Spezifische Wärmekapazität eines idealen Gases

Spezifische Wärmekapazität eines idealen Gases Übung

• Nenne die verschiedenen Wärmekapazitäten und Formeln, um sie zu berechnen.

  Tipps

  Die Wärmekapazität beschreibt das Verhältnis aus zugeführter Wärme und der Temperaturdifferenz.

  Die spezifische Wärmekapazität $c$ ist antiproportional zur Masse $m$.

  Die molare Wärmekapazität $c_m$ kann entweder mit der Stoffmenge $n$ oder dem Verhältnis aus molarer Masse $M_m$ und Masse $m$ ausgedrückt werden.

  Lösung

  Die Wärmekapazität entspricht dem Quotient aus der Wärme $Q$ und der Temperaturänderung $\Delta T$.

  Wenn dann mehr Masse erwärmt werden soll, muss mehr Wärme hineingesteckt werden.
  Daraus folge $Q \sim \Delta T \cdot m$. Der Proportionalitätsfaktor ist die spezifische Wärmekapazität $c$.

  Es folgt also
  $c=\frac{Q}{\Delta T \cdot m}$.

  Die spezifische Wärmekapazität bezieht sich also auf die Masse $m$.
  Die molare Wärmekapazität bezieht sich auf die Stoffmenge $n$.
  Die Formel ist dabei gleich der spezifischen Wärmekapazität, nur dass an der Stelle des $m$ ein $n$ steht.

  Diese beiden Formeln stehen in Verhältnis zueinander.
  Für den Quotienten ergibt sich:
  $\frac{c_m}{c}=\frac{m}{n} \rightarrow c_m = c\cdot \frac{m}{n} = \frac{Q \cdot M_m}{\Delta T \cdot m}$.

  Dies gilt, da der Quotient von $m$ und $n$ der molaren Masse $M_m$ entspricht.

• Beschreibe die Wärmekapazität von Gasen.

  Tipps

  Bei Feststoffen kann die spezifische Wärmekapazität durch das Verhältnis von zugeführter Wärme und dem Produkt aus der dabei entstehenden Temperaturdifferenz und der Masse berechnet werden.
  Was ergibt sich, wenn diese Formel nach Q umgestellt wird?

  Die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck wird mit $c_p$ und die bei konstantem Volumen mit $c_v$ bezeichnet.

  Möchte man bei konstantem Druck die Wärme die für eine Temperaturänderung $\Delta T$ zugeführt werden muss, durch die spezifische Wärmekapazität $c_v$ ausdrücken, so muss man die Wärme zur Temperaturerhöhung bei konstantem Volumen und die Volumenänderungsarbeit $W$ addieren.

  Lösung

  Bei einem Festkörper gilt für die spezifische Wärmekapazität:
  $c= \frac{Q}{\Delta T \cdot m} \leftrightarrow Q=c \Delta T \cdot m$ .

  Dieselbe Formel gilt für die spezifische Wärmekapazität eines idealen Gases bei konstantem Volumen:
  $Q=c_v \Delta T \cdot m$ .

  Durch den Index wird immer die konstante Größe dargestellt. Aufgrund der idealen Gasgleichung
  $p \cdot V = N \cdot k_B \cdot T$
  stehen $p$ und $V$ in Wechselwirkung.

  Da $N\cdot k_B$ konstant ist, erhöht sich bei konstantem Volumen und einer Temperaturerhöhung der Druck.

  Wird dagegen der Druck konstant gehalten, dann muss das Volumen größer werden. Das heißt, das Gas dehnt sich aus.

  Bei Wärmezufuhr wird die zugeführte Wärme dann zum Teil in Volumenänderungsarbeit umgewandelt und erhöht zum Teil die Temperatur.
  Somit gibt es zwei Möglichkeiten, die benötigte Wärme für eine bestimmte Temperaturänderung zu berechnen. Entweder wird $c_p$ genutzt, in welche die genannten Faktoren einberechnet sind:
  $Q=c_p \cdot m \cdot \Delta T$.

