Bohr'sches Atommodell (Expertenwissen)

Bohr'sches Atommodell (Expertenwissen) Übung

• Benenne die Bohrschen Postulate mit ihren Kernaussagen.

  Tipps

  Beim Bohrschen Atommodell sind nur bestimmte Elektronenbahnen zugelassen. Welche Bedingung erfüllen diese?

  Wann und wie gibt ein Elektron Energie bei einem Bahnübergang ab?

  Lösung

  Das erste Bohrsche Postulat besagt, dass der Bahndrehimpuls der Elektronen gequantelt ist.

  Das bedeutet, dass nur solche Elektronenbahnen zulässig sind, auf denen der Bahndrehimpuls $L$ ein ganzzahliges Vielfaches von $\frac {h} {2\pi}$ ist. Die Elektronen verteilen sich also nicht kontinuierlich über die gesamte Hülle, sondern besitzen wenige feste Energieniveaus.

  In Formelschreibweise lautet das Postulat: $L=n\cdot \frac {h} {2\pi}$. Darin ist $n$ die (natürliche) Bahnnummer und $h$ das Plancksche Wirkungsquantum.

  Wichtig: Die Elektronen bewegen sich auf diesen Bahnen strahlungsfrei, das heißt, sie geben bei ihrer Bewegung keine Energie ab.

  Das zweite Bohrsche Postulat beschreibt die Vorgänge beim Wechsel der Bahn durch ein Elektron.

  Dazu ist, da sich die Bahnen auf unterschiedlichen Energieniveaus bewegen, entweder Energie von außen nötig (Elektron springt auf eine höhere Bahn) oder das Elektron gibt die Differenzenergie als Photon ab (Elektron fällt von einer höheren Bahn auf eine niedrigere Bahn).

  Diese Lichtenergie beträgt für ein Photon mit der Frequenz $f$: $E_{Ph}=hf=E_1-E_2$. Dabei ist Bahn 1 die höhere Bahn und Bahn 2 die niedrigere Bahn.

  In der Abbildung ist das Bohrsche Atommodell bildlich dargestellt. Man erkennt den positiven Kern, um den sich auf festgelegten Bahnen die Elektronen bewegen.

• Gib an, mit Hilfe welcher Ansätze die Bahnradien und Energieniveaus eines Wasserstoffatoms bestimmt werden können.

  Tipps

  Nur ein Ansatz ist jeweils möglich.

  Welche Kraft hält das Elektron auf seiner Kreisbahn?

  Woraus setzt sich die Gesamtenergie des Elektrons zusammen?

  Welcher Ansatz stellt einen Bezug zum Bahnradius her, welcher einen Bezug zur Elektronenenergie?

  Lösung

  Das Elektron im Wasserstoffatom bewegt sich auf einer Kreisbahn. Bereits aus der Klassischen Mechanik weiß man, dass dafür eine konstante Radial- oder auch Zentripetalkraft $F_Z$ notwendig ist, die immer Richtung Kreismittelpunkt zeigt. In diesem Fall ist das die Anziehungskraft des Protons, also die Coulombkraft $F_C$, die zwischen zwei Ladungsträgern wirkt. Die Zentripetalkraft ist außerdem abhängig vom Kreisbahnradius. So kann durch Gleichsetzen der beiden Kräfte $F_Z=F_C$ eine Formel zur Bestimmung der Kreisbahnradien im Wasserstoffatom hergeleitet werden.

  Die Energieniveaus im Wasserstoffatom kann man aus der Betrachtung der Gesamtenergie des Elektrons bestimmen. Dieses besitzt aufgrund seiner Bewegung kinetische Energie $E_{kin}$ sowie aufgrund seiner Entfernung zum Proton potentielle Energie $E_{pot}$. Diese beiden Energien werden zur Gesamtenergie $E_{ges}=E_{kin}+E_{pot}$ aufsummiert und dienen für die Herleitung der Formel zur Berechnung der Energieniveaus im Wasserstoffatom.

• Berechne den Bohrschen Atomradius.

  Tipps

  Lösung

  Der Bohrsche Atomradius beträgt rund $5,293\cdot 10^{-11}~m$.

  Im folgenden siehst du die Berechnung für den Bohrschen Atomradius.

  In der Abbildung ist die darin auftretende Einheitenrechnung zusammengefasst.

  Gegeben:

  Bahnnummer $n=1$ (Grundzustand)

  Ladung des Elektrons $e=1,602\cdot 10{-19}~As$

  Masse des Elektrons $m_e=9,109\cdot 10^{-31}~kg$

  Elektrische Feldkonstante $\epsilon_0=8,854\cdot 10^{-12} \frac {As} {Vm}$

  Plancksches Wirkungsquantum $h=6,626\cdot 10^{-34}~Js$

  Gesucht:

  Bahnradius $r_{n=1}$

  Lösung:

  $r_{n=1}=\frac {\epsilon_0 \cdot n^2\cdot h^2} {e^2\cdot m_e\cdot \pi} \\ \\ =\frac {8,854\cdot 10^{-12} \frac {As} {Vm}\cdot 1^2\cdot (6,626\cdot 10^{-34}~Js)^2} {(1,602\cdot 10{-19}~As)^2\cdot 9,109\cdot 10^{-31}~kg\cdot \pi} \\ \\ =\frac {8,854\cdot 6,626^2} {1,602^2\cdot 9,109\cdot \pi} \cdot \frac {10^{-12}\cdot 10^{-68}} {10^{-38}\cdot 10^{-31}}~m \\ \\ =5,293\cdot 10^{-11}~m$

• Analysiere das Emissionsspektrum des atomaren Wasserstoffes.

