Teilverhältnisse in geometrischen Figuren bestimmen – Beispiel (1)

Teilverhältnisse in geometrischen Figuren bestimmen – Beispiel (1) Übung

• Berechne das Teilungsverhältnis, in welchem die Strecke $\overline{AB}$ geteilt wird.

  Tipps

  Der Verbindungsvektor zweier Punkte berechnet sich als Differenz des Ortsvektors des Endpunktes und dem des Anfangspunktes.

  Zwei Vektoren $\vec u $ und $\vec v$ heißen kollinear, wenn eine Zahl $a\in \mathbb{R}$ existiert mit

  $\vec u=a\cdot \vec v$.

  Schreibe das Vielfache des Vektors als Bruch $\frac ab$. Dann ist das Teilungsverhältnis als $|a|:|b|$ gegeben.

  Lösung

  Um das Teilungsverhältnis zu berechnen, benötigt man die Verbindungsvektoren:

  $\vec{AT}=\begin{pmatrix} -4\\ -6\\ -2 \end{pmatrix};~~\vec{TB}=\begin{pmatrix} -2\\ -3\\ -1 \end{pmatrix}$

  Diese beiden Verbindungsvektoren sind kollinear. Das bedeutet, dass sich der eine Vektor als Vielfaches des anderen schreiben lässt:

  $\vec{AT}=\begin{pmatrix} -4\\ -6\\ -2 \end{pmatrix}=\frac 21\cdot\begin{pmatrix} -2\\ -3\\ -1 \end{pmatrix}=\frac 21\cdot \vec{TB}$

  An dem Faktor, welcher als Bruch geschrieben ist, kann das Teilungsverhältnis $2:1$ direkt abgelesen werden.

• Bestimme den fehlenden Punkt $B$.

  Tipps

  Verwende die Definition:

  Das Teilungsverhältnis ist gegeben durch

  $|a| : |b|~\Leftrightarrow~\vec{AT}=\frac ab\cdot \vec{TB}$.

  Der Verbindungsvektor von $A$ und $T$ ist $\vec{AT}=\begin{pmatrix} 8\\ 12\\ -8 \end{pmatrix}$.

  Du erhältst $3$ Gleichungen, jeweils eine für eine Koordinate des Punktes $B$.

  Lösung

  Zunächst berechnet man den Verbindungsvektor

  $\vec{AT}=\begin{pmatrix} 8\\ 12\\ -8 \end{pmatrix}$.

  Da das Teilungsverhältnis bekannt ist, muss gelten:

  $\begin{pmatrix} 8\\ 12\\ -8 \end{pmatrix}=\frac25 \cdot\vec {TB}$.

  Nun kann man bei unbekannten Koordinaten von $B$ den Verbindungsvektor $\vec{TB}$ berechnen und erhält folgendes Gleichungssystem:

  $\begin{pmatrix} 8\\ 12\\ -8 \end{pmatrix}=\frac25 \cdot\begin{pmatrix} b_1-9\\ b_2-16\\ b_3+1 \end{pmatrix}$.

  Die gesamte Gleichung wird mit $\frac 52$ multipliziert und man erhält:

  • $20=b_1-9$. Dies ist durch Addition von $9$ äquivalent zu $b_1=29$.
  • $30=b_2-16$. Dies ist durch Addition von $16$ äquivalent zu $b_2=46$.
  • $-20=b_3+1$. Dies ist durch Subtraktion von $1$ äquivalent zu $b_3=-21$.

• Bestimme das Teilungsverhältnis, in welchem die Strecke $\overline{AB}$ durch $T$ geteilt wird.

  Tipps

  Das Teilungsverhältnis ist wie folgt definiert:

  Wenn die Vektoren $\vec{AT}$ sowie $\vec{TB}$ kollinear sind, so existiert ein Faktor $k$, sodass

  $\vec{AT}=k\cdot\vec{TB}$.

  Schreibe diesen Faktor als Bruch, sofern er nicht bereits ein Bruch ist: $k=\frac ab$.

  Dann ist das Teilungsverhältnis $|a|:|b|$.

  Der Verbindungsvektor zweier Punkte $A$ und $B$ ist

  $\vec{AB}=\vec b-\vec a$.

  Dabei ist $\vec a$ der Ortsvektor zu $A$ und $\vec b$ der Ortsvektor zu $B$.

  Du kannst dir auch eine Skizze anfertigen und prüfen, ob dein Teilungsverhältnis stimmen könnte.

  Dies ist nicht immer klar erkennbar, da Längenverhältnisse im Dreidimensionalen schwierig abzuschätzen sind.

  Lösung

  Zunächst werden die Verbindungsvektoren $\vec{AT}$ sowie $\vec{TB}$ aufgestellt:

  $\vec{AT}=\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}$

  sowie

  $\vec{TB}=\begin{pmatrix} 6\\ -3\\ 9 \end{pmatrix}$.

  Es gilt:

  $\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}=\frac13\cdot \begin{pmatrix} 6\\ -3\\ 9 \end{pmatrix}$.