  Oder es wird die Volumenänderungsarbeit und die benötigte Wärme für die Temperaturänderung bei konstantem Volumen addiert: $Q=c_v \cdot m \cdot \Delta T+W=c_v \cdot m \cdot \Delta T + p \cdot \Delta V$.

• Berechne die Wärmemenge, die zugeführt werden muss, um die Temperaturänderung zu erreichen.

  Tipps

  Bei konstantem Volumen berechnet sich die Wärme die zugeführt werden muss, um die Masse $m$ um eine bestimmte Temperaturdifferenz zu erhöhen wie bei einem Feststoff.

  Ziehe die niedrigere Temperatur von der höheren ab, um die Temperaturdifferenz zu berechnen. Unterscheidet sich die Differenz in Kelvin von der in Grad?

  Setze alle gegebenen Werte ein und achte auf die richtige Einheit des Ergebnisses.

  Lösung

  Da das Volumen konstant ist, gilt:
  $Q=c_v \cdot m \cdot \Delta T$.

  In der Formel wird die Temperaturdifferenz in Kelvin angegeben. Diese unterscheidet sich jedoch nicht von der in Grad.
  Temperaturdifferenzen sind in Kelvin und in Grad gleich. Du kannst dies leicht überprüfen, indem du die Temperatur in Kelvin umrechnest und anschließend die Differenz bestimmst.
  Somit folgt für $\Delta T$:
  $\Delta T=T_2-T_1=35 ~°C - 15 ~°C=20 ~°C$ und damit auch $\Delta T=20 ~ K$.

  Dort werden die gegebenen Werte eingesetzt:
  $Q=620 ~ \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 3,5 ~kg \cdot 20 ~ K = 43400 ~ J = 43,4 ~ kJ$ .

• Berechne die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen.

  Tipps

  Für die zugeführte Wärme bei konstantem Druck gilt:

  Die zugeführte Wärme bei konstantem Druck kann auch mit spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Volumen berechnet werden. Es muss dabei die Volumenänderungsarbeit berücksichtigt werden. Diese kann mithilfe der Teilchenmasse berechnet werden.

  Werden die Formeln gleichgesetzt und nach $c_v$ umgestellt, so sind alle Größen der Gleichung bekannt.

  Achte auf das richtige Runden. Ist die dritte Ziffer nach dem Komma größer als 5, dann wird aufgerundet. Ist die dritte Ziffer nach dem Komma kleiner als 5, dann wird abgerundet.

  Lösung

  Es gibt zwei Möglichkeiten die Wärme $Q$ zu berechnen, die bei einem Gas mit konstantem Druck benötigt wird, um eine Temperaturänderung $\Delta T$ zu bewirken.

  Es gilt $Q=c_p \cdot m \cdot \Delta T$.

  Ferner kann die Wärme auch über $c_v$ ausgedrückt werden. Denn bei konstantem Druck wird das Volumen größer. Die zugeführte Wärme teilt sich auf in die Wärme, die die Temperaturänderung versucht und die Volumenänderungsarbeit.

  Mit $W=p \cdot \Delta V= \frac{m}{m_i} \cdot k_B \cdot \Delta T$ folgt hier:

  $Q=c_v \cdot m \cdot \Delta T + p \cdot \Delta V =c_v \cdot m \cdot \Delta T + \frac{m}{m_i} \cdot k_b \cdot \Delta T$.

  Werden die beiden Gleichungen gleich gesetzt ergibt sich:

  \begin{align} && c_p \cdot m \cdot \Delta T&=c_v \cdot m \cdot \Delta T + \frac{m}{m_i} \cdot k_B \cdot \Delta T \\ &\Leftrightarrow& c_p \cdot \not{m} \cdot \not{\Delta T} &= c_v \cdot \not{m} \cdot \not{\Delta T} + \frac{\not{m}}{m_i}\cdot k_B \cdot \not{\Delta T} \\ &\Leftrightarrow& c_p = c_v + \frac{k_B}{m_i} \end{align}

  Nach $c_v$ und mit eingesetzten Zahlenwerten folgt:
  $c_v = c_p - \frac{k_B}{m_i}=624 ~\frac{J}{kg \cdot K}-\dfrac{1,381 \cdot 10^{-23} ~ \frac{J}{K}}{8,421 \cdot 10^{-26} ~kg}\approx 460,005 ~\frac{J}{kg \cdot K} \approx 460,01 ~\frac{J}{kg \cdot K}$.

