Was sind rationale Zahlen?

Rationale Zahlen – Definition

Aber was sind rationale Zahlen? Und wie hängen sie mit anderen bekannten Zahlen zusammen? Das alles und vieles mehr sehen wir uns in diesem Text an.

Die Menge $\mathbb N$ der natürlichen Zahlen enthält alle Zählzahlen, also zum Beispiel $5$ oder $89$ oder $300$.
Die Menge $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen enthält zusätzlich zu den natürlichen Zahlen auch noch deren Gegenzahlen. Das sind die entsprechenden negativen ganzen Zahlen, also zum Beispiel $-5$ oder $-89$ oder $-300$.

Zu diesen Zahlen fügen wir nun noch alle Zahlen hinzu, die man als Bruch darstellen kann. Dies ergibt die Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen. Zu der Menge gehören also außer den ganzen Zahlen auch Zahlen wie $4\frac{8}{10}$ oder $-0{,}18$ oder $0{,}\bar 3$.

Die natürliche Zahl $2$ kann beispielsweise als Bruch $\frac{2}{1}$ dargestellt werden und ist damit eine rationale Zahl. Dasselbe gilt für die negative ganze Zahl $-2$, denn diese kann als $\frac{-2}{~\,1}$ dargestellt werden.

Die Menge der rationalen Zahlen

Brüche sind rationale Zahlen, zum Beispiel $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ und $\frac{7}{4}$.

Außerdem kann jede ganze Zahl als Bruch geschrieben werden, indem man die Zahl selbst in den Zähler setzt und den Nenner $1$ wählt:
Zum Beispiel ist $5 = \frac{5}{1}$ und $-4=-\frac{4}{1}$.
Jede ganze Zahl ist also auch eine rationale Zahl.

Auch endliche und periodische Dezimalbrüche lassen sich in einen Bruch umwandeln.
So ist zum Beispiel ${-0{,}18=-\frac{18}{100}}$ und ${0{,}\bar 3=\frac{1}{3}}$.
Also sind auch solche Dezimalbrüche rationale Zahlen.

Die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen lässt sich allgemein so formulieren:

$\mathbb{Q}=\left\{\dfrac {a}{b}\,;~a\in\mathbb{Z}\,;~b \in \mathbb{N}\,;~b\neq 0\right\}$

Dabei ist $a$ eine negative oder positive ganze Zahl (auch die $0$ ist möglich), während $b$ eine natürliche Zahl ist (die nicht $0$ sein darf).
Jede rationale Zahl lässt sich durch einen solchen Bruch $\left( \frac{a}{b} \right)$ darstellen. In der Menge der rationalen Zahlen sind also die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen enthalten.

Positiven rationale Zahlen

Manchmal möchte man explizit nur die Menge der positiven rationalen Zahlen darstellen. Diese Menge wird mit $\mathbb{Q}^+$ bezeichnet und kann folgendermaßen beschrieben werden:

$\mathbb{Q}^+=\left\{\dfrac{a}{b}\,;~a\,,\,b \in \mathbb{N}\,;~b\neq 0\right\}$

Hier sind also $a$ und $b$ natürliche Zahlen (und damit positiv), wobei $b$ nicht $0$ sein darf, $a$ hingegen schon (sofern man die $0$ als positive Zahl akzeptieren möchte).

Negative rationale Zahlen

In ähnlicher Weise ist auch eine Darstellung der Menge der negativen rationalen Zahlen möglich. Diese Menge wird mit $\mathbb{Q}^-$ bezeichnet und kann folgendermaßen beschrieben werden:

$\mathbb{Q}^-=\left\{-\dfrac{a}{b}\,;~a\,,\,b \in \mathbb{N}\,;~a\,,\,b\neq 0\right\}$

Hier sind wieder $a$ und $b$ natürliche Zahlen und das Minuszeichen stellt sicher, dass der Bruch, also die rationale Zahl, am Ende stets negativ ist. Die $0$ haben wir hier nicht nur für $b$ sondern auch für $a$ ausgeschlossen, da wir sie nicht zu den negativen Zahlen zählen.

Rationale Zahlen darstellen

Rationale Zahlen, die keine ganzen Zahlen sind, können als Bruchzahlen oder Dezimalzahlen dargestellt werden.

• Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma, zum Beispiel $3{,}45$ oder $-2{,}6$.
• Ein Bruch besteht aus einer ganzen Zahl im Zähler und einer natürlichen Zahl im Nenner.
• Brüche und Dezimalzahlen lassen sich ineinander umwandeln.

Viele Bruchzahlen können als Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen geschrieben werden, zum Beispiel so:

$\dfrac{1}{4}=0{,}25$

Manche Bruchzahlen entsprechen einer periodischen Dezimalzahl, das sieht dann zum Beispiel so aus:

$-\dfrac{1}{3}=-0{,}33333......=-0{,}\bar 3$

Eine periodische Dezimalzahl hat zwar unendlich viele Nachkommastellen, allerdings wird dabei nur eine bestimmte Zahl (im Beispiel die $3$) unendlich oft wiederholt.

Rationale Zahlen auf der Zahlengeraden

Wir können rationale Zahlen auf der Zahlengeraden (dem Zahlenstrahl) darstellen. In der Mitte steht die Zahl $0$, rechts davon die positiven Zahlen und links die negativen Zahlen. Die positiven Zahlen sind größer als $0$, die negativen Zahlen kleiner als $0$.
Die Zahlen werden auf der Zahlengeraden von rechts nach links kleiner und von links nach rechts größer. Der Abstand zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen ist auf der Zahlengeraden immer gleich groß.

Zwischen den ganzen Zahlen können wir die nicht ganzen rationalen Zahlen eintragen.
Die Zahl $-3{,}5$ steht zum Beispiel genau in der Mitte zwischen der Zahl $-4$ und der Zahl $-3$. Die Zahl $-1{,}7$ steht zwischen den Zahlen $-2$ und $-1$, aber nicht genau in der Mitte, sondern näher an der Zahl $-2$. Und die Zahl $-\frac{1}{3}$ steht zwischen den Zahlen $-1$ und $0$, aber näher an der $0$.
Auf der anderen Seite der $0$ können wir dazu die positiven Gegenzahlen eintragen:
$\frac{1}{3}$ und $1{,}7$ und $3{,}5$.

Jede Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand zur $0$. Die Zahlen $-3{,}5$ und $3{,}5$ sind also gleich weit von der $0$ entfernt. Diesen Abstand einer Zahl zur Zahl $0$ bezeichnet man als Betrag der Zahl.
Der Betrag einer Zahl $\neq 0$ ist immer positiv, denn es gibt keine negativen Abstände. Man schreibt zwei senkrechte Striche, wenn der Betrag einer Zahl (also der Abstand zur $0$) gemeint ist. Es gilt beispielsweise:

$\lvert 3{,}5 \rvert = \lvert {-}3{,}5 \rvert = 3{,}5$

Zwei verschiedene Zahlen mit demselben Betrag sind immer Gegenzahlen voneinander. Die Gegenzahl von $-3{,}5$ ist also $3{,}5$ – und umgekehrt. Du findest die Gegenzahl zu einer Zahl auf der Zahlengeraden, indem du die Zahl an der $0$ spiegelst.
Der Betrag der Zahl $0$ ist $0$. Die $0$ ist die einzige Zahl, die keine Gegenzahl hat (bzw. zu sich selbst Gegenzahl ist) und deren Betrag nicht positiv ist (denn $0$ wird üblicherweise als weder positiv noch negativ angesehen).

Rationale Zahlen – Beispiele

Mit den ganzen Zahlen hast du sicher oft im Alltag zu tun. Sie kommen zum Beispiel an Aufzügen vor: Die positiven ganzen Zahlen bezeichnen die Stockwerke nach oben, die negativen Zahlen die Kellerstockwerke nach unten. So etwas wie ein Stockwerk $4\frac{3}{4}$ gibt es normalerweise nicht.
Aber stell dir vor, der Aufzug würde auf drei Vierteln der Strecke zwischen dem dritten und vierten Stock plötzlich stehen bleiben. Dann wären wir genau auf Höhe der rationalen Zahl $4\frac{3}{4}$.

Den Umgang mit rationalen Zahlen kennst du bestimmt auch im Zusammenhang mit Geld.
Stell dir vor, du sollst $10\,\text{€}$ gleichmäßig auf $4$ Freunde verteilen. Wie viel bekommt jeder? Da $10$ kein Vielfaches von $4$ ist, ist $10$ nicht ohne Rest durch $4$ teilbar. Die Rechnung sieht so aus:

$10\,\text{€} : 4=2{,}5\,\text{€}$ oder $2{,}50\,\text{€}$

Ein halber Euro sind $0{,}5\,\text{€}$, das ist eine endliche Dezimalzahl und damit eine rationale Zahl. Demnach sind auch zweieinhalb Euro eine rationale Zahl, eben $2{,}5\,\text{€}$.

