Volumenarbeit

Volumenarbeit Physik

Beim Versuch, eine Luftpumpe zusammenzudrücken, während das Ventil zugehalten wird, scheitert jede Schülerin oder jeder Schüler nach einiger Zeit. Doch warum ist das so? Warum kann die Luftpumpe dann nicht mehr komplett zusammengedrückt werden? Das hat etwas mit der Volumenarbeit zu tun. Im folgenden Text wird die Volumenarbeit einfach erklärt.

Volumenarbeit Thermodynamik

In der Thermodynamik betrachtet man die Zustände makroskopischer Systeme und den Übergang zwischen verschiedenen Zuständen. Die verschiedenen Zustände werden durch Zustandsgrößen charakterisiert. Zustandsgrößen sind Druck, Volumen, Temperatur und Energie. Um den Unterschied zwischen zwei Zuständen zu charakterisieren, werden Prozessgrößen verwendet. Zu den Prozessgrößen gehören die Wärme $Q$ und die Arbeit $W$. In diesem Text legen wir den Fokus auf eine bestimmte Form der Arbeit – die Volumenarbeit. Dazu stellen wir uns zunächst die Frage: Wann wird Volumenarbeit verrichtet?

Volumenarbeit ist die Arbeit, die

• wir an einem Gas verrichten müssen, um es von einem Volumen $V_1$ auf ein Volumen $V_2$ zu verdichten oder
• die das Gas verrichtet, wenn es sich von einem Volumen $V_2$ auf ein Volumen $V_1$ ausdehnt.

Da die Volumenarbeit eine Form der Arbeit ist, besitzt sie das Formelzeichen $W$. Die Volumenarbeit wird in der Einheit Joule, kurz $\pu{J}$, angegeben. Wie die Volumenarbeit berechnet wird, schauen wir uns im nächsten Abschnitt genauer an.

Volumenarbeit Herleitung

Um die Formel für die Volumenarbeit herzuleiten, benötigen wir die allgemeine Gleichung für die Arbeit:

$(1) \quad W = \int\limits_{s_1}^{s_2} F(s) \,\text{d}s $

Die Arbeit $W$ ist das bestimmte Integral der Kraft $F(s)$ entlang eines Wegs mit dem Anfangspunkt $s_1$ und dem Endpunkt $s_2$. $F$ steht hierbei für die Kraft in Abhängigkeit vom Weg $s$. Diese Gleichung bezeichnen wir als Gleichung $(1)$. Zudem benötigen wir die allgemeine Gasgleichung. Diese lautet:

$(2) \quad p \cdot V = n \cdot R \cdot T$

Diese bezeichnen wir als Gleichung $(2)$. Der Druck wird durch $p$ angegeben, $V$ steht für das Volumen, $n$ ist die Stoffmenge in Mol, $R$ die universelle Gaskonstante und $T$ die Temperatur. Der Druck ist gegeben durch die Gleichung $(3)$:

$(3) \quad p = \frac{F}{A}$

Dabei steht $F$ für die Kraft und $A$ für die Fläche, auf die die Kraft wirkt. Setzen wir die Gleichung $(3)$ in die Gleichung $(2)$ ein, so erhalten wir:

$ \frac{F}{A} \cdot V = n \cdot R \cdot T$

$ \Leftrightarrow F = n \cdot R \cdot T \cdot A \cdot \frac{1}{V}$

Diese nach $F$ umgestellte Gleichung bezeichnen wir als Gleichung $(4)$. Da lediglich eine Volumenarbeit verrichtet werden soll, fordern wir, dass $n \cdot R \cdot T = \text{konstant}$. Das ist durch eine bestimmte Stoffmenge und gleichbleibende Temperatur gegeben. Nun setzen wir Gleichung $(4)$ in Gleichung $(1)$ ein. Wir erhalten:

$W = \int\limits_{s_1}^{s_2} n \cdot R \cdot T \cdot A \cdot \frac{1}{V}\,\text{d}s$

Die Änderung $A \cdot \text{d}s$, die wir in der Formel finden, entspricht der Volumenänderung $\text{d}V$ und kann in der Formel durch diese ersetzt werden. Zudem wird das Integral in der Thermodynamik mit einem negativen Vorzeichen versehen, da die Arbeit gegen den Druck des Gases verrichtet werden muss. Da $n \cdot R \cdot T = \text{konstant}$ gilt, kann dieser Teil außerhalb des Integrals geschrieben werden. Wir erhalten:

$W = - n \cdot R \cdot T \int\limits_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} \text{d}V$

Da nun $\text{d}V$ im Integral steht, muss von $V_1$ nach $V_2$ integriert werden. Das Integral der Funktion $\frac{1}{V}$ ergibt den natürlichen Logarithmus $\ln{V}$.

$W = - n \cdot R \cdot T \cdot \left[\ln{V}\right]_{V_1}^{V_2}$

$\Leftrightarrow W= - n \cdot R \cdot T \cdot \ln{V_2} - ( - n \cdot R \cdot T \cdot \ln{V_1})$

$\Leftrightarrow W= n \cdot R \cdot T (\ln{V_1} - \ln{V_2})$

Durch Anwendung eines Logarithmusgesetzes erhalten wir die Formel für die Volumenarbeit:

$W = n \cdot R \cdot T \, \left( \ln{\frac{V_1}{V_2}} \right)$

Da wir die Temperatur als konstant angenommen haben, ist der Prozess der Volumenarbeit isotherm. Als isotherm werden in der Thermodynamik Zustandsänderungen bezeichnet, bei denen sich die Temperatur nicht ändert.

Ist $W>0$ bedeutet das, dass $V_1$ größer als $V_2$ ist. Es wird Arbeit am System verrichtet. Das Volumen wird kleiner. Diese Art der Arbeit wird auch Kompressionsarbeit genannt. Ist $W<0$, so bedeutet das, dass $V_1$ kleiner als $V_2$ ist. Hierbei sagt man, dass das System Arbeit verrichtet. Im ersten Fall hat die Arbeit ein positives Vorzeichen, im zweiten Fall hat sie ein negatives Vorzeichen.

Ist $V_1$ erheblich größer als $V_2$, so ist die verrichtete Volumenarbeit sehr groß. Im Fall unserer Luftpumpe, die zugehalten wird, muss also sehr viel Arbeit verrichtet werden, damit sich das Volumen ändert und die Luftpumpe zugedrückt werden kann. Die Kraft für diese Arbeit kann kaum ein Mensch aufbringen.

Volumenarbeit Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen die wichtigsten Informationen aus dem Video und dem Text noch einmal zusammen.

• Volumenarbeit wird an einem Gas unter Veränderung des Volumens geleistet.
• Die Volumenarbeit ist eine Prozessgröße.
• Da die Temperatur konstant ist, ist der Prozess der Volumenarbeit isotherm.
• Die Formel für die Volumenarbeit lautet: $W = n \cdot R \cdot T \, \left(\ln{\frac{V_1}{V_2}}\right)$