Entropie

Entropie Übung

• Nenne die Definitionen wichtiger Begriffe von reversiblen und irreversiblen Vorgängen.

  Tipps

  Das Prellen eines Balles kann annähernd als reversibel betrachtet werden. Kommt ein Ball von alleine wieder bei der Hand an, und wenn ja, was heißt das für einen reversiblen Vorgang?

  Wenn man einen Sandsack fallen lässt, ist der Vorgang irreversibel. Führt ein irreversibler Vorgang dann von alleine in den Anfangszustand zurück?

  Lösung

  Ein irreversibler Vorgang ist ein Vorgang, der nicht von alleine wieder in den Anfangszustand zurückführt.
  Hierbei können Vorgänge unterschiedlich stark irreversibel sein. Je wahrscheinlicher es ist, dass ein anderer Endzustand als der Anfangszustand erreicht wird, desto höher ist die Irreversibilität.
  $W$ gibt an, wie viel mal Wahrscheinlicher es ist, dass ein anderer Endzustand als der Anfangszustand erreicht wird.
  $W$ ist deswegen ein Maß für die Irreversibilität.

  Je größer $W$ ist, desto Wahrscheinlicher ist es, dass der Ausgangszustand nicht erreicht wird. Der Ausgangszustand ist hierbei in der Realität wirklich nur ein ganz bestimmter Zustand.

  Beim Beispiel des Balles ist $w_{aus}$ somit genau eine bestimmte Höhe über dem Boden.
  Alle anderen Höhen über dem Boden gehören zu den anderen Endzuständen.
  Um $w_{end}$ zu berechnen, müsste man also die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne erreichbare Höhe außer der Anfangshöhe zusammenrechnen.

• Gib an, wie man die Änderung $\Delta S$ der Entropie berechnen kann.

  Tipps

  $W$ ist ein Maß für die Irreversibilität und damit proportional zur Entropie.

  Lösung

  Die Entropie gibt die Unordnung eines Systems an. Die Unordnung bedeutet hierbei, auf wie viele mikroskopische Arten ein makroskopischer Zustand erreicht werden kann.

  $W$ gibt an, wie viel höher die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein anderer Zustand als der Ausgangszustand erreicht wird.

  Je größer $W$ ist, desto unwahrscheinlicher ist es, dass der Ausgangszustand wieder erreicht wird.
  Dann ist auch die Unordnung und somit die Änderung der Entropie größer.

  Deswegen ist $W$ proportional zu der Änderung der Entropie $\Delta S$. In Wirklichkeit ist $\Delta S$ proportional zu dem natürlichen Logarithmus von $W$, nämlich $\ln{W}$.
  Der Proportionalitätsfaktor ist die Boltzmann-Konstante $k_B$.

  Hiermit ergibt sich die erste Formel zur Berechnung der Änderung der Entropie: $\Delta S = k_B \cdot \ln{W}$.

  Aus dem ersten Satz der Thermodynamik kann man die zweite Formel ableiten. Wenn sich ein Gas bei konstanter Temperatur ausdehnt, ist die Änderung der inneren Energie Null.
  Es folgt $0 = Q + p \cdot \Delta V $.
  Die zugeführte Wärmemenge $Q$ ist von der Änderung des Volumens $\Delta V$ abhängig.

  Je größer das Volumen ist, welches das Gas zur Verfügung hat, desto größer ist auch die Unordnung. Somit ist bei größerem Volumen auch die Entropie größer.

  Es folgt direkt, dass $\Delta S$ proportional zu der zugeführten Wärmemenge $Q$ ist. Die Proportionaliätskonstante ist hier die konstante Temperatur $T$.

  Für die zweite mögliche Formel ergibt sich:
  $\Delta S = \frac{Q}{T}$.

• Berechne die Temperatur des Gases.

  Tipps

  In der Formel für die Entropie wird die Temperatur in Kelvin angegeben.

  Um eine Temperatur von Kelvin in Celsius umzurechnen, muss man 273,15 subtrahieren.

  Lösung

  Es sind nur die zugeführte Wärmemenge $Q$ und die Änderung der Entropie $\Delta S$ gegeben.
  Darum muss eine Formel gefunden werden, die diese beiden Größen mit der Temperatur $T$ verknüpft.

  Dies ist mit
  $\Delta S = \frac{Q}{T}$ gegeben.

  Um die Temperatur zu erhalten, wird die Formel mathematisch nach $T$ umgestellt. Dazu wird die Gleichung mit $T$ multipliziert und anschließend durch $\Delta S$ geteilt.

  Es folgt
  $\begin{align} \Delta S & = \frac{Q}{T} &|& \cdot T \\ \Delta S \cdot T & = Q &|& :\Delta S \\ T & = \frac{Q}{\Delta S} \end{align}$.

  Mit den gegebenen Anfangswerten folgt
  $\begin{align} T &= \frac{Q}{\Delta S} \\ &=\frac{80~ J}{8~ \frac{J}{K}} \\ &=10 ~ K \end{align}$

  Da das Ergebnis nicht in Kelvin, sondern in Celsius gesucht wird, muss die Temperatur noch umgerechnet werden. Es sind $0^\circ C = 273,15 ~ K$. Von dem Ergebnis in Kelvin muss man 273,15 subtrahieren, um das Ergebnis in Celsius zu erhalten.

  Es folgt
  $T = 10 ~ K = ( 10 - 273,15 )~ ^\circ C = -263,15^\circ C$.

• Berechne die Änderung der Entropie beim Umordnen einer Reihe Bücher.

  Tipps

  Die Boltzmann-Konstante ist $k_B = 1,38 \cdot {10}^{-23} \frac {J}{K}$.