Alternativ können wir das auch als Bruch darstellen:

$\dfrac{10}{4}\,\text{€} = \dfrac{5 \, \cdot \, 2}{2 \, \cdot \, 2}\,\text{€} = \dfrac{5}{2}\,\text{€}$

$2{,}5\,\text{€}$ sind eben nichts anderes als fünfmal ein halber Euro, also $5 \cdot \frac{1}{2}\,\text{€} = \frac{5}{2}\,\text{€}$.

Auch Temperaturen können Dezimalzahlen und damit rationale Zahlen sein. Manchmal sind sie sogar negativ.
Wenn zum Beispiel am Mittag die Temperatur bei $5{,}3\,^\circ\text{C}$ lag und dann bis zum Abend um $7{,}5\,^\circ\text{C}$ gefallen ist, können wir die Abendtemperatur wie folgt berechnen:

$5{,}3 - 7{,}5 = -2{,}2$

Die Temperatur am Abend beträgt also $-2{,}2\,^\circ\text{C}$.

Ein weiteres Beispiel für die Verwendung von rationalen Zahlen ist die Uhr:

• Eine Viertelstunde ist ein Viertel einer Stunde, also $0{,}25~\text{h}$ oder eben $\frac{1}{4}~\text{h}$.
• Eine halbe Stunde entspricht $0{,}5~\text{h}$ bzw. $\frac{1}{2}~\text{h}$.
• Eine Dreiviertelstunde sind $0{,}75~\text{h}$, was gleichbedeutend mit $\frac{3}{4}~\text{h}$ ist.
• Eine volle Stunde ist natürlich $1~\text{h}$, was allerdings auch als $\frac{1}{1}~\text{h}$ geschrieben werden kann.

Gleichzeitig ist die Uhr mit ihren $12$ Ziffern auch in $12$ Einheiten von je $5$ Minuten eingeteilt. Eine Viertelstunde entspricht in diesem Sinne $3$ solcher Einheiten $\left( \frac{3}{12}~\text{h} \right)$ und eine halbe Stunde sind $6$ Einheiten $\left( \frac{6}{12}~\text{h} \right)$.
Auch einzelne Minuten und Sekunden können als Bruchteile eine Stunde aufgefasst werden. Eine Minute ist $\frac{1}{60}$ einer Stunde und eine Sekunde entspricht $\frac{1}{3600}~\text{h}$.

Wir können uns noch unendlich viele kleinere Zeiteinheiten als eine Sekunde vorstellen. Dieses Beispiel soll verdeutlichen, das zwischen zwei ganzen Zahlen, zum Beispiel zwischen zwei vollen Stunden, unendlich viele Bruchzahlen existieren, die wir mit rationalen Zahlen darstellen können.

Rationale Zahlen berechnen

Wie unsere bisherigen Beispiele von rationalen Zahlen zeigen, kannst du mit diesen Zahlen rechnen, genau wie du auch mit natürlichen oder ganzen Zahlen rechnest. Rationale Zahlen können also addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden.
Da das Rechnen mit Dezimalzahlen und Brüchen aber nicht immer ganz so einfach ist, wollen wir auf ein paar Besonderheiten etwas näher eingehen.

Rationale Zahlen addieren und subtrahieren

Wenn du rationale Zahlen addieren oder subtrahieren möchtest, solltest du darauf achten, dass es sich entweder nur um Dezimalzahlen oder nur um Brüche handelt. Wenn du die beiden mischst, wird das nur unnötig kompliziert.

