Flächenladungsdichte

Herzlich willkommen zu einem Video von Doktor Psi. Wir beschäftigen uns heute zunächst mit einer kurzen Wiederholung, mit dem elektrischen Feld im Plattenkondensator, sowie mit den Größen „Spannung“, „Energie“ und „Feldstärke“. Dann behandeln wir die physikalische Größe der „Flächenladungsdichte“ im Plattenkondensator und lernen dabei auch die elektrische „Feldkonstante“ kennen. Zum Schluss fassen wir das Gelernte wieder zusammen. Starten wir also mit einer kurzen Wiederholung der wichtigsten Größen zum Plattenkondensator. Ein Plattenkondensator besteht im Prinzip aus zwei gegeneinander isolierten Metallplatten. Verbinden wir den Plattenkondensator mit einer „Gleichspannungsquelle“, so fließen Ladungen auf die Platten und es bildet sich zwischen den Platten ein elektrisches Feld aus. Du kannst es hier sehen. Die Pfeile, die das elektrische Feld symbolisieren, zeigen von der positiv geladenen Platte zur negativ geladenen Platte. Erinnere Dich bitte daran, dass das elektrische Feld eine Modellvorstellung ist. Diese Modellvorstellung hat sich aber sehr bewährt, bei der physikalischen Beschreibung eines Kondensators und seiner Eigenschaften. Ein solcher Kondensator, der aufgeladen ist, kann die Ladungen speichern und damit auch, solange die Ladungen im Kondensator sich befinden, das elektrische Feld. Und dazu auch, die im elektrischen Feld gespeicherte Energie. Das Ladungsvermögen des Kondensators wird mit der Größe „Kapazität“ bezeichnet und diese Kapazität ist definiert als Ladung pro Spannung. Und diese Kapazität hat die Einheit ein „Farad“ und ein Farad ist gleich ein „Coulomb“ pro Volt. Dann hatten wir noch weiter gesagt, dort ist ein elektrisches Feld gespeichert und die elektrische Feldstärke, die können wir auch quantitativ beschreiben. Elektrische Feldstärke, die wird ausgedrückt durch E = u / d, wobei u die Größe der angelegten Spannung ist und d ist der Plattenabstand unseres Kondensators. Und die Einheit der elektrischen Feldstärke ist gleich, man kann das hier sehr schön sehen, u ist die Spannung, hat die Einheit Volt und der Abstand wird in Meter angegeben, also ein Volt pro Meter. Oder, eine zweite Einheit, die lautet ein Newton durch Coulomb. Wir erwähnten noch die Energie beim Plattenkondensator, die im elektrischen Feld gespeichert ist. Diese Energie können wir notieren als ½ Q * u. Und wenn wir jetzt diese Formel kurz man nach Q umstellen ist Q = c * u, wenn wir das hier einsetzen, erhalten wir ½ c * u2. Und die Einheit dieses elektrischen, oder der Energie des elektrischen Feldes, die ist ein Joule. Soweit eine knappe Wiederholung der physikalischen Eigenschaften unseres Plattenkondensators und wir wollen nun uns der Einführung der Flächenladungsdichte zuwenden. Nun wollen wir uns das elektrische Feld im Inneren des Plattenkondensators einmal etwas näher betrachten. Wir sehen ja hier im Prinzip nochmal die grundlegende Darstellung unseres Plattenkondensators und wenn wir uns jetzt die Platten ansehen, befinden sich auf diesen Platten elektrische Ladungen. Und wir wollen für die folgende Betrachtung einfach mal annehmen, dieses ganze System befindet sich im Gleichgewicht. Das heißt, die elektrischen Ladungen sind auf den Platten gleichmäßig verteilt. Wir wollen diese elektrischen Ladungen als „felderzeugende Ladungen“ betrachten. Wenn sie auf diesen Platten gleich dicht verteilt sind, dann können wir diese Konzentration der Ladungen, bezogen auf eine Fläche durch die sogenannten „Flächenladungsdichte“ beschreiben. Und diese Flächenladungsdichte bekommt einen Buchstaben, das ist ein kleines Sigma, das ist eine Ladung pro Fläche, das ist also eine Dichte, eine Flächenladungsdichte. Und diese Flächenladungsdichte, die hat auch eine Einheit, die Einheit von Sigma ist dann, die Einheit der Ladung ist Coulomb und die Flächeneinheit ist Quadratmeter. Also Sigma ist dann, von der Einheit her betrachtet, ein Coulomb pro Quadratmeter. Nun sehen wir, wenn wir bei unserem Kondensator die felderzeugenden Ladungen durch eine Vergrößerung der Spannung auch vergrößern, dann ändert sich natürlich diese Flächenladungsdichte und die elektrische Feldstärke und diese Flächenladungsdichte sind einander proportional. Und wir können das wieder quantitativ ausdrücken: Die elektrische Feldkonstante, wir gehen gleich darauf ein. Also wir sagten die Flächenladungsdichte Sigma ist proportional zu E, das hängt damit zusammen, dass wenn man die felderzeugenden Ladungen vergrößert, bei gleicher Fläche, wird natürlich Sigma größer und das elektrische Feld größer und damit die Feldkonstante Sigma und das elektrische Feld ist zueinander, die Feldstärke, sind zueinander proportional. Und