Plattenkondensator – homogenes elektrisches Feld

Plattenkondensator – homogenes elektrisches Feld Übung

• Beschreibe Aufbau und Funktionsweise eines Plattenkondensators.

  Tipps

  Was passiert, wenn man an einen Plattenkondensator eine Spannung anlegt? Bewegen sich Ladungen? Was benötig man für diese Bewegung?

  Was passiert, wenn man zwei unterschiedlich geladene Objekte mit einem leitenden Material verbindet?

  Wie sieht das Feld zwischen einer Kette von positiven Ladungsträgern und einer Kette von negativen Ladungsträgern aus?

  Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen elektrischer Feldstärke im Inneren des Kondensators, angelegter Spannung und Abstand der Platten.

  Lösung

  Ein Plattenkondensator ist ein Bauteil zur Speicherung von Ladungen.

  Dafür werden zwei Platten aus einem leitenden Material verwendet. Die Platten werden parallel zueinander in einem geringen Abstand angeordnet. Schließt man nun eine Spannung an die Platten an, fließen die negativen Ladungsträger, die Elektronen, aus der einen Platte heraus und in die andere hinein. Damit es nicht zum Übertritt von Ladungen zwischen den beiden Platten kommt, muss sich zwischen den Platten ein nichtleitendes Material befinden. Solch ein Material bezeichnet man als Dielektrikum.

  Durch die unterschiedliche Ladung auf den beiden Platten, kommt es im Inneren des Plattenkondensators zur Ausbildung eines elektrischen Feldes. Durch die Geometrie der Platten, ist diese Feld homogen.

  Der geringe Abstand der Platten ist wichtig, um möglichst viele Ladungen speichern zu können. Die Spannung zwischen den Platten ist am Ende des Ladevorgangs nämlich genau so groß, wie die angelegte Spannung, nur entgengesetzt gerichtet. Die Spannung im homogenen elektrischen Feld ergibt sich aus dem elektrischen Feld durch Multiplikation über den Weg. Umso kürzer der Weg zwischen den Platten, desto stärker muss demnach das Feld zwischen den Platten sein, um dieselbe Spannung zu erreichen. Die Stärke des Feldes im Inneren des Plattenkondensators ist proportional zur Menge an Ladungen auf den Platten. Somit sind umso mehr Ladungen auf den Platten, je näher die Platten beieinander sind.

• Nenne Eigenschaften des elektrischen Feldes im Plattenkondensator.

  Tipps

  Stelle dir den Plattenkondensator als zwei parallele Ketten von Ladungsträgern vor. Stell dir das resultierende Feld vor, wenn sich die Felder der aufgereihten Ladungen überlagern.

  Von wo gehen die Feldlinien aus?

  Lösung

  Stellen wir uns einen Plattenkondensator als zwei parallele Reihen von Ladungen vor. Die eine Reihe ist positiv geladen, die andere negativ. Die elektrischen Feldlinien gehen immer von den Ladungen aus und können somit nicht parallel zu den Platten verlaufen.

  Die Felder der benachbarten Ladungen überlagern sich so, dass zumindest weit genug entfernt vom Rand der Platten, die Feldlinien parallel verlaufen.

  An der Dichte der Feldlinien, kann man die Feldstärke ablesen. Da die Feldlinien parallel verlaufen, ändert sich die Dichte der Feldlinien nicht. Die Feldstärke ist also überall zwischen den Platten gleich groß und gleich gerichtet. Das elektrische Feld ist also homogen.

  Die Kraft auf eine Ladung ist das Produkt aus Ladung und Feldstärke:

  $F=q \cdot E$.

  Die Kraft ist somit auch überall zwischen den Platten gleich groß. Die Arbeit, die nötig ist, eine Ladung von einer Platte zur anderen zu verschieben, ist also einfach das Produkt aus dem Weg und der Kraft:

  $W=F \cdot d$.

  Die Spannung ist diese Arbeit durch die Ladung. Also:

  $U=\frac{W}{q}=\frac{F \cdot d}{q}=E \cdot d$ und nach dem Umstellen:

  $E=\frac{U}{d}$.

• Identifiziere mögliche Materialien für einen Plattenkondensator.

  Tipps

  Welche Eigenschaften müssen die Kondensatorplatten haben? Welche Eigenschaft ist für das Dielektrikum wichtig?

  Lösung

  Die Platten eines Plattenkondensators bestehen aus einem leitenden Material zum Beispiel einem Metall. Wird eine Spannung angelegt, können deshalb aus der einen Platte Ladungen entzogen und in die andere Platte Ladungen geleitet werden.

  Damit es nicht zu einem Ladungsübertritt zwischen den Platten kommt, muss sich zwischen den Platten ein nichtleitendes Material, ein Dielektrikum, befinden.

• Berechne die Feldstärke im Plattenkondensator.

  Tipps

  Erinnere dich an die Formel zur Berechnung der Feldstärke aus der Spannung und dem Abstand der Platten.

  Ein Meter sind einhundert Zentimeter.

  Lösung

  Gegeben sind die Spannung $U=500\,\text{V}$ und der Abstand der Platten $d=2\,\text{cm}$. Gesucht ist die Feldstärke $E$.

  Die Gleichung für die Feldstärke im homogenen elektrischen Feld zwischen den Platten eines Plattenkondensators lautet:

  $E=\frac{U}{d}$.

  Setzen wir die Werte ein, erhalten wir:

  $E=\frac{500\,\text{V}}{2\,\text{cm}}=\frac{100 \cdot 500\, \text{V}}{2\,\text{m}}=25\,000\,\frac{\text{V}}{\text{m}}$.

• Gib die Begriffe im Zusammenhang mit dem Plattenkondensator an.

