Widerstandsgesetz
Widerstandsgesetz in der Physik: Der elektrische Widerstand von Bauteilen wie Draht hängt von ihrer Querschnittsfläche und Länge ab. Dies beeinflusst, wie Strom fließt. Entdecke die Formel und den spezifischen Widerstand. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Widerstandsgesetz
Das Widerstandsgesetz in der Physik
Wenn es um elektrische Schaltungen geht, spielen ohmsche Widerstände fast immer eine wichtige Rolle. Die Größe des ohmschen Widerstands $R$ bestimmt als Proportionalitätskonstante, wie groß die Stromstärke $I$ bei einer gegebenen Spannung $U$ ist. Das ist das ohmsche Gesetz. Aber wovon hängt der Widerstand eines Bauteils, zum Beispiel eines Drahts, ab? Das schauen wir uns im Folgenden etwas genauer an.
Widerstandsgesetz – Querschnitt des Drahts
Wir beginnen damit, den Einfluss der Querschnittsfläche eines Drahts auf seinen elektrischen Widerstand zu untersuchen. Dazu stellen wir uns ein Experiment vor und schauen uns an, welche Messwerte ein solches Experiment liefert.
Der Aufbau des Experiments sieht folgendermaßen aus: An eine Gleichspannungsquelle, an der eine Spannung von
| $A$ in $\pu{mm^{2}}$ | $ I$ in $\pu{A}$ | $R$ in $\pu{\Omega}$ |
|---|---|---|
| 0,2 | 0,5 | 2 |
| 0,4 | 1,0 | 1 |
| 0,8 | 2,0 | 0,5 |
Wenn sich der Querschnitt des Drahts verdoppelt, halbiert sich sein Widerstand. Dieser Zusammenhang heißt Antiproportionalität. Wir können auch sagen: Der Widerstand ist antiproportional zur Querschnittsfläche des Drahts. Als Formel geschrieben sieht das so aus:
$R \propto \frac{1}{A}$
Damit haben wir die erste Abhängigkeit bereits kennengelernt.
Widerstandsgesetz – Länge des Drahts
Wir wollen nun untersuchen, welchen Einfluss die Länge $l$ des Drahts auf den Widerstand hat. Dazu betrachten wir denselben Aufbau wie im vorigen Abschnitt, tauschen den Draht allerdings nach jeder Messung gegen einen Draht mit anderer Länge aus. Zu jeder Länge schreiben wir die zugehörigen Werte für Stromstärke und Widerstand in einer Tabelle auf. So erhalten wir das folgende Ergebnis.
| $l$ in $\pu{m}$ | $I$ in $\pu{A}$ | $R$ in $\Omega$ |
|---|---|---|
| 0,5 | 4,0 | 0,25 |
| 1,0 | 2 | 0,5 |
| 2,0 | 1,0 | 1 |
Wenn sich die Länge des Drahts verdoppelt, verdoppelt sich auch der Widerstand. Dieser Zusammenhang heißt Proportionalität. Wir können sagen: Der Widerstand ist proportional zur Länge des Drahts. Mathematisch lässt sich das folgendermaßen ausdrücken:
$R \propto l$
Unsere Erkenntnisse können wir nun im Widerstandsgesetz zusammenfassen.
Widerstandsgesetz – Formel
Wir haben herausgefunden, dass der Widerstand $R$ antiproportional zur Querschnittsfläche $A$ und proportional zur Länge $l$ des Drahts ist. Wenn wir beides zusammenfassen, erhalten wir zunächst:
$R \propto \frac{l}{A}$
Für das allgemeine Widerstandsgesetz fehlt jetzt noch die Proportionalitätskonstante $\rho$:
$R = \rho \frac{l}{A} $
Die Konstante $\rho$ heißt spezifischer elektrischer Widerstand und ist materialspezifisch. Das heißt, unterschiedliche Materialien haben unterschiedliche Werte für $\rho$. Je größer $\rho$ ist, desto größer ist auch der elektrische Widerstand und umso schlechter leitet der Draht den Strom. Mit dem Widerstandsgesetz können wir so den Widerstand eines Bauteils berechnen, wenn wir seine Maße und das Material kennen.
Das Widerstandsgesetz - Zusammenfassung
Die wichtigsten Punkte zum Widerstandsgesetz fassen wir noch einmal zusammen:
- Der Widerstand eines Drahts ist antiproportional zu seiner Querschnittsfläche.
- Der Widerstand eines Drahts ist proportional zu seiner Länge.
- Die Proportionalitätskonstante im allgemeinen Widerstandsgesetz ist der spezifische Widerstand.
