Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte
Mathematik-Tricks leicht erklärt In diesem Video erfährst du mehr über neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte in der Mathematik. Du lernst, wie die als neutrales Element wirkt, was Gegenzahlen sind und wie sich der Kehrwert auswirkt. Interessiert? Das und noch vieles mehr erwartet dich im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte
Was sind neutrale Elemente und Gegenzahlen?
In der Mathematik gibt es einige schöne Tricks mit Zahlen. Manche sind ganz einfach und die wollen wir dir heute erklären. Sie handeln von neutralen Elementen, von Gegenzahlen und vom Kehrwert. Schauen wir uns diese Tricks doch einmal an.
Neutrale Elemente – Definition
Ein Zauberer hat fünf Kaninchen. Sein Trick besteht darin, sie um genau Kaninchen zu vermehren. Toll, nicht? Wie viele Kaninchen hat er nach Anwendung seines Tricks? Genauso viele wie vorher, nämlich fünf. Die Addition von ändert die Zahl nämlich gar nicht, zu der wir addieren. Genau wegen dieser Eigenschaft heißt die Zahl das neutrale Element der Addition. Wir können die Rechnung so aufschreiben:
Dieselbe Rechnung funktioniert auch mit jeder beliebigen Zahl anstelle von :
- ist das neutrale Element der Addition. Das bedeutet: Addiert man zu einer beliebigen Zahl, so bleibt diese Zahl gleich.
Unser Zauberer hat noch mehr solcher Tricks auf Lager: Er verwandelt eine Tomate, indem er ihr Gewicht um den Faktor erhöht. Das Gewicht ändert sich von vor der Anwendung des Tricks auf danach. Es ändert sich also wieder nichts. Die Multiplikation mit lässt das Gewicht unverändert. Man sagt daher: Das neutrale Element der Multiplikation ist die Zahl . Wir schreiben das wieder als Formeln auf:
- ist das neutrale Element der Multiplikation. Das bedeutet: Multipliziert man eine beliebige Zahl mit , so bleibt diese Zahl gleich.
Gegenzahl einer Zahl
Ein anderer Trick in der Mathematik lässt Zahlen wie Kaninchen verschwinden: Wie ein Zauberer Kaninchen wegzaubert, können wir Zahlen zu null zaubern. Das geht mit der Gegenzahl. Zauberst du von fünf Kaninchen fünf weg, so bleiben gar keine Kaninchen übrig:
Wir können die Rechnung auch so aufschreiben:
Die Zahl, mit der dieser Trick funktioniert, heißt Gegenzahl: Addierst du zu einer Zahl ihre Gegenzahl, so erhältst du . Das funktioniert mit jeder beliebigen Zahl :
Addierst du zu einer positiven Zahl ihre negative Gegenzahl , so erhältst du . Und das geht auch umgekehrt:
Addierst du zu einer negativen Zahl ihre positive Gegenzahl , so erhältst du ebenfalls .
Kehrwert einer Zahl
Der letzte Mathetrick, den wir heute zeigen, macht kleine Zahlen größer und große Zahlen kleiner, sodass immer derselbe Wert herauskommt. Wir schreiben zuerst die Rechnung zu diesem Trick auf:
Diejenige Zahl, die durch Multiplikation zu macht, heißt Kehrwert von . Für eine beliebige Zahl ist der Kehrwert . Multipliziert man eine Zahl und ihren Kehrwert, so erhält man stets . Das schreiben wir so auf:
Die Zahl ist die einzige Zahl, die keinen Kehrwert besitzt. Denn es gibt keine Zahl, die bei Multiplikation mit den Wert ergibt.
Kurze Zusammenfassung zum Video Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte
In diesem Video werden dir neutrale Elemente sowie Gegenzahlen und Kehrwerte einfach und verständlich erklärt und du erfährst, wie man mit ihnen rechnet. Zu diesem Video gibt es interaktive Übungen. Du kannst gleich loslegen und dein neues Wissen testen.