  Tipps

  Erinnere dich an den Aufbau eines Plattenkondensators.

  Was bedeuten parallele Feldlinien mit konstantem Abstand für die Feldstärke?

  Lösung

  Das Feld zwischen Platten eines Plattenkondensators ist homogen. Das bedeutet, dass die Feldlinien parallel verlaufen und einen konstanten Abstand haben.

  Das Bild für den Plattenkondensator als Bauteil sind zwei parallele vertikale Linien, die Platten, mit von ihrer Mitte senkrecht nach links und rechts verlaufenden horizontalen Linien, die Leiter.

  Um einen Plattenkondensator zu laden, wird eine Spannungsquelle angeschlossen.

  Zwischen den Platten befindet sich ein nichtleitendes Medium, ein Dielektrikum, damit es nicht zum Übertritt von Ladungen zwischen den beiden Platten kommt.

• Berechne die Spannung am Kondensator.

  Tipps

  Es gibt zwei mögliche Lösungswege.

  Ein Lösungsweg funktioniert über den Zusammenhang zwischen der verrichteten Arbeit im elektrischen Feld und der Spannung. Der andere Weg geht über die Beschleunigung eines Teilchens durch die Kraft im elektrischen Feld und den Zusammenhang zwischen elektrischer Feldstärke und Spannung im Plattenkondensator.

  Erinnere dich an die Gleichung für die kinetische Energie eines Teilchens.

  Lösung

  Gegeben ist die Geschwindigkeit des Elektrons an der positiv geladenen Platte $v=1\,000\,000\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \left(= 1{,}0 \cdot 10^6\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \right)$. Gesucht ist die Spannung zwischen den Platten.

  Um diese Aufgabe zu lösen, gibt es zwei unterschiedliche Lösungswege.

  Ein Lösungsweg funktioniert über den Zusammenhang zwischen der verrichteten Arbeit $W$ im elektrischen Feld, der Spannung am Plattenkondensator $U$ und der Ladung des Elektrons $q$.

  Es gilt: $W=q \cdot U$

  Da sich das Elektron im Vakuum bewegt, entspricht die vom Feld verrichtete Arbeit genau der kinetischen Energie $E_{\text{kin}}$, die das Elektron erreicht hat, wenn es die positiv geladene Platte erreicht:

  Also: $W=E_{\text{kin}}=\frac{1}{2} \cdot m\cdot v^2$

  Hier ist $m$ die Ruhemasse des Elektrons. Für die Spannung ergibt sich damit:

  $U=\frac{W}{q}=\frac{E_{\text{kin}}}{q}=\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{q} \cdot v^2$

  Setzen wir für die Geschwindigkeit $v$ den gegebenen Wert und für die Ruhemasse $m$ und Ladung $q$ des Elektrons die üblichen Werte aus einem Tafelwerk ein $\left(m=m_\text{e}=9{,}1 \cdot 10^{-31}\,\text{kg} , \, q=e=1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{As} \right)$, so erhalten wir:

  $U = \frac{1}{2} \cdot {\frac{9{,}1 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{As}}} \cdot (1{,}0 \cdot 10^{6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}})^2 \approx 2{,}8\,\frac{\text{kg} \cdot {\text{m}}^2}{\text{A} \cdot {\text{s}}^3} \approx 2{,}8\,\text{V}$.

  Der zweite Lösungsweg geht über die Kraft, die auf das Elektron im elektrischen Feld wirkt.

  Die Beschleunigung des Elektrons mal seiner Masse ist gleich der auf sie wirkende Kraft (nach Newtons zweitem Gesetz):

  $F=m \cdot a= m \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}t}$.

  Betrachten wir die Geschwindigkeit als zeitliche Ableitung der Strecke $s$, also $v=\frac{\text{d}s}{\text{d}t}$, dann gilt nach der Kettenregel:

  $\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{\text{d}v}{\text{d}s} \cdot \frac{\text{d}s}{\text{d}t}=\frac{\text{d}v}{\text{d}s} \cdot v$

  Wir erhalten also aus Newtons zweitem Gesetz:

  $F=m \cdot v \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}s}$

  Die Lösung dieser Differentialgleichung ist dann für die konstante Kraft $F$:

  $F \cdot s = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

  Somit ergibt sich für für die gesamte Distanz zwischen den beiden Platten die Kraft:

  $F = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{s} \cdot v^2$

  Das elektrische Feld $E$ ergibt sich als Quotient aus Kraft und Ladung:

  $E=\frac{F}{q}=\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{q \cdot s} \cdot v^2$

  Und die Spannung ist das Produkt aus Feldstärke und Plattenabstand $d$, wobei in diesem Fall $d = s$ ist:

  $U=E \cdot d = E \cdot s = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{q \cdot s} \cdot v^2 \cdot s = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{q} \cdot v^2 \approx 2{,}8\,\text{V}$

  Dieser zweite Lösungsweg lässt sich auch ohne Differentialrechnung herleiten, wenn man einfach annimmt, dass für die Bewegung des Elektrons die Bewegungsgleichungen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung gelten:

  $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$ und $v = a \cdot t$

  Wobei die Strecke $s$ genau dem Plattenabstand $d$ entspricht. Mit diesen zwei Gleichungen kann die Variable $t$ eliminiert und anschließend nach $a$ aufgelöst werden. So folgt schließlich $a = \frac{{v}^{2}}{2 \cdot d}$ und damit:

  $F = m \cdot a = m \cdot \frac{{v}^{2}}{2 \cdot d} = \frac{q \cdot U}{d}$

  Aufgelöst nach $U$ ergibt sich so wieder:

  $U = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{q} \cdot v^2 \approx 2{,}8\,\text{V}$