  Das Teilungsverhältnis ist also $1:3$.

  Das bedeutet, dass der Punkt $T$ näher an $A$ liegt als an $B$.

• Erkläre, wie der Punkt $B$ auf der Geraden $g$ gefunden werden kann, sodass $\overline{AB}$ durch $T$ im Verhältnis $1:5$ geteilt wird.

  Tipps

  Fertige dir eine Skizze an. Die Lage dabei ist nicht so wichtig. Es geht eher um das Verständnis:

  Mache dir klar, wo $B$ liegen muss und wie du von $A$ aus zu $B$ entlang der Geraden kommst.

  Wenn eine Strecke im Verhältnis $1:5$ geteilt wird, so besteht sie aus $6=1+5$ gleich großen Teilen.

  Die Strecke $\overline{AT}$ entspricht dann einem Teil.

  Lösung

  Wenn die Strecke $\overline{AB}$ von $T$ im Verhältnis $1:5$ geteilt wird, entspricht die Strecke $\overline{AT}$ einem Teil und $\overline{TB}$ $5$ Teilen.

  Das bedeutet, dass der Punkt $B$ von $A$ aus auf der Geraden erreicht werden kann, indem man auf den Ortsvektor von $A$ das $6$-fache des Verbindungsvektors $\vec{AT}$ addiert.

  Das bedeutet, dass zunächst der Verbindungsvektor bestimmt werden muss:

  $\vec{AT}=\begin{pmatrix} -2\\ -4\\ -4 \end{pmatrix}$.

  Also ist

  $\vec b=\begin{pmatrix} 3\\ -3\\ 5 \end{pmatrix}+6\cdot \begin{pmatrix} -2\\ -4\\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -9\\ -27\\ -19 \end{pmatrix}$.

  Der gesuchte Punkt ist damit $B(-9|-27|-19)$.

• Gib die Definition des Teilungsverhältnisses an.

  Tipps

  Mach dir das Teilungsverhältnis anhand einer Skizze klar.

  Beachte: Wenn eine Strecke im Verhältnis $2:1$ geteilt wird, so liegen $2+1=3$ Teile der Strecke vor.

  Lösung

  Um das Teilungsverhältnis einer Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt $T$ zu bestimmen, muss dieser auf der Geraden durch die beiden Endpunkte der Strecke gehen. Das bedeutet:

  • $\vec{AT}$ und $\vec{TB}$ sowie
  • $\vec{AT}$ und $\vec{AB}$ sind kollinear.

  Dann kann das Teilungsverhältnis auf die beiden folgenden Arten definiert werden:

  1. $|a| : |b|~\Leftrightarrow~\vec{AT}=\frac ab\cdot \vec{TB}$ oder
  2. für $0<\frac cd<1$ gilt $|c| : (|d|-|c|) ~\Leftrightarrow~\vec{AT}=\frac cd\cdot \vec{AB}$.

• Weise nach, dass die Diagonalen eines Rechtecks sich genau in der Mitte schneiden.

  Tipps

  Zur Berechnung des Schnittpunktes musst du zwei Geradengleichungen aufstellen und diese gleichsetzen.

  Verwende die Definition: Das Teilungsverhältnis ist gegeben durch

  $\large{|a| : |b|~\Leftrightarrow~\vec{AS}=\frac ab\cdot \vec{SC}}$.

  Damit eine Strecke genau in der Mitte geteilt wird, muss das Teilungsverhältnis $1:1$ sein.

  Lösung

  Zunächst wird der Schnittpunkt der beiden Diagonalen berechnet:

  • Hierfür werden die beiden Gleichungen der Geraden aufgestellt auf welchen sich die Diagonalen befinden.
  • Diese Gleichungen werden gleichgesetzt.

  $t\cdot \begin{pmatrix} l\\ k\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ k\\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} l\\ -k\\ 0 \end{pmatrix}$

  Die erste Zeile führt zu der Gleichung $t\cdot l=s\cdot l$, da $l\neq0$, $t=s$. Dies kann in die zweite Zeile eingesetzt werden:

  $\begin{align*} t\cdot k&=k-t\cdot k\\ &=(1-t)\cdot k&|&~+(t-1)\cdot k\\ (2t-1)\cdot k&=0&|&~:k(\neq0)\\ 2t-1&=0&|&+1\\ 2t&=1&|&:2\\ t&=\frac12. \end{align*}$

  Damit ist auch $s=\frac12$.

  Also ist der gesuchte Schnittpunkt $S(l:2|k:2|0)$.

  Nun können die Verbindungsvektoren:

  $\vec{AS}=\begin{pmatrix} l : 2\\ k : 2\\ 0 \end{pmatrix}=\vec{SC}$

  bestimmt werden.

  Es gilt

  $\vec{AS}=\frac {1}1 \cdot \vec{SC}$.

  Nach der Definition des Teilungsverhältnisses ist dieses $|1|:1=1:1$. Das bedeutet, dass sich die Diagonalen genau in der Mitte treffen.