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Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte

Mathematik-Tricks leicht erklärt In diesem Video erfährst du mehr über neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte in der Mathematik. Du lernst, wie die 00 als neutrales Element wirkt, was Gegenzahlen sind und wie sich der Kehrwert auswirkt. Interessiert? Das und noch vieles mehr erwartet dich im folgenden Text!

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Was ist das neutrale Element der Addition?

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Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte

Was sind neutrale Elemente und Gegenzahlen?

In der Mathematik gibt es einige schöne Tricks mit Zahlen. Manche sind ganz einfach und die wollen wir dir heute erklären. Sie handeln von neutralen Elementen, von Gegenzahlen und vom Kehrwert. Schauen wir uns diese Tricks doch einmal an.

Neutrale Elemente – Definition

Ein Zauberer hat fünf Kaninchen. Sein Trick besteht darin, sie um genau 00 Kaninchen zu vermehren. Toll, nicht? Wie viele Kaninchen hat er nach Anwendung seines Tricks? Genauso viele wie vorher, nämlich fünf. Die Addition von 00 ändert die Zahl nämlich gar nicht, zu der wir addieren. Genau wegen dieser Eigenschaft heißt die Zahl 00 das neutrale Element der Addition. Wir können die Rechnung so aufschreiben:

5+0=55+0=5

Dieselbe Rechnung funktioniert auch mit jeder beliebigen Zahl xx anstelle von 55:

x+0=xx+0=x

  • 00 ist das neutrale Element der Addition. Das bedeutet: Addiert man 00 zu einer beliebigen Zahl, so bleibt diese Zahl gleich.

Unser Zauberer hat noch mehr solcher Tricks auf Lager: Er verwandelt eine Tomate, indem er ihr Gewicht um den Faktor 11 erhöht. Das Gewicht ändert sich von 200 g200~\pu{g} vor der Anwendung des Tricks auf 200 g200~\pu{g} danach. Es ändert sich also wieder nichts. Die Multiplikation mit 11 lässt das Gewicht unverändert. Man sagt daher: Das neutrale Element der Multiplikation ist die Zahl 11. Wir schreiben das wieder als Formeln auf:

2001=200200 \cdot 1= 200

x1=xx \cdot 1 = x

  • 11 ist das neutrale Element der Multiplikation. Das bedeutet: Multipliziert man eine beliebige Zahl mit 11, so bleibt diese Zahl gleich.
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Gegenzahl einer Zahl

Ein anderer Trick in der Mathematik lässt Zahlen wie Kaninchen verschwinden: Wie ein Zauberer Kaninchen wegzaubert, können wir Zahlen zu null zaubern. Das geht mit der Gegenzahl. Zauberst du von fünf Kaninchen fünf weg, so bleiben gar keine Kaninchen übrig:

55=05-5=0

Wir können die Rechnung auch so aufschreiben:

5+(5)=05+(-5)=0

Die Zahl, mit der dieser Trick funktioniert, heißt Gegenzahl: Addierst du zu einer Zahl ihre Gegenzahl, so erhältst du 00. Das funktioniert mit jeder beliebigen Zahl xx:

x+(x)=0x+(-x)=0

Addierst du zu einer positiven Zahl xx ihre negative Gegenzahl x-x, so erhältst du 00. Und das geht auch umgekehrt:

(x)+x=0(-x)+x=0

Addierst du zu einer negativen Zahl x-x ihre positive Gegenzahl xx, so erhältst du ebenfalls 00.

Gegenzahlen

Kehrwert einer Zahl

Der letzte Mathetrick, den wir heute zeigen, macht kleine Zahlen größer und große Zahlen kleiner, sodass immer derselbe Wert herauskommt. Wir schreiben zuerst die Rechnung zu diesem Trick auf:

2001200=1200 \cdot \frac{1}{200} =1

Diejenige Zahl, die 200200 durch Multiplikation zu 11 macht, heißt Kehrwert von 200200. Für eine beliebige Zahl x0x\neq 0 ist der Kehrwert 1x\frac{1}{x}. Multipliziert man eine Zahl und ihren Kehrwert, so erhält man stets 11. Das schreiben wir so auf:

x1x=1x \cdot \frac{1}{x} =1

Die Zahl 00 ist die einzige Zahl, die keinen Kehrwert besitzt. Denn es gibt keine Zahl, die bei Multiplikation mit 00 den Wert 11 ergibt.

Kurze Zusammenfassung zum Video Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte

In diesem Video werden dir neutrale Elemente sowie Gegenzahlen und Kehrwerte einfach und verständlich erklärt und du erfährst, wie man mit ihnen rechnet. Zu diesem Video gibt es interaktive Übungen. Du kannst gleich loslegen und dein neues Wissen testen.