• Nenne Aussagen zur Wärmekapazität.

  Tipps

  Die Wärmekapazität wird mit $C$ ausgedrückt.

  Die spezifische Wärmekapazität ist in den Temperaturen, die wir gewohnt sind, ungefähr konstant. Bewegt sich die Temperatur in sehr hohen oder sehr geringen Bereichen, dann verändert sich die Wärmekapazität eines Stoffes.

  Wenn mehr Masse auf eine bestimmte Temperatur erwärmt werden soll, wird auch mehr Wärme gebraucht. Die Wärme ist also proportional zu der Masse mal der Temperaturdifferenz. Verändert sich bei größerer Masse die Proportionalitätskonstante?

  Die Einheit der spezifischen Wärmekapazität ist Joule durch Kilogramm mal Kelvin.

  Lösung

  Häufig wird die spezifische Wärmekapazität fälschlicher Weise als Konstante bezeichnet.
  In Wirklichkeit ist sie jedoch in bestimmtem Maße temperaturabhängig.

  In Bereichen zwischen $-40 ~^\circ C$ und $100 ~^\circ C$ ist die spezifische Wärmekapazität in den meisten Fällen ungefähr konstant. Werden die Temperaturen, welche in Kelvin berechnet werden, jedoch sehr hoch oder sehr niedrig, dann ist sie nicht mehr konstant.
  Somit ist die spezifische Wärmekapazität temperaturabhängig und damit ohne Zusatzbedingungen auch keine Konstante.

  Für die Einheit der spezifischen Wärmekapazität gilt:
  $[c]=\frac{J}{K \cdot kg}$
  Es wird damit angegeben, wie viel Wärmeenergie benötigt wird, um eine Masse um eine bestimmte Temperatur zu erhöhen.
  Es gilt zum Beispiel für Quarz unter Normalbedingungen:
  $c=0,8 ~\frac{kJ}{K \cdot kg}=0,8 ~\frac{J}{K \cdot g}$.
  Somit werden 0,8 Joule gebraucht, um 1 Gramm um 1 Kelvin zu erhöhen.

• Berechne Veränderung der Temperatur und die Wärmekapazität bei konstantem Druck.

  Tipps

  Die zugeführte Wärme sorgt zum Teil für die Änderung der Temperatur und zum Teil für die Änderung des Volumens.

  Die zugeführte Wärme kann auch über die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck dargestellt werden.

  Mit der zuvor berechneten Wärme lässt sich damit die spezifische Wärmekapazität $c_p$ berechnen.

  Lösung

  Da der Druck konstant ist, wird das Volumen größer.
  Die zugeführte Wärme setzt sich hierbei aus zwei Teilen zusammen.

  Ein Teil der Wärme bewirkt die Temperaturänderung. Der andere bewirkt die Volumenänderung.
  Somit kann die zugeführte Wärme bei der Temperaturänderung $\Delta T$ und der Volumenänderung $\Delta V$ durch
  $Q=c_v \cdot m \cdot \Delta T + p \cdot \Delta V$
  ausgedrückt werden.

  Dort werden die gegebenen Werte eingesetzt. Es ergibt sich:
  $Q=1680 ~ \frac{J}{kg\cdot K} \cdot 4 ~kg \cdot 15 ~ K + 120000 ~\frac{N}{m^2} \cdot 2 ~ m^3=100800 ~J+240000~J=340800 ~J$.

  Man kann die zugeführte Wärme aber auch über die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck $c_p$ ausdrücken. Stellt man diese nach $c_p$ um, lässt sich die gesuchte Größe leicht berechnen:
  $Q=c_p \cdot m \cdot \Delta T \leftrightarrow c_p=\frac{Q}{m \cdot \Delta T}=\frac{340800 ~J}{4 ~kg \cdot 15 ~ K}=5680 ~ \frac{J}{kg\cdot K}$.

  Da in der vorigen Rechnung nicht gerundet wurde, darf das Zwischenergebnis direkt eingesetzt werden.