Du kennst das aus der Mathematik, wenn wir Sigma durch E schreiben, ist bei einem solchen Zusammenhang die Größe konstant, das ist dann die „Proportionalitätskonstante“. Und so haben wir auch hier eine Proportionalitätskonstante. Wir können hier diese Proportionalitätskonstante quantitativ ausdrücken durch einen Wert und das ist genau die elektrische Feldkonstante Epsilon 0. Und das ist eine Naturkonstante und diese Feldkonstante hat auch einen Wert, der in den Tabellen verzeichnet ist, das ist ein Wert von 8,854 * 10-12. Und die Einheit von dieser Konstante ist Amper2 * Sekunde2 durch Newton mal Quadratmeter. Wir können also auch umgekehrt sagen, dass die in einem homogenen Feld unseres Plattenkondensators, die Feldstärke E der Flächenladungsdichte proportional ist, indem wir das Ganze hier einfach umkehren. E = 1 / Epsilon 0 * Sigma. Das ist nur eine andere Schreibweise und drückt diese Proportionalität aus. Wir können hier auch diesen Term, hier an dieser Stelle, ich notiere den einfach nochmal, warum? Wir werden es gleich nochmal sehen. Wir können nämlich diesen Term auch vektoriell schreiben. Und manchmal wird auch für diese Flächenladungsdichte ein anderer Begriff gewählt, das ist die „elektrische Verschiebungsdichte“. So und das ist, wenn man diese Gleichung als, in vektorieller Form darstellt, dann ist das die elektrische Verschiebungsdichte, das ist der Buchstabe d, als Vektor geschrieben, mal Epsilon 0 und dann brauchen wir natürlich hier auch die elektrische Feldstärke mit, in vektorieller Darstellung. Und diese elektrische Verschiebungsdichte hat die Richtung des elektrischen Feldes, wir sehen das ja in unserem Plattenkondensator. Und der Betrag dieser elektrischen Verschiebungsdichte ist gleich unsere Flächenladungsdichte. Und der Proportionalitätsfaktor ist wieder Epsilon 0. Das wäre erstmal der Zusammenhang zwischen Flächenladungsdichte und Verschiebungsdichte und der elektrischen Feldkonstante. Nun wollen wir uns noch ein wenig in einer weiteren Szene mit ein paar physikalischen Größen, die diesen Kondensator betreffen beschäftigen. Ja, wir hatten definiert, die Flächenladungsdichte ist gleich Sigma = Q / A. Und Sigma war Epsilon 0, die elektrische Feldkonstante mal der elektrischen Feldstärke E. Nun, wir wollen hier ein wenig mit den Größen und anderen bekannten Größen experimentieren, können wir so sagen. Wenn wir diesmal umstellen nach Q, so gewinnen wir Q = Sigma * A. Kein Problem, ist Mathematik. Nun nehmen wir unsere Formel, die wir abgeleitet haben und setzen einfach mal für Sigma das ein. Q = Epsilon 0 * E * A. Auch das ist kein großes Ding. Und jetzt wollen wir diesen Term uns, oder diesen Ausdruck E mal angucken und wir erinnern uns an die Darstellung E ist gleich, also elektrische Feldstärke ist gleich Spannung durch Abstand der Platten. Und wenn wir das jetzt hier einsetzen, erhalten wir Q = Epsilon 0 * u / d und dann nehmen wir noch die Fläche A. Jetzt dividieren wir die ganze Gleichung durch u und erhalten hier Q / u = Epsilon 0 * A / d. Ja und jetzt erinnern wir uns, stand vorhin auch an der Tafel, dass die Kapazität Q / u war. Und wenn wir jetzt Q / u durch c ersetzen, dann steht da c = Epsilon 0 * A / d. Das ist die Kapazität unseres Kondensators. Und diese Kapazität ist allein dargestellt aus geometrischen Gründen und einer Naturkonstante. Ja, ich finde das ganz interessant, dass auf diese Art und Weise der Ableitung über die Flächenladungsdichte und die elektrische Feldkonstante, die Kapazität unseres Kondensators auf diese Art und Weise hergeleitet wird. Das wollte ich euch gerne noch zeigen. Ja, fassen wir das Gelernte von heute zusammen: Wir haben also ganz knapp die Eigenschaften unseres Plattenkondensators wiederholt. Dann hatten wir über das elektrische Feld die Flächenladungsdichte Sigma hergeleitet und haben erhalten, dass die Feldstärke der Flächenladungsdichte proportional war und aus dieser Proportionalität konnten wir die Naturkonstante, nämlich die elektrische Feldkonstante Epsilon 0 gewinnen. Dann haben wir nochmal kurz diese Formel in vektorieller Darstellung notiert und sind dabei auf die elektrische Verschiebungsdichte gestoßen, die als Betrag Sigma hat und als Richtung die des elektrischen Feldes. Nun und dann haben wir ein wenig mit diesen Ergebnissen gespielt und haben diese Formeln zusammengestellt, ein wenig eingesetzt, umgeformt und erhielten schließlich eine, die Kapazität unseres Kondensators, nur allein aus den geometrischen Eigenschaften. Ja, das war’s für heute. Ich hoffe, Du hast alles gut verstanden und hattest auch ein wenig Spaß daran. Vielleicht sehen wir uns wieder bei einem der anderen Videos von Doktor Psi. Tschüss.