Transkript Widerstandsgesetz
Herzlich willkommen zum Video über das Widerstandsgesetz. In diesem Video möchte ich dir erklären, warum der Widerstand dieses Drahtes wahrscheinlich geringer ist als der Widerstand dieses Drahtes hier. Außerdem wirst du lernen, wie der Widerstand der Drähte berechnet wird. Wiederholen wir nochmal kurz das Ohm’sche Gesetz in dieser einfachen elektrischen Schaltung. Wie legen an einen Ohm’schen Widerstand R eine Gleichspannung U an und messen den Strom I. Dabei stellen wir fest, dass U proportional zu I ist. Der Proportionalitätsfaktor ist der Widerstand R. Das Ohm’sche Gesetz lautet also: U = RI. Aber was steckt eigentlich in diesem Bauteilwiderstand drin? In elektrischen Geräten sind Widerstände aus Draht enthalten, deren Größe genau eingestellt werden muss, um beispielsweise die gewünschte Stromstärke zu erhalten. Dazu muss man wissen, wie sich die Eigenschaften des Drahtes wie Länge und Querschnitt auf seinen Widerstand auswirken. Genau das wollen wir uns jetzt mal anschauen. Betrachten wir zuerst, wie sich der Querschnitt, also die Dicke des Drahtes auf seinen Widerstand auswirkt. Wir machen ein Experiment, indem wir an einem Draht eine Gleichspannung von einem Volt anlegen und dann den Strom messen. Der Querschnitt A wird in Quadratmillimeter angegeben und beträgt zunächst 0,20 Quadratmillimeter. Der gemessene Strom I wird in Ampere angegeben und beträgt hier 0,5 Ampere. Daraus berechnet sich der Widerstand des Drahtes mit R = U/I zu 2,0 Ohm. Als nächstes vergrößern wie die Querschnittsfläche auf 0,4 Quadratmillimeter. Erwartest du jetzt einen größeren oder kleineren Widerstand? Die Größe des Widerstandes kann man sich als ein Maß dafür vorstellen, wie stark die Elektronen behindert werden, den Leiter zu durchqueren. Die Stromstärke beträgt jetzt 1,0 Ampere. Der Widerstand demnach 1,0 Ohm. Offenbar führt ein größerer Querschnitt dazu, dass die Elektronen mehr Platz haben und weniger behindert werden. Vergrößern wir den Querschnitt des Drahtes noch einmal auf jetzt 0,8 Quadratmillimeter. Die Stromstärke beträgt jetzt 2,0 Ampere, der Widerstand ist wieder kleiner geworden. Er beträgt nur noch 0,5 Ohm. Wir sehen, dass eine Verdopplung des Querschnitts des Drahtes offenbar zu einer Halbierung des Widerstands des Drahtes führt. Mathematisch sagt man: Der Widerstand ist umgekehrt proportional zum Querschnitt des Drahtes. Oder R ist proportional zu 1/A. Wovon hängt der Widerstand des Drahtes noch ab? Natürlich von der Länge des Drahtes. Wir untersuchen das in einem ähnlichen Experiment wie zuvor, nur dass jetzt die Länge l des Drahtes variiert wird. Beginnen wir mit einer Drahtlänge von 0,5 Metern. Dann messen wir eine Stromstärke von 4,0 Ampere. Der Widerstand ergibt sich zu 0,25 Ohm. Jetzt verdoppeln wir die Drahtlänge auf 1,0 Meter. Die Stromstärke verringert sich nun auf 2,0 Ampere. Irgendwie logisch, denn die fließenden Elektronen müssen ja jetzt einen längeren Widerstand überwinden. Der Widerstand steigt auf 0,5 Ohm an. Verdoppeln wir nun nochmal die Drahtlänge auf 2,0 Meter. Die Stromstärke halbiert sich dann auf 1,0 Ampere. Der Widerstand verdoppelt sich zu 1,00 Ohm. Was können wir aus diesen Messwerten schließen? Eine Verdopplung der Länge führt auch zu einer Verdopplung des Widerstands. Aus den Messwerten kann man sehen, dass offenbar der Widerstand des Drahtes direkt proportional zu seiner Länge ist. Mathematisch heißt das: R ist proportional zu l. Jetzt können wir unsere Erkenntnisse in dem Widerstandsgesetz zusammenfassen: Der Widerstand eines Drahtes hängt umgekehrt proportional von seinem Querschnitt und direkt proportional von seiner Länge ab. Das können wir zusammenfassen zu: R ist proportional zu l/A. Wollen wir daraus eine Gleichung machen, benötigen wir einen Proportionalitätsfaktor, den wir Rho nennen. Damit lautet die Gleichung: R = Rhol/A. Mit dieser Gleichung kann man den Widerstand eines Drahtes berechnen, wenn man seine Länge und seinen Querschnitt kennt. Ach so und das Rho. Ja, was ist eigentlich das Rho? Rho ist der sogenannte spezifische elektrische Widerstand. Wie du dir vielleicht vorstellen kannst, leiten nicht alle Stoffe gleich gut. Wie groß der Widerstand eines Drahtes ist, hängt zum Beispiel auch von dem Aufbau und der Reinheit des Materials ab. Der spezifische Widerstand ist eine temperaturabhängige Materialkonstante. So hat Kupfer bei 20 Grad Celsius einen spezifischen Widerstand von 0,02 Omegamm2/m. Der spezifische Widerstand von Nickel beträgt 0,07 Omegamm2/m. Ein ein Meter langer Draht aus Nickel mit einem Querschnitt von 0,1 Quadratmillimeter leitet also wesentlich schlechter den Strom als der gleiche Draht aus Kupfer. Fassen wir nochmal zusammen: Der Widerstand eines Drahtes hängt von seinem Querschnitt und seiner Länge ab. Er ist direkt proportional zur Länge und umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche. Daraus ergibt sich das Widerstandsgesetz: R = Rho*l/A. Dabei ist Rho der spezifische elektrische Widerstand. Ich hoffe, ich konnte dir helfen, das Widerstandsgesetz besser zu verstehen. Bis zum nächsten Mal.