Transkript Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte
Oswald der Zauberer hat seine Zauberkunststücke ausgiebig geübt und ist sich sicher, dass das Publikum ihn lieben wird. Heute ist seine erste Aufführung. Zur Seite steht ihm seine Assistentin Wanna. Das Publikum hat keine Ahnung, dass Oswald bei seinen Tricks neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte anwenden wird. Bei seinem ersten Trick will Oswald die Anzahl der Kaninchen erhöhen. Zu Beginn hat er 5. Ein wenig Zauberei und simsalabim! Dank seines begrenzten Talents konnte Oswald nur null neue Kaninchen hinzufügen. Die Menge buht und wirft mit Tomaten. Hm, was ergibt 5 + 0? Es ergibt natürlich 5. Wenn du 0 zu einer Zahl hinzu addierst, bleibt die Zahl gleich. Die 0 ist das neutrale Element der Addition. Neutrales Element der Addition" bedeutet ganz einfach: Wenn man die 0 zu einer Zahl addiert, bleibt die Zahl gleich. Für seinen nächsten Trick nutzt Oswald eine der Tomaten, die man auf ihn geworfen hat. Er will sie in eine Riesentomate verwandeln, behauptet er zumindest. Im Moment wiegt die Tomate noch 200 Gramm. Oswald wedelt mit seinem Zauberstab und schon hat sich das Gewicht der Tomate um den Faktor 1 vermehrt. Wie viel wiegt sie also jetzt? 200 mal 1 ist gleich 200. Tatsächlich bleibt jede Zahl, die man mit 1 multipliziert, gleich. 1 ist das neutrale Element der Multiplikation. Ähnlich wie beim neutralen Element der Addition bedeutet das: Jede Zahl, die man mit 1 multipliziert, bleibt gleich. Oswald verlässt die Bühne. Er ist maßlos enttäuscht, dass das Publikum seine Zauberei mit den neutralen Elementen der Addition und der Multiplikation so wenig zu schätzen weiß. Seine Assistentin Wanna beschließt, die Aufführung fortzusetzen und dabei das Gegenteil von Oswald auszuprobieren. Auch sie möchte etwas mit den Kaninchen machen. Sie nimmt die 5 Kaninchen und lässt 5 davon mit einem Streich ihres Zauberstabes verschwinden. Alle weg! Die Menge tobt! 5 minus 5 ergibt 0. Minus 5 ist die Gegenzahl von 5. Wenn man zu einer Zahl ihre Gegenzahl addiert, dann erhält man als Ergebnis 0. Wenn man eine positive Zahl hat und zu dieser Zahl ihre negative Gegenzahl addiert, dann erhält man stets 0. Genauso erhält man, wenn man zu einer negativen Zahl ihre positive Gegenzahl addiert, 0. Wanna greift zu der Tomate, an der sich auch schon Oswald versucht hat. Sie verrät den Zuschauern, dass sie die Tomate schrumpfen lassen wird. Sie schwingt ihren Zauberstab und - abrakadabra - schon hat sie eine kleine Cherrytomate in der Hand. Das Publikum flippt aus! Und wie viel wiegt die Tomate jetzt noch? 200 mal ein Zweihundertstel ergibt 1. Ein Zweihundertstel ist der Kehrwert von 200. Multipliziert man beide, erhält man als Produkt 1. Multipliziert man den Kehrwert einer Zahl mit dieser Zahl, dann erhält man stets 1. Bei einer Zahl x ist der Kehrwert immer 1 geteilt durch x. Denn wenn man das dann multipliziert, erhält man 1. Völlig niedergeschlagen trottet Oswald der Zauberer nach Hause. Würde er doch nur Zauberkunststücke beherrschen, die das Publikum sehen will?
Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte Übung
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Es hat Spaß gemacht und ich habe wider was dazu Gelernt 😎
Zum Schluss war es sehr gemein ,aber das Video an sich hat mir sehr gefallen ein super Lob von mir aber der das erzählt hat,hat mir nicht gefallen
Ein sehr hilfreiches viedio wenn man immoment das thema in mathe hatt
thx