladen. Und während dieses Umladens fließt natürlich im Wechselstromkreis ein elektrischer Strom. Und dieser Strom kann dann bestimmt werden. Und das Verhalten des Kondensators unter Einfluss einer Wechselspannung, das ist eben unser heutiges Thema. Legen wir also eine Spannung an und beobachten die beiden Messgeräte, insbesondere die Zeiger natürlich, so sehen wir, dass diese Zeiger nicht im Gleichtakt schwingen. Sie sind aus physikalischer Sicht nicht in Phase. Präziser: Spannung und Stromstärke sind nicht in Phase. Wir sehen das an diesem Diagramm, wo Spannung und Stromstärke über Omegat aufgetragen ist. Wir sehen dort, dass die Stromstärke zeitlich vor der Spannung das Maximum erreicht. Wenn wir dieses Verhalten mal in das Zeigerdiagramm, das links daneben dargestellt ist, übertragen und die Zeiger von Spannung und Stromstärke uns ansehen, dann sehen wir, dass der Zeiger der Stromstärke um Pi/2 dem Zeiger der Spannung vorauseilt. Und das ist genau das, was wir auch im Stromstärke Spannung Zeit Diagramm sehen. Die Stromstärke eilt also der Spannungskurve um eine Viertelperiode, also Pi/2 voraus. Und im Folgenden wollen wir uns der mathematischen Beschreibung dieses Verhaltens widmen. Ja, wir wollen uns jetzt also dem mathematischen Verlauf von Spannung, Stromstärke im Wechselstromkreis widmen, natürlich aus mathematischer Sicht. Ja, zur Berechnung des Wechselstromwiderstandes unseres Stromkreises mit Kondensator gehen wir von einer bekannten Beziehung aus, nämlich Ladung = KapazitätSpannung. Und da wir es hier mit zeitabhängigen Größen zu tun haben, notieren wir diese Gleichung als Q(t)=CU(t). Da steckt also die zeitliche Abhängigkeit drin. Und unser Wechselstromkreis wird mit einer Spannung beliefert, die den Wert hat U=₀sin(Omegat). Eine weitere Größe brauchen wir noch, nämlich die Stromstärke. Und Stromstärke und Ladung stehen ja auch in einer Beziehung. Also Stromstärke = Ladung pro Zeit. Und wenn wir das differenziell betrachten, also zeitabhängig betrachten, dann ist das I(t) = Q(t)/ t. Wenn wir dieses Q(t) hier einsetzen, dann müssen wir noch beachten, dass wir hier ja eine Änderung der Ladung in der Zeit haben. Wir müssen das also differenziell betrachten. Also ist I(t)=dQ(t)/dt. Und jetzt setzen wir diesen Term ein d / dt C U(t). C ist eine Konstante. Die ziehen wir vor den Differenziations-Operator also C * d / dt U(t). Und jetzt setzen wir dieses ein. U(t) ist dann gleich d durch dt mal U₀mal sin(Omegat). Wir müssen also jetzt diesen Term differenzieren und wir erhalten schließlich I von t ist gleich, das ist konstant, das ist konstant, das schreiben wir vor das Differenzial. Die Ableitung von sin(Omegat) ist cos(Omegat) mal der inneren Ableitung Omega. Und das ziehen wir auch hier an diese Stelle und notieren die Ableitung cos(Omegat). Ja, wir haben hier U=U₀sin(Omegat) und I(t) oder I=CU₀ Omegacos(Omegat). Wir können jetzt aus dem Kosinus mithilfe der Phasenbeziehung den Sinus machen und schreiben dafür C mal U₀ Omega Sinus und jetzt brauchst du ein wenig Mathematik ist Omegat plus Pi/2. Die beiden sind also um Pi/2 phasenverschoben, die beiden trigonometrischen Funktionen Kosinus und Sinus. Und jetzt siehst du, dass hier der sin(Omegat) plus Pi/2 für die Stromstärke steht und für die Spannung sin(Omegat) und wir sehen hieran, dass die Stromstärke der Spannung um Pi/2 voraus eilt. Naja und genau das haben wir in unserem Experiment gesehen. Nun wollen wir noch eine Kleinigkeit nachreichen. Wir betrachten einmal diesen Term hier. Das ist ja, wenn wir die Sinusfunktion uns ansehen, der Wert von dem Maximum der Stromstärke, also das ist I₀. Wenn wir jetzt I₀=CU₀Omega uns anschauen, dann könntest du aus dieser Beziehung sicherlich sofort eine Umstellung herleiten, nämlich das ist U₀/I₀ und das ist gleich 1/ Omega * C. Und du kennst sicherlich aus dem Elementarunterricht Spannung geteilt durch Stromstärke. Das können wir als Widerstand definieren. Und wir schreiben hier für den so genannten kapazitiven Widerstand X_C= 1 /(OmegaC). Das ist der kapazitive Widerstand eines Kondensators im Wechselstromkreis. Schau dir das an X_C= 1 /(OmegaC). Dieser Widerstand ist indirekt proportional zu Omega, zur Kreisfrequenz und indirekt proportional zur Kapazität. Das leuchtet auch ein. Omega steht ja für den Wechselstromkreis für die Schnelligkeit des Wechsels von den Perioden im Wechselstromkreis. Und je schneller das ist, je größer Omega ist, desto kleiner wird natürlich der kapazitive Widerstand. Ist der Widerstand sehr klein, geht gegen Null, dann wird eben dieser kapazitive Widerstand, wie wir es vom Gleichstromkreis kennen, unendlich groß. Das spiegelt sich also in dieser Gleichung wider. Ja und die Abhängigkeit von C je größer eben ein Kondensator ist, desto kleiner ist der kapazitive Widerstand. Damit haben wir im Wesentlichen unseren Kondensator im Wechselstromkreis beschrieben. Fassen wir knapp zusammen, was wir gemacht haben: Wir haben also die Schreibweise von Strom und Spannung im Wechselstromkreis uns angeschaut, sind dann auf einen Kondensator zu sprechen gekommen, der sich im Gleichstromkreis befindet, haben nochmal wiederholt, dass der Kondensator im Gleichstromkreis einen unendlich hohen Widerstand hat und haben uns dann eine Schaltung angesehen, in der der Kondensator in einem Wechselstromkreis angeschlossen ist. Und dort haben wir aufgrund des Experiments abgeleitet, dass die Stromstärke der Spannung um Pi/2 vorauseilt. Das haben wir im Zeigerdiagramm gesehen und dann haben wir das Ganze mathematisch abgeleitet und hier haben wir nochmal gesehen, die Spannung und die Stromstärke haben genau den Verlauf, nämlich die Stromstärke eilt der Spannung um Pi/2 voraus. Zum Schluss haben wir noch die Formel, die wir hier hergeleitet haben benutzt, um den so genannten kapazitiven Widerstand eines Kondensators im Wechselstromkreis herzuleiten und haben festgestellt, dass dieser indirekt proportional ist zu Omega und C. Ja, das war's für heute. Ich hoffe, wir sehen uns bald wieder bei einem Video von Dr. Psi. Tschüss