Um eine endliche Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, verschiebst du das Komma nach rechts hinter die letzte Ziffer und teilst dann durch eine $1$ mit so vielen Nullen wie die Anzahl der Stellen, um die du das Komma verschoben hast. Das sieht dann zum Beispiel so aus:

$3 = \dfrac{3}{1} \qquad$ (keine Verschiebung notwendig)

$0{,}3 = \dfrac{3}{10} \qquad$ (Verschiebung um eine Stelle)

$0{,}03 = \dfrac{3}{100} \qquad$ (Verschiebung um zwei Stellen)

$0{,}33 = \dfrac{33}{100} \qquad$ (Verschiebung um zwei Stellen)

Manchmal kann man dabei auch kürzen und vereinfachen:

$-0{,}25 = \dfrac{-25}{~100} = -\dfrac{1}{4}$

$1{,}5 = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3 \, \cdot \, 5}{2 \, \cdot \, 5} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}$

Der umgekehrte Weg, einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, ist nicht immer ganz so einfach. Das geht nur, wenn du den Nenner des Bruchs auf ein Vielfaches von $10$ erweiterst:

$\dfrac{2}{20} = \dfrac{1 \, \cdot \, 2}{10 \, \cdot \, 2} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$

$\dfrac{5}{2} = \dfrac{5 \, \cdot \, 5}{2 \, \cdot \, 5} = \dfrac{25}{10} = 2{,}5$

Bei einigen einfachen Brüchen solltest du die entsprechende Dezimalzahl auswendig kennen. Das spart einiges an Rechenarbeit. Folgende Beispiele solltest du dir merken:

Hier siehst du ein paar Beispiele:

$0{,}3 + 0{,}4 = (3+4) : 10 = \dfrac{7}{10} = 0{,}7$

$0{,}3 + 0{,}04 = (3+0{,}4) : 10 = (30+4) : 100 = \dfrac{34}{100} = 0{,}34$

$0{,}3 - 0{,}4 = (3-4) : 10 = \dfrac{-1}{~\,10} = -0{,}1$

$0{,}3 - 0{,}04 = (3-0{,}4) : 10 = (30-4) : 100 = \dfrac{26}{100} = 0{,}26$

Hier siehst du ein paar Beispiele:

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1+1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \, \cdot \, 2}{2 \, \cdot \, 2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2+1}{4} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$

$\dfrac{4}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2 \, \cdot \, 2}{3 \, \cdot \, 2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} = 0{,}\bar 3$

$\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \, \cdot \, 4}{3 \, \cdot \, 4} - \dfrac{3 \, \cdot \, 3}{4 \, \cdot \, 3} = \dfrac{8}{12}-\dfrac{9}{12} = -\dfrac{1}{12}$

Rationale Zahlen multiplizieren und dividieren

Auch beim Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen gilt der Grundsatz, dass du Dezimalzahlen und Brüche nicht mischen solltest.

Hier siehst du wieder ein paar Beispiele:

$0{,}3 \cdot 0{,}4 = 3 : 10 \cdot 4 : 10 = (3 \cdot 4) : (10 \cdot 10) = (12) : (100) = 0{,}12$

$0{,}3 \cdot (-0{,}04) = 3 : 10 \cdot (-4) : 100 = (3 \cdot (-4)) : (10 \cdot 100) = (-12) : (1000) = -0{,}012$

$-0{,}4 : (-0{,}2) = (-4) : 10 : (-2) : 10 = ((-4) : (-2)) : (10 : 10) = (2) : (1) = 2$

$(-0{,}3) : 0{,}02 = (-3) : 10 : 2 : 100 = ((-3) : (2)) : (10 : 100) = -1{,}5 : 0{,}1 = \\ (-15) : 10 : 1 : 10 = ((-15) : 1) : (10 : 10) = (-15) : (1) = -15$

Hier siehst du wieder ein paar Beispiele:

$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \, \cdot \, 1}{2 \, \cdot \, 2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$

$\dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1 \, \cdot \, (-1)}{2 \, \cdot \, 4}= \dfrac{-1}{~\,8} = -\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{1} = \dfrac{3 \, \cdot \, 4}{4 \, \cdot \, 1} = \dfrac{12}{4} = 3$

$\left(-\dfrac{2}{3}\right) : \left(-\dfrac{4}{3}\right) = \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{(-2) \, \cdot \, (-3)}{3 \, \cdot \, 4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$

Rationale Zahlen – Übungen

Im Folgenden siehst du noch einige Aufgaben, mit denen du den Umgang mit rationalen Zahlen üben kannst. Überlege erst selbst und vergleiche dann deine Antwort mit den Lösungen!

Ausblick – das lernst du nach Was sind rationale Zahlen?

Im nächsten Schritt vertiefst du dein Verständnis für rationale Zahlen durch das Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen. Mit den Themen Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen sowie Klammerregeln bei rationalen Zahlen, bereitest du dich optimal auf kommende Lektionen vor.

Häufig gestellte Fragen zu den rationalen Zahlen