  W gibt an wie viel mal Wahrscheinlicher der Endzustand $w_{end}$ als der Anfangszustand $w_{aus}$ ist.

  Wenn es 44 von insgesamt 120 Möglichkeiten gibt, den Endzustand zu erreichen, wie groß ist dann $w_{end}$?

  Lösung

  Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung eines Systems.

  Ein System strebt von Natur aus nach dem Zustand größter Unordnung.
  Das ist an der Buchreihe leicht ersichtlich. Es gibt bei 5 Büchern insgesamt 120 Möglichkeiten, diese anzuordnen.
  Bei 10 Büchern wären es schon 3628800 Möglichkeiten. Die Zahl der möglichen Zustände steigt also extrem schnell. Allerdings werden es nicht mehr ordentliche Zustände.
  Wenn man das Buch irgendwo hin stellt, ist es mit mehr Büchern sogar noch unwahrscheinlicher, dass es zufällig auf dem richtigen Platz landet.
  Wenn alle Bücher vertauscht sind steht keines mehr auf seinem ursprünglichen Platz. Dies ist der Zustand maximaler Unordnung oder auch maximaler Entropie.

  In einem abgeschlossenen System nimmt die Entropie deswegen immer zu.

  Teil man $w_{end}$ durch $w_{aus}$ erfährt man, wie viel mal wahrscheinlicher es ist, dass ein anderer Endzustand als der Ausgangszustand erreicht wird.

  Es gibt von insgesamt 120 Möglichkeiten genau eine in der die Bücher korrekt geordnet sind.
  Dafür gibt es 44 Möglichkeiten in denen sie maximal unordentlich sind. Das heißt, dass kein Buch auf seinem ursprünglichen Platz ist.
  Es ist auch ohne Rechnung leicht ersichtlich, dass es dann 44 mal wahrscheinlicher ist, dass die Bücher in maximaler Unordnung stehen.

• Gib an, wie reversibel die genannten Vorgänge sind.

  Tipps

  Ein Vorgang ist reversibel, wenn er ohne Beihilfe zu seinem Ausgangszustand zurückkommt.

  Je höher der Gegenstand nach dem Aufprall auf dem Boden wiederkommt, desto reversibler ist der Vorgang.

  Einen Basketball prellt man normalerweise. Kommt er auch komplett zur Hand zurück, wenn du ihn einfach fallen lässt?

  Lösung

  Ein Vorgang ist reversibel, wenn er von alleine in den Ausgangszustand zurückführt.
  Ein Vorgang ist irreversibel, wenn er nicht von alleine in den Ausgangszustand zurückführt.

  Vorgänge können unterschiedlich reversibel sein. Je reversibler ein Vorgang ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich am Ende wieder der Anfangszustand vorfinden lässt.

  Wenn man einen Gegenstand fallen lässt, dann ist der Anfangszustand die Starthöhe.
  Je näher der Gegenstand nach dem auftreffen auf dem Boden wieder an die Starthöhe kommt, desto reversibler ist der Vorgang.

  In der Natur gibt es keine total reversiblen Vorgänge. Zum Beispiel durch Reibung oder Verformung geht Energie verloren.
  Wenn man einen Ball fallen lässt und nicht wieder auffängt, kommt er nach jedem Kontakt mit dem Boden nicht mehr ganz so hoch wie vorher.
  Nach einer Weile würde in der Natur jeder Ball liegen bleiben.

• Erkläre den Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und Entropie.

  Tipps

  Mikroskopisch könnte man als klein und makroskopisch als groß übersetzen. Beides bezieht sich auf die Betrachtungsweise.

  Von außen (makroskopisch) betrachtet macht es keinen Unterschied, welches der vier Teilchen auf welcher Seite ist.

  Lösung

  Wenn man eine makroskopische Betrachtungsweise wählt, betrachtet man alles im „Großen“. Die Teilchen wirken dann alle gleich und sind nicht unterscheidbar.
  Das kann man sich wie bei mehreren Bällen einer Farbe vorstellen: Sie sehen alle gleich aus.
  Betrachtet man den makroskopischen Zustand in dem drei Teilchen links und ein Teilchen rechts ist, so macht es keinen Unterschied, welches der vier Teilchen rechts ist.

  Bei der mikroskopischen Betrachtungsweise dagegen betrachtet man die Dinge im „Kleinen“. Die Bälle in einer Farbe sehen äußerlich vielleicht gleich aus. Aber genauso wie es keinen idealen Würfel gibt, gibt es auch keinen idealen Ball.
  Von ganz nah betrachtet sind die Bälle und auch Teilchen in der Realität immer unterscheidbar.
  Bei vier Teilchen gibt es deswegen vier Möglichkeiten, um den oben genannten Zustand zu erreichen.

  Es gibt also vier mikroskopische Arten, den einen makroskopischen Zustand (drei Links, eins rechts) zu erreichen. Diese Anzahl der Möglichkeiten wird durch die Unordnung beschrieben.

  Die Wahrscheinlichkeit dieses makroskopischen Zustands beträgt nun $\frac{4}{16}$, denn es gibt insgesamt 16 mikroskopische Zustände und vier davon ergeben diesen makroskopischen Zustand.

  Es folgt:
  Je größer die Unordnung, desto größer ist auch die Wahrscheinlichkeit für einen Zustand.

  Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung eines Systems. Deswegen hängt die Entropie auch direkt mit der Wahrscheinlichkeit eines Zustandes zusammen.

  Je wahrscheinlicher ein Zustand ist, desto größer ist die Unordnung und desto größer ist die Entropie.