Widerstandsgesetz Übung
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Gib die Formel für das Widerstandsgesetz an und beschrifte die Formelzeichen.
TippsDer Widerstand des Drahtes hängt proportional von der Länge des Drahtes $l$ ab.
Der Widerstand des Drahtes hängt umgekehrt proportional von dem Querschnitt des Drahtes $A$ ab.
Der spezifische Widerstand besitzt das Formelzeichen $\rho$.
LösungDer Widerstand wird mit $R$ bezeichnet.
Der Widerstand des Drahtes hängt direkt proportional von seiner Länge ab. Diese wird mit $l$ bezeichnet und steht im Zähler.
Der Widerstand hängt umgekehrt proportional von seinem Querschnitt ab. Der Querschnitt $A$ steht also im Nenner.
Der spezifische Widerstand $\rho$ ist der Proportionalitätsfaktor und steht vor dem Bruch.
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Berechne den Widerstand eines 5 m langen Kupferdrahtes mit einer Querschnittfläche von 1 mm².
TippsSetze die Größen in die Formel für das Widerstandsgesetz ein.
LösungFließt elektrischer Strom durch einen Draht, so können die elektrischen Ladungen nicht einfach ungehindert strömen. Der Draht hat einen Widerstand, der von der Länge, dem Querschnitt und spezifischen Materialeigenschaften des Drahtes abhängt.
Wir können das mit einem Wasserschlauch vergleichen: Auch hier wird der Widerstand umso größer, je kleiner wir dessen Querschnittsfläche machen. Auch die Länge des Schlauches erhöht dabei den Widerstand. Den spezifischen Widerstand könnten wir mit der Innenstruktur des Schlauches vergleichen, die von Material zu Material unterschiedlich ist.
Den Widerstand können wir daher nach dieser Formel berechnen:
$R=\rho\cdot \frac{l}{A}$.
In unserem Fall ergibt das für den Widerstand:
$R=\rho\cdot \frac{l}{A}=0,02\,\Omega\frac{\text{mm}^2}{\text{m}}\cdot \frac{5\,\text{m}}{1\,\text{mm}^2}=0,1\,\Omega$.
Der ohm'sche Widerstand des Drahtes beträgt also 0,1 $\Omega$.
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Ermittle, wie sich der Widerstand des Drahtes im Vergleich zum oberen Draht verändert hat.
TippsÜberlege dir, wie sich die Länge des Drahtes auf seinen Widerstand auswirkt.
Überlege dir, wie sich der Querschnitt des Drahtes auf seinen Widerstand auswirkt.
LösungDie Bilder zeigen Drähte verschiedener Länge und mit unterschiedlichem Querschnitt.
Um eine Aussage darüber zu treffen, ob ein Draht einen größeren oder einen kleineren Widerstand im Vergleich zu einem anderen Draht hat, musst du den Querschnitt und die Länge der Drähte vergleichen.
Du kannst dir den Draht wie einen Wasserschlauch vorstellen. Das Wasser passiert den Schlauch schwerer (der Schlauch hat also einen größeren Widerstand), je kleiner sein Querschnitt und je länger dieser ist.
So ist das auch bei einem Draht: Der Widerstand erhöht sich, je länger und je dünner der Draht ist. Der Widerstand wird kleiner, je dicker und je kürzer der Draht ist.
Übrigens: Die auf den Bildern sichtbare unterschiedliche Neigung des Drahtes spielt für seinen Widerstand keine Rolle.
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Entscheide, ob die Aussage wahr oder falsch ist.