  Tipps

  Welches Postulat macht Aussagen über die Übergänge von Elektronen im Atom?

  Zeigt das Spektrum alle Farben?

  Unter welchen Umständen emittiert ein Elektron Licht?

  Welcher Zusammenhang besteht zwischen Photonenenergie und Photonenfrequenz?

  Lasse die Elektronen gedanklich durch das Energieniveauschema des Wasserstoffatoms springen. Was fällt dir auf?

  Lösung

  Das Emissionsspektrum des atomaren Wasserstoffgases ist ein Linienspektrum. Es ist nicht kontinuierlich, sondern diskret und zeigt nur Licht mit ganz gestimmten Frequenzen (beziehungsweise Wellenlängen).

  Die Ursache für das Aussehen dieses Spektrums liegt in den festgelegten Bahnen für die Elektronen. Sie besitzen selbst auf den Bahnen nur bestimmte Energiewerte und können somit auch nur Photonen mit einigen wenigen Energiewerten beim Übergang auf eine niedrigere Bahn abgeben.

  Aus dem zweiten Bohrschen Postulat und dem Energieniveauschema kann der Energie des Photons für jeden möglichen Übergang von einer höheren auf eine niedrigere Bahn bestimmt werden. Dieser Energie kann dann mit $E_{Ph}=h\cdot f$ eine Frequenz (bzw. eine Wellenlänge) und damit eine Lichtfarbe zugeordnet werden.

  Anhand des tatsächlichen Linienspektrums lässt sich somit die Richtigkeit des Bohrschen Atommodells nachweisen. Aus den experimentell beobachteten Lichtfrequenzen können die Photonenenergien bestimmt werden und somit auch die stattgefundenen Übergänge rekonstruiert werden. Auf diese Weise können auch unbekannte Gase identifiziert werden wie über einen Fingerabdruck.

• Fasse die wichtigsten Daten zum Wasserstoffatom nach Bohr zusammen.

  Tipps

  Aufbau eines Wasserstoffatoms nach Bohr

  Der Bohrsche Atomradius liegt im Pikometerbereich.

  Die allgemeine Formel für den Bahndrehimpuls lautet $L=n\cdot \frac {h} {2\pi}$.

  Die Energie, die das Elektron auf der untersten Bahn besitzt, muss ihm zugeführt werden, um das Atom zu ionisieren.

  Lösung

  Wasserstoffatome besitzen den einfachsten Aufbau aller Atome. Ihr Kern besteht aus nur einem (positiv geladenen) Proton. Dieser wird nach Bohr von einem Elektron auf einer festen Bahn umkreist. (siehe Abbildung)

  Der Radius der untersten Elektronenbahn im Wasserstoffatom beträgt etwa $5,29\cdot 10^{-11}~m$. Das sind rund $53$ Pikometer. Dieser spezielle Radius wird auch als Bohrscher Atomradius bezeichnet. Auf dieser Bahn bewegt sich das Elektron gemäß des ersten Bohrschen Postulats mit einem Bahndrehimpuls von $L_{n=1}=\frac {h} {2\pi}$.

  Die Ionisationsenergie des Wasserstoffatoms beträgt rund $13,6~eV$. Diese Energie muss dem Elektron auf der untersten Bahn zugeführt werden, damit es das Atom verlassen kann. Das Elektron selbst besitzt eine Energie von $-13,6~eV$, mit der es an das Proton des Wasserstoffatoms durch die Coulombanziehung gebunden ist.

• Sage voraus, welche Farbe das emittierte Licht beim beschriebenen Übergang besitzen wird.

  Tipps

  Gezeigt ist das Spektrum des sichtbaren Lichtes mit den dazugehörigen Wellenlängen. Die Wellenlänge $\lambda$ ist über die Formel $\lambda\cdot f=c$ mit der Frequenz $f$ verknüpft.

  Lösung

  Um die Farbe des Lichts, also die Wellenlänge des Photons, zu ermitteln, muss zunächst entsprechend des zweiten Bohrschen Postulats die Energie des Photons aus der Differenz der Energieniveaus zwischen den beiden Bahnen berechnet werden. Dann können Frequenz und Wellenlänge des Lichtes bestimmt werden.

  Das Licht des emittierten Photons liegt demnach im roten Wellenlängenbereich. Diesen Übergang kann man damit auch im sichtbaren Emissionsspektrum des Wasserstoffatoms (siehe Abbildung) an der roten Linie erkennen.

  Die Energie des Photons beträgt

  $E_{Ph}=E_{n=3}-E_{n=2}=E_{n=1}\cdot (\frac {1} {3^2}-\frac {1} {2^2})=-13,6~eV\cdot (-\frac {5} {36})=1,889~eV$.

  Daraus ergibt sich mit $E_{Ph}=h\cdot f$ für das Photon eine Frequenz von

  $f=\frac {1,889\cdot 1,602\cdot 10^{-19}~J} {6,626\cdot 10^{-34}~Js}=0,4567\cdot 10^{15}~Hz$.

  Der Frequenz kann über $\lambda\cdot f=c$ die Wellenlänge

  $\lambda=\frac {3\cdot 10^8\frac ms} {0,4567\cdot 10^{15}~Hz}=657~nm$ zugeordnet werden.