Transkript Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte

Oswald der Zauberer hat seine Zauberkunststücke ausgiebig geübt und ist sich sicher, dass das Publikum ihn lieben wird. Heute ist seine erste Aufführung. Zur Seite steht ihm seine Assistentin Wanna. Das Publikum hat keine Ahnung, dass Oswald bei seinen Tricks neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte anwenden wird. Bei seinem ersten Trick will Oswald die Anzahl der Kaninchen erhöhen. Zu Beginn hat er 5. Ein wenig Zauberei und simsalabim! Dank seines begrenzten Talents konnte Oswald nur null neue Kaninchen hinzufügen. Die Menge buht und wirft mit Tomaten. Hm, was ergibt 5 + 0? Es ergibt natürlich 5. Wenn du 0 zu einer Zahl hinzu addierst, bleibt die Zahl gleich. Die 0 ist das neutrale Element der Addition. Neutrales Element der Addition" bedeutet ganz einfach: Wenn man die 0 zu einer Zahl addiert, bleibt die Zahl gleich. Für seinen nächsten Trick nutzt Oswald eine der Tomaten, die man auf ihn geworfen hat. Er will sie in eine Riesentomate verwandeln, behauptet er zumindest. Im Moment wiegt die Tomate noch 200 Gramm. Oswald wedelt mit seinem Zauberstab und schon hat sich das Gewicht der Tomate um den Faktor 1 vermehrt. Wie viel wiegt sie also jetzt? 200 mal 1 ist gleich 200. Tatsächlich bleibt jede Zahl, die man mit 1 multipliziert, gleich. 1 ist das neutrale Element der Multiplikation. Ähnlich wie beim neutralen Element der Addition bedeutet das: Jede Zahl, die man mit 1 multipliziert, bleibt gleich. Oswald verlässt die Bühne. Er ist maßlos enttäuscht, dass das Publikum seine Zauberei mit den neutralen Elementen der Addition und der Multiplikation so wenig zu schätzen weiß. Seine Assistentin Wanna beschließt, die Aufführung fortzusetzen und dabei das Gegenteil von Oswald auszuprobieren. Auch sie möchte etwas mit den Kaninchen machen. Sie nimmt die 5 Kaninchen und lässt 5 davon mit einem Streich ihres Zauberstabes verschwinden. Alle weg! Die Menge tobt! 5 minus 5 ergibt 0. Minus 5 ist die Gegenzahl von 5. Wenn man zu einer Zahl ihre Gegenzahl addiert, dann erhält man als Ergebnis 0. Wenn man eine positive Zahl hat und zu dieser Zahl ihre negative Gegenzahl addiert, dann erhält man stets 0. Genauso erhält man, wenn man zu einer negativen Zahl ihre positive Gegenzahl addiert, 0. Wanna greift zu der Tomate, an der sich auch schon Oswald versucht hat. Sie verrät den Zuschauern, dass sie die Tomate schrumpfen lassen wird. Sie schwingt ihren Zauberstab und - abrakadabra - schon hat sie eine kleine Cherrytomate in der Hand. Das Publikum flippt aus! Und wie viel wiegt die Tomate jetzt noch? 200 mal ein Zweihundertstel ergibt 1. Ein Zweihundertstel ist der Kehrwert von 200. Multipliziert man beide, erhält man als Produkt 1. Multipliziert man den Kehrwert einer Zahl mit dieser Zahl, dann erhält man stets 1. Bei einer Zahl x ist der Kehrwert immer 1 geteilt durch x. Denn wenn man das dann multipliziert, erhält man 1. Völlig niedergeschlagen trottet Oswald der Zauberer nach Hause. Würde er doch nur Zauberkunststücke beherrschen, die das Publikum sehen will?

7 Kommentare
  1. Ssssssssüüüüüüüüüüüüüüßßßßßßßßßßß

    Von Lenya, vor etwa einem Monat
  2. Es hat Spaß gemacht und ich habe wider was dazu Gelernt 😎

    Von Leonie, vor mehr als einem Jahr
  3. Zum Schluss war es sehr gemein ,aber das Video an sich hat mir sehr gefallen ein super Lob von mir aber der das erzählt hat,hat mir nicht gefallen

    Von Tennisprofi , vor mehr als 3 Jahren
  4. Ein sehr hilfreiches viedio wenn man immoment das thema in mathe hatt

    Von Ripperda, vor fast 4 Jahren
  5. thx

    Von Yiren Y., vor fast 4 Jahren
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