TippsVerengt sich ein Weg, auf dem viele Menschen gehen, so kommen die Menschen nur noch langsamer voran.
Überlege dir, ob die Länge und der Querschnitt direkt oder umgekehrt proportional zum Widerstand des Drahtes sind.
LösungHalbiert man einen Kupferdraht der Länge nach, so ist sein Widerstand nur noch halb so groß, die Länge ist nämlich direkt proportional zum Widerstand des Drahtes. Der spezifische Widerstand von Kupfer ist kleiner als der von Nickel. Ein Kupferdraht leitet deswegen besser als ein Nickeldraht derselben Länge.
Die Querschnittsfläche ist umgekehrt proportional zum Widerstand. Deswegen verdoppelt sich der Widerstand, wenn man die Querschnittsfläche eines Drahtes halbiert. Verdoppeln sich Länge und Querschnitt des Drahtes, so wird der Widerstand einerseits verdoppelt, andererseits halbiert. Insgesamt bleibt der Widerstand also gleich.
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Bestimme die Faktoren, die den Widerstand eines Drahtes beeinflussen
TippsÜberlege dir, welche Größen im Widerstandsgesetz vorkommen.
LösungDer Widerstand eines Drahtes wird lediglich beeinflusst von seiner Länge, seinem Querschnitt und dem Material.
Anschaulich kann man sich das so vorstellen: Je länger ein Draht ist, desto mehr Widerstand müssen die fließenden Ladungen überwinden. Es ist für die Ladungen leichter. Sie erfahren also einen kleineren Widerstand, wenn der Querschnitt des Drahtes größer ist.
Eine wandernde Menschenmenge kann sich ja auch schneller bewegen, wenn der Weg breit ist. Verengt sich der Weg, so kommt die Menge nur noch langsam voran, erfährt also einen größeren Widerstand.
Vom Material hängt der Widerstand ab, denn in verschieden Materialien können sich Ladungen unterschiedlich gut bewegen.
Ob der Draht aufgewickelt (verformt) ist oder nicht, hat keinen Einfluss auf seinen Widerstand. Es sei denn, der Draht wird durch die Verformung überbrück. Dadurch würde aber gleichzeitig die Länge verändert werden.
Die an den Draht angelegte Spannung hat auch keinen Einfluss auf seinen Widerstand.
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Untersuche, um welches Material es sich bei dem Draht handeln könnte.
TippsStelle die Widerstandsformel nach dem spezifischen Widerstand $\rho$ um.
Schaue in der Tabelle nach, welches Material den spezifischen Widerstand hat, den du berechnet hast.
LösungManchmal kommt es vor, dass man einen Draht hat, aber nicht weiß, aus welchem Material dieser besteht.
Eine Methode, dies herauszufinden, ist, seinen Widerstand, seine Länge und seinen Querschnitt zu messen. Zusammen mit dem spezifischen Widerstand des Drahtes sind die Länge und der Querschnitt die einzigen Größen, von denen der Widerstand eines Drahtes abhängt.
Der spezifische Widerstand ist eine materialabhängige Größe. Das heißt, kennt man der spezifischen Widerstand des Drahtes, so kann man in Tabellen nachschauen, um welches Material es sich handelt.
In dem Video hast du die Formel für den Widerstand eines Drahtes kennengelernt. Sie lautet:
$R=\rho\frac{l}{A}$.
Um den spezifischen Widerstand $\rho$ bestimmen zu können, stellt man die Formel nach $\rho$ um. Man multipliziert also die Formel mit $A$ und teilt dann durch $l$.
Das führt zu:
$\rho=R\cdot \frac{A}{l}$.
Einsetzen der bekannten Größen ergibt dann:
$\rho=0,1\Omega\cdot \frac{7\,\text{mm}^2}{10\,\text{m}}=0,07\,\Omega\cdot\frac{\text{mm}^2}{\text{m}}$.
Nun schaut man in der Tabelle nach, welcher Stoff einen spezifischen Widerstand von $0,07\,\Omega\cdot\frac{\text{mm}^2}{\text{m}}$ hat. Dies trifft auf Nickel zu. Es könnte sich bei dem Draht also um einen Nickeldraht handeln.
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Der spezifische Widerstand von Kupfer beträgt 0,0172 und bei Nickel 0,0693 für die Leute die es genauer haben wollen ansonsten tolles Video
gutes Video!
Aufgabe 4 bitte überarbeiten !
Super Video.
Aber mal ne Frage zu der Übung...
Bei der 4. Aufgabe ist das richtig.“Halbiert man einen Kupferdraht der Länge nach, so ist sein Widerstand doppelt so groß.“aber ist der W. dann nicht eigentlich nur halb so groß?
sehr informationsreich :-)