Terme und Gleichungen

Was ist ein Term?

Eventuell hast du schon mal den Satz „Stelle einen Term auf.“ gehört. Aber was ist ein Term eigentlich? Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck, in dem

• Zahlen,
• Variablen,
• Rechenzeichen und/oder
• Klammern vorkommen können.

In einem Term kommen KEINE Relationszeichen ($=$, $>$, $\ge$, $<$, $\le$) vor.

Oben wurde gesagt, dass der Rechenausdruck „sinnvoll“ sein muss, damit es sich um einen Term handelt. Um das genauer zu verstehen, siehst du im Folgenden ein paar Beispiele für nicht sinnvolle Ausdrücke.

Beispiele für Ausdrücke, die kein Term sind

• Ein Rechenzeichen ohne Zahlen oder Variablen ist kein Term. Beispielsweise ist $+$ kein Term.
• $3-$ ist kein Term, da hinter dem Rechenzeichen $-$ eine Zahl oder eine Variable stehen muss, damit sich der Wert des Terms berechnen lässt.
• $3+5 = 8$ ist kein Term, sondern eine Gleichung, die aus Termen besteht.

Beispiele für Terme

Hier siehst du nun Beispiele für Rechenausdrücke, die Terme sind:

• Jede Zahl ist ein Term. Beispielsweise sind $4$ oder $9$ Terme. Auch $-3$ ist ein Term, da das Minuszeichen hier als Vorzeichen genutzt wird.
• Eine Variable, wie $x$ oder $z$, ist ein Term.
• $y+8$ ist ein Term. Er besteht aus der Variablen $y$, dem Rechenzeichen $+$ und der Zahl $8$. Wenn du, zum Beispiel, für $y=2$ einsetzt, erhältst du $10$. Das ist der Wert des Terms.

Nun hast du bereits eine Menge über Terme gelernt. Jetzt siehst du, was man mit Termen machen kann.

Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, in der die Gleichheit zweier Terme untersucht wird. Links und rechts von dem Gleichheitszeichen steht jeweils ein Term. Allgemein ausgedrückt gilt also Term$_L=$ Term$_R$.

Beispiele für Gleichungen

$4+5=9$ ist eine Gleichung. Du rechnest die Summe der Zahlen $4$ und $5$ aus und erhältst als Ergebnis die Zahl $9$. Dies ist eine wahre Aussage.

Nicht jede Gleichung muss wahr sein. Schau dir beispielsweise $4+5=10$ an. Dies ist ebenfalls eine Gleichung, jedoch ist sie falsch oder unwahr.

In einer Gleichung können auch Variablen vorkommen. Das siehst du zum Beispiel bei der Gleichung $4+x=9$.

Wenn in einer Gleichung eine Variable vorkommt, ist es üblicherweise das Ziel, einen Wert (oder mehrere) für diese Variable zu finden, sodass die Gleichung zu einer wahren Aussage wird. Du suchst also nach einer Lösung der Gleichung.

Verschiedene Gleichungen

Man kann Gleichungen verschiedenen Kategorien zuordnen. Je nachdem, welcher Art eine Gleichung ist, gibt es verschiedene Arten, diese zu lösen.

Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung kannst du in die Form $m\cdot x+n=0$ bringen. Dabei muss $m\neq 0$ gelten. Eine Gleichung ist linear, wenn die Variable (hier $x$) mit dem Exponenten $1$ (dieser wird oft nicht aufgeschrieben, aber es gilt $x=x^{1}$) vorkommt.

Eine solche Gleichung löst du durch Äquivalenzumformungen:

• Subtrahiere auf beiden Seiten $n$. Das führt zu $m\cdot x={-n}$.
• Dividiere nun durch $m$. So erhältst du $x={-\frac nm}$.

Wenn mehrere lineare Gleichungen mit vorliegen, spricht man von einem linearen Gleichungssystem.

Quadratische Gleichungen

In einer quadratischen Gleichung der Form $ax^{2}+bx+c=0$ ist der höchste Exponent der Variablen $2$. Eine quadratische Gleichung kannst du mit der p-q-Formel oder der Mitternachtsformel lösen. Diese wird auch a-b-c-Formel genannt.

Bruchgleichungen

In einer Bruchgleichung kommt ein Bruchterm vor. In einem Bruchterm kommt die Variable (auch) im Nenner vor. Ein Beispiel für eine Bruchgleichung ist $\frac1x=0,25$. Du kannst eine solche Gleichung auf verschiedene Arten lösen. Zum Beispiel kannst du mit der Variablen multiplizieren und erhältst dann $1=0,25\cdot x$. Teile noch durch $0,25$. Das ergibt $x=4$. Wenn du also für $x$ den Wert $4$ einsetzt, führt dies zu der wahren Aussage $\frac14=0,25$. ✓

Potenz- und Wurzelgleichungen

In Potenzgleichungen kommt die Variable in der Basis einer Potenz vor. Schau dir hierfür das Beispiel $x^{3}=27$ an. Gesucht ist also ein Wert für $x$, welcher mit $3$ potenziert $27$ ergibt. Wenn du zufällig weißt, dass $3^{3}=27$ ist, hast du die Lösung gefunden. Im Allgemeinen musst du die entsprechende Wurzel ziehen. Es gilt $x=\sqrt[3]{27}=3$.

In Wurzelgleichungen kommt die Variable unter einer Wurzel vor. In diesem Fall musst du potenzieren. Gegebenenfalls musst du zunächst die Wurzel mit der Variablen isolieren. Schau dir beispielsweise $\sqrt{x}+3=8$ an. Subtrahiere erst einmal $3$. So erhältst du $\sqrt{x}=5$. Nun kannst du quadrieren und erhältst $x=25$.

Exponential- und Logarithmusgleichungen

Wie der Name bereits vermuten lässt, kommt in Exponentialgleichungen die Variable im Exponenten einer Potenz vor. Hier kannst du nicht die Wurzel ziehen. Du musst logarithmieren.

Bei Logarithmusgleichungen kommt die Variable als Argument des Logarithmus vor. Je nachdem, welcher Logarithmus vorliegt, verwendest du die entsprechende Umkehrung.

Trigonometrische Gleichungen

Dies sind Gleichungen mit Sinus und Cosinus. Dabei muss die Variable als Argument einer trigonometrischen Funktion vorkommen.