Geometrische Figuren mit Vektoren bestimmen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Einführung Vektoren
• Teilverhältnisse mit Vektoren berechnen
• Besondere Dreiecke mit Vektoren bestimmen
• Rechtwinklige Dreiecke
• Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke
• Besondere Vierecke mit Vektoren bestimmen

Einführung Vektoren

Vektoren beschreiben Bewegungen oder Verschiebungen im Raum. So kannst du zum Beispiel einen Punkt $A$ zu einem Punkt $B$ verschieben.

Im Folgenden lernst du verschiedene Anwendungen von Vektoren in Vektorräumen kennen.

Teilverhältnisse mit Vektoren berechnen

Du sollst prüfen, in welchem Verhältnis ein Punkt einer Strecke diese teilt. Betrachte hierfür das folgende Beispiel: Gegeben sind die Punkte $A(3|1|1)$ sowie $B(7|5|9)$. Der Punkt $T(4|2|3)$ liegt auf der Strecke $\overline{AB}$.

Bestimme zunächst die Verbindungsvektoren $\vec{AT}$ sowie $\vec{TB}$:

$\vec{AT}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\vec{TB}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$

Du siehst, es gilt $\vec{TB}=3\cdot \vec{AT}$. Das bedeutet, dass die Vektoren kollinear sind. Insbesondere ist damit auch nachgewiesen, dass der Punkt $T$ auf der Strecke $\overline{AB}$ liegt.

Da der Vektor $\vec{TB}$ das Dreifache des Vektors $\vec{AT}$ ist, kannst du daraus schließen, dass der Punkt $T$ die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $1:3$ teilt.

Ebenso gehst du vor, wenn du Teilverhältnisse in Körpern, zum Beispiel Quadern, bestimmen möchtest.

Besondere Dreiecke mit Vektoren bestimmen

Neben Teilverhältnissen kannst du mithilfe von Vektoren auch entscheiden, ob ein besonderes Dreieck vorliegt.

Wenn du drei Punkte gegeben hast und untersuchen sollst, ob diese ein Dreieck bilden, schreibst du die Verbindungsvektoren von jeweils zwei der drei Vektoren auf. Sind diese nicht kollinear, so liegt ein Dreieck vor. Andernfalls liegen die drei Punkte auf einer Geraden.

Rechtwinklige Dreiecke

Betrachte die drei Punkte $A(-1|2|2)$, $B(3|1|1)$ und $C(0|4|4)$. Weise nach, dass das Dreieck $\triangle{ABC}$ rechtwinklig ist mit dem rechten Winkel in $A$. Da der Scheitelpunkt $A$ des rechten Winkels gegeben ist, untersuchst du die folgenden Verbindungsvektoren:

$\vec{AB}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\vec{AC}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Diese beiden Vektoren sind nicht kollinear. Berechne nun das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Ist dieses $0$, so sind die Vektoren orthogonal zueinander.

$\vec{AB}\star \vec{AC}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}=4-2-2=0$

Das vorliegende Dreieck ist also rechtwinklig.

Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke

Bei gleichschenkligen Dreiecken sind mindestens zwei Seiten gleich lang. Die Seitenlängen eines Dreiecks, welches durch drei Punkte im $\mathbb{R}^{3}$ gegeben ist, kannst du als Längen der Verbindungsvektoren berechnen. Betrachte das Dreieck, welches durch die Punkte $A(2|1|1)$, $B(6|1|1)$ und $C(4|3|2)$ beschrieben ist.

Du berechnest die Länge der Verbindungsvektoren:

$|\vec{AB}|=\left|\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right|=4$

$|\vec{AC}|=\left|\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right|=3$

$|\vec{BC}|=\left|\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}\right|=3$

Es gilt $\overline{AC}=\overline{BC}$. Damit ist das Dreieck $\triangle{ABC}$ gleichschenklig.

Ebenso weist du nach, ob ein Dreieck gleichseitig ist, also alle drei Seiten gleich lang sind.

Besondere Vierecke mit Vektoren bestimmen

So ähnlich wie bei dem Nachweis von besonderen Dreiecken gehst du vor, wenn du besondere Vierecke nachweisen möchtest.

Dies schauen wir uns einmal am Beispiel von Quadraten an: Die Punkte $A(2|1|1)$, $B(6|1|1)$ sowie $C(6|1|5)$ sollen durch einen weiteren Punkt $D$ zu einem Quadrat ergänzt werden.

Da $|\vec{AB}|=|\vec{BC}|=4$ sowie $\vec{AB}\perp\vec{BC}$ ist, kannst du den Punkt $D$ so bestimmen:

$\vec d=\vec c+\vec{BA}=\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

Du hast den Punkt $D(2|1|5)$ gefunden. Das Viereck $ABCD$ ist ein Quadrat.