Gleichsetzungsverfahren

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Lineare Gleichungssysteme – Definition und Schreibweise
• Lösungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme
• Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme
• Schrittweise Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren
• Beispiel 1
• Beispiel 2
• Beispiel 3

Lineare Gleichungssysteme – Definition und Schreibweise

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht häufig aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen, auch Unbekannte genannt. Lineare Gleichungssysteme können auch aus mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen bestehen, es gelten aber für alle Gleichungssysteme dieselben Grundlagen.

Um Gleichungssysteme darzustellen, gibt es verschiedene Schreibweisen, zum Beispiel:

$\begin{array}{lrcl} (I)&2x +5y &=& 23\\ (II)&2x~– 3y &=& -1 \\ \end{array}$

$\begin{array}{|lcr|} ~y & = & x -5~ \\ ~y & = & 2x +3~ \\ \end{array}$

$\begin{array}{rcr} ~2x +5y &=& 23\\ \wedge~2x ~– 3y &=& -1 \\ \end{array}$

Im letzten Beispiel siehst du durch den logischen Operator $\wedge$, der und bedeutet, dass beide Gleichungen verknüpft sind. Es wird also das Lösungspaar (x; y) gesucht, das beide Gleichungen erfüllt.

Lösungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme

Es gibt unterschiedliche Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. In der Schule begegnen dir zunächst diese Verfahren:

• das graphische Lösen linearer Gleichungssysteme,
• das Additionsverfahren,
• das Gleichsetzungsverfahren und
• das Einsetzungsverfahren.

Das Gleichsetzungsverfahren solltest du dann wählen, wenn beide Gleichungen bereits nach $y$ aufgelöst sind. Dann kannst du die beiden Terme rechts vom Gleichheitszeichen gleichsetzen, da sie jeweils nur noch die Variable $x$ enthalten. Anschließend löst du die neue Gleichung dann nach $x$ auf.

Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme

Bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen gibt es drei unterschiedliche Fälle:

• keine Lösung,
• genau eine Lösung und
• unendlich viele Lösungen.

Bei der graphischen Lösung bedeutet das

• die Geraden verlaufen parallel und haben somit keinen Schnittpunkt (keine Lösung),
• die Geraden schneiden sich in einem Punkt (eine Lösung), oder
• die Geraden sind identisch und haben somit unendlich viele Schnittpunkte (unendlich viele Lösungen).

Schrittweise Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren

Du gehst beim Gleichsetzungsverfahren wie folgt vor:

1. Du formst beide Gleichungen so um, dass die gleiche Variable jeweils auf einer Seite der Gleichung alleine steht.
2. Nun setzt du die jeweils anderen Seiten gleich. Daher kommt der Name des Verfahrens.
3. Du erhältst so eine Gleichung, in welcher nur noch eine Variable vorkommt. Löse diese Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen.
4. Setze die so erhaltene Lösung in eine der beiden Gleichungen aus dem ersten Schritt ein und ermittle damit den Wert für die andere Variable.

Im Folgenden siehst du nun Beispiele zu diesem Verfahren:

Beispiel 1

Schau dir das folgende lineare Gleichungssystem an:

$\begin{array}{crcl} \text{I}&3x-6y&=&21\\ \text{II}&x+y-1&=&0 \end{array}$

1. Schritt: Forme zunächst beide Gleichungen nach $x$ um:

Gleichung $\text{I}$:

$\begin{array}{rclll} 3x-6y&=&21&|&+6y\\ 3x&=&6y+21&|&:3\\ x&=&2y+7 \end{array}$

Gleichung $\text{II}$:

$\begin{array}{rclll} x+y-1&=&0&|&+1\\ x+y&=&1&|&-y\\ x&=&-y+1\end{array}$

2. Schritt: Setze die jeweils anderen Seiten der Gleichungen gleich:

Du erhältst so die Gleichung $2y+7=-y+1$, welche nur noch von der Variablen $y$ abhängt.

3. Schritt: Löse diese Gleichung:

$\begin{array}{rclll} 2y+7&=&-y+1&|&-7\\ 2y&=&-y-6&|&+y\\ 3y&=&-6&|&:3\\ y&=&-2 \end{array}$

Die Lösung für $y$ ist bereits gefunden. Es fehlt nur noch ein Schritt.

4. Schritt: Setze $y=-2$ in die Gleichung $\text{I}$ oder $\text{II}$ ein:

Mit $x=-y+1$ erhältst du $x=-(-2)+1=3$. Nun bist du fertig. Du hast das Lösungspaar $(3|-2)$ gefunden.

Das Gleichsetzungsverfahren funktioniert natürlich auch, wenn die beiden Gleichungen nach $y$ statt nach $x$ aufgelöst sind. Nach dem Gleichsetzen erhältst du dann zunächst eine Lösung für $x$, die du anschließend in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzt und so eine Lösung für $y$ ermittelst.

Beispiel 2

Bei manchen Beispielen kann es auch durchaus sinnvoll sein, dass nicht entweder $x$ oder $y$ auf einer Seite allein steht. Zum Vermeiden von Rechnen mit Brüchen könnte auch durchaus ein Vielfaches einer dieser Variablen da stehen.

$\begin{array}{crcl} \text{I}&3x+4y&=&5\\ \text{II}&x+y&=&2 \end{array}$

1. Schritt

Forme die obere Gleichung nach $3x$ um. Durch Subtraktion von $4y$ kommst du zu $3x=-4y+5$.

Nun kommt die untere der beiden Gleichungen: Subtrahiere $y$ zu $x=-y+2$. Multipliziere diese Gleichung nun mit $3$. Du erhältst dann $3x=-3y+6$.

2. Schritt

Setze die Gleichungen gleich zu $-4y+5=-3y+6$.

3. Schritt

Löse die so erhaltene Gleichung:

$\begin{array}{rclll} -4y+5&=&-3y+6&|&-5\\ -4y&=&-3y+1&|&+3y\\ -y&=&1&|&\cdot (-1)\\ y&=&-1 \end{array}$

4. Schritt

Setze $y=-1$ in die Gleichung $x=-y+2$ ein. So erhältst du $x=-(-1)+2=3$. Das Lösungspaar lautet hier $(3|-1)$.

Beispiel 3

Zu guter Letzt noch eine der allseits beliebten Textaufgaben: Paul und sein Opa sind gemeinsam $55$ Jahre alt. Pauls Opa ist $10$-mal so alt wie Paul.

Stelle zunächst einmal das lineare Gleichungssystem auf. Verwende hierbei $x$ für das Alter von Paul und $y$ für das seines Opas.

$\begin{array}{crcl} \text{I}&x+y&=&55\\ \text{II}&y&=&10x \end{array}$

1. Schritt

Da in der unteren Gleichung bereits $y$ alleine steht, formst du auch die obere nach $y$ um. Subtrahiere hierfür $x$ zu $y=55-x$.

2. Schritt

Nun kannst du die Gleichungen gleichsetzen: $55-x=10x$.

3. Schritt

Löse nun die Gleichung:

• Addiere hierfür $x$ zu $55=11x$.
• Nun kannst du durch $11$ dividieren und erhältst $x=5$.

4. Schritt

Setze $x=5$ in $y=10x$ ein. So gelangst du zu $y=10\cdot 5=50$.

Vergiss bei Textaufgaben den Antwortsatz nicht: Paul ist fünf Jahre alt und sein Opa $50$ Jahre.