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Eigenschaften von Ungleichungen

Erfahre, was Ungleichungen sind und warum Krokodile sie verwenden. Lerne die Grundprinzipien sowie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Termen in Ungleichungen kennen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Was ist eine Ungleichung?

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Eigenschaften von Ungleichungen
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Grundlagen zum Thema Eigenschaften von Ungleichungen

Ungleichungen in Mathe

Jakob hat in Tansania etwas Erstaunliches beobachtet: Krokodile wählen zum Mittagessen immer die größere Gazelle aus, wenn sie zwei zur Auswahl haben. Jakob denkt, dass Krokodile deswegen ganz sicher etwas über Ungleichungen wissen müssen. Aber ... was ist eine Ungleichung eigentlich?

Gleichungen kennst du ganz bestimmt. Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die gleich sind. Das wird mit einem Gleichheitszeichen angezeigt. Eine Ungleichung besteht dagegen, wie der Name schon vermuten lässt, aus zwei Termen, die ungleich sind. Das wollen wir uns im Folgenden etwas näher anschauen.

Eigenschaften von Ungleichungen

Wir betrachten zunächst das Krokodil an der Wasserstelle. Es hat zwei Gazellen zur Auswahl. Eine der Gazellen wiegt 45 kg45~\text{kg} und die andere Gazelle wiegt 53 kg53~\text{kg}. Das Krokodil entscheidet sich für die zweite Gazelle, weil sie schwerer ist, also ein größeres Gewicht besitzt. Als Ungleichung aufgeschrieben sieht das so aus: 45<5345 < 53.

Ungleichungen Erklärung

Das Zeichen << nennt man Vergleichszeichen oder Relationssymbol. Es gibt an, in welchem Verhältnis die beiden Terme stehen. Du kannst es entweder lesen als 4545 ist kleiner als 5353 oder als 5353 ist größer als 4545.

Addition von Termen

Was passiert, wenn das Krokodil einen Monat wartet und beide Gazellen 10 kg10~\text{kg} zunehmen? Ist dann die zweite immer noch schwerer als die erste?

Wir addieren auf beiden Seiten der Ungleichung 1010:

45+10<53+1045 + 10 < 53 +10

55<63\Rightarrow 55 < 63

Das ist eine wahre Aussage, denn 6363 ist größer als 5555. Bei der Addition ändert sich das Relationssymbol also nicht.

Subtraktion von Termen

In der Trockenzeit nehmen die Gazellen normalerweise ab. Was ist, wenn beide Gazellen je 3 kg3~\text{kg} abnehmen? Dann müssen wir auf beiden Seiten 33 subtrahieren:

553<63355-3 < 63-3

52<60\Rightarrow 52 < 60

Das ist eine wahre Aussage. Also ändert sich das Relationssymbol auch bei der Subtraktion von Termen nicht.

Division und Multiplikation mit positiven Zahlen

Was passiert, wenn die Gazellen noch weiter abnehmen – und zwar so viel, dass sie jeweils nur noch drei Viertel ihres Gewichts haben? Dann müssen wir auf beiden Seiten der Ungleichung mit 34\frac{3}{4} multiplizieren:

3452<3460\frac{3}{4} \cdot 52 < \frac{3}{4} \cdot 60

3524<3604\Rightarrow \frac{3\cdot52}{4} < \frac{3\cdot 60}{4}

39<45\Rightarrow 39 < 45

Das ist eine wahre Aussage. Bei der Multiplikation und Division mit positiven Zahlen ändert sich das Relationssymbol also nicht.

Multiplikation mit negativen Zahlen

Schauen wir uns an, was mit der Ungleichung passiert, wenn wir auf beiden Seiten mit (1)(-1) multiplizieren:

(1)39<?(1)45(-1) \cdot 39 \stackrel{?}{<} (-1) \cdot 45

Das ist keine wahre Aussage, denn 39-39 ist nicht kleiner als 45-45:

3945-39 \nless -45

Das siehst du, wenn du dir die Zahlen auf dem Zahlenstrahl anschaust. Die Zahl 45-45 liegt weiter links als die Zahl 39-39, ist also kleiner. Damit eine wahre Aussage entsteht, müssen wir also das Relationszeichen umdrehen:

39>45-39 > -45

Wenn wir eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren, müssen wir das Relationszeichen umdrehen.

Division durch negative Zahlen

Schauen wir uns noch ein Beispiel an. Dieses Mal betrachten wir die folgende Ungleichung:

4<6-4 < 6

Wir dividieren auf beiden Seiten durch 2-2:

4:(2)<?6:(2)-4:(-2) \stackrel{?}{<} 6:(-2)

23\Rightarrow 2 \nless -3

Das ist keine wahre Aussage, denn 3-3 ist kleiner als 22. Damit es eine wahre Aussage wird, müssen wir das Relationszeichen umdrehen:

2>32 > -3

Auch bei der Division durch negative Zahlen muss also das Relationszeichen umgedreht werden.

Ungleichungen Mathe, negative Zahlen

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Ungleichungen – Zusammenfassung

Die wichtigsten Eigenschaften fassen wir noch einmal in einer Tabelle zusammen.

Rechenoperation für a<ba \lt b und c>0c \gt 0gilt Vergleichszeichen
Addition eines Terms a+c<b+ca+c \lt b+c beibehalten
Subtraktion eines Terms ac<bca-c \lt b-c beibehalten
Multiplikation mit einer positiven Zahl ac<bca \cdot c \lt b \cdot c beibehalten
Division durch eine positive Zahl a:c<b:ca : c \lt b : c beibehalten
Multiplikation mit einer negativen Zahl a(c)>b(c)a \cdot (-c) \gt b \cdot (-c) umdrehen
Division durch eine negative Zahl a:(c)>b:(c)a : (-c) \gt b : (-c) umdrehen

Über das Video Eigenschaften von Ungleichungen

In diesem Video werden dir Ungleichungen einfach erklärt. Du erfährst, welche Arten es gibt und was der Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Ungleichung ist. Neben Text und Video findest du interaktive Übungen, mit denen du dein neues Wissen gleich testen kannst.

Transkript Eigenschaften von Ungleichungen

Jakob arbeitet als Fährtenleser in Tansania. Sein Spezialgebiet sind Krokodile. Bei seinen Beobachtungen hat er bemerkt, dass Krokodile, die fürs Mittagessen zwei Antilopen zur Auswahl haben, sich immer die größere aussuchen. Da das Krokodil sich immer für die größere Antilope entscheidet, muss es – Jakobs Meinung nach – Ungleichungen und ihre Eigenschaften verstehen. Vereinfacht sieht Jakob Folgendes: Jakob schätzt die kleinere Antilope auf 45 kg und die größere auf um die 53 kg. Mathematisch können wir das mit einem Vergleichszeichen, auch bekannt als Relationssymbol, ausdrücken, denn 45 ist kleiner als 53. Nicht vergessen: Kleiner- als- bzw. Größer-als-Zeichen sind immer zur größeren Zahl hin geöffnet, so, wie das Krokodil sein Maul in Richtung der fetteren Beute aufreißt. Im Moment herrscht in der Savanne Regenzeit und die Vegetation sprießt üppig. Weil es reichlich Futter gibt, haben die Antilopen jeweils 10 kg zugelegt. Vereinfacht sehen wir, dass 55 kleiner als 63 ist. Das ist die Regel zur Addition von Termen. Wir ändern hier das Vergleichssymbol nicht, weil wir auf beiden Seiten den gleichen Wert addiert haben. In der Trockenzeit verlieren die Antilopen aber jeweils 3 kg. Hier gilt die Regel zur Subtraktion von Termen. Das Kleiner-als-Zeichen bleibt auch hier richtig, weil wir von beiden Seiten den gleichen Wert abziehen. Oh je! Die Trockenzeit scheint gar kein Ende zu nehmen. Die Antilopen haben jetzt noch ein Viertel ihres Gewichts verloren, wiegen also nur noch drei Viertel ihres ursprünglichen Gewichts. Wir können also beide Seiten der Ungleichung mit drei Vierteln multiplizieren. Das kann man auch schreiben als 3 mal 52 geteilt durch 4 ist kleiner als 60 mal 3 geteilt durch 4. Wir können die Rechnung vereinfachen, indem wir jede Seite durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividieren. Der GGT von 52 und 4 ist 4 und der GGT von 60 und 4 ist ebenfalls 4. Dank der größten gemeinsamen Teiler sieht die Rechnung doch schon viel einfacher aus. Die Ungleichung lässt sich weiter vereinfachen zu 39 ist kleiner als 45. Das ist die Regel zur Multiplikation und Division mit positiven Zahlen. Das Kleiner-als-Zeichen ist gleich geblieben, weil wir beide Seiten der Ungleichung mal 3 genommen und durch 4 geteilt haben. Schauen wir uns diese Ungleichung auf einem Zahlenstrahl an. Wir wissen, dass 39 kleiner als 45 ist. Außerdem wissen wir, was passiert, wenn wir mit positiven Zahlen multiplizieren oder durch positive Zahlen dividieren. Was passiert aber, wenn wir beide Seiten einer Ungleichung mit minus 1 multiplizieren? Was, minus 39 soll kleiner sein als minus 45? Kann das stimmen? Auf dem Zahlenstrahl sehen wir, dass minus 39 in Wahrheit größer ist als minus 45. Was können wir also tun, um diese Aussage wahr zu machen? Ganz klar, wir drehen das Vergleichszeichen um! Für die Multiplikation mit negativen Zahlen gilt also: Wenn man eine Zahl mit einer negativen Zahl multipliziert, erhält man eine Gegenzahl auf der anderen Seite der Null auf dem Zahlenstrahl. Nicht vergessen: Wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst, musst du das Vergleichszeichen umdrehen. Wir können eine Gegenprobe machen, indem wir die Aussage als Frage formulieren: Ist minus 39 größer als minus 45? Ja, das stimmt. Die Aussage unserer Ungleichung ist also wahr. Schauen wir uns eine andere Aufgabe an. Wir haben zwei Zahlen: minus 4 und plus 6. Wir können sagen, dass minus 4 kleiner als 6 ist. Aber was passiert, wenn wir beide Seiten durch minus 2 teilen? Die Vorzeichen der Zahlen ändern sich und ihre Beträge halbieren sich. Minus 4 geteilt durch minus 2 ergibt 2 und 6 geteilt durch minus 2 ergibt minus 3. Da sich die Vorzeichen unserer Zahlen geändert haben, müssen wir auch das Vergleichszeichen umdrehen. So lautet die Regel für die Division durch negative Zahlen. Als Gegenprobe lesen wir die Aussage als Frage: Ist 2 größer als minus 3? Ja, das stimmt. Hurra! Wow, das war eine Menge Stoff, also fassen wir besser noch mal zusammen. Wenn wir auf beiden Seiten einer Ungleichung die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren, bleibt das Vergleichszeichen gleich. Wenn wir beide Seiten mit der gleichen positiven Zahl multiplizieren oder durch die gleiche positive Zahl dividieren, verändert sich das Vergleichszeichen ebenfalls nicht. Wenn wir aber die beiden Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren, müssen wir das Vergleichszeichen umkehren. Schauen wir noch mal, was Jakob macht. Hm, offenbar hat das Krokodil kein Interesse mehr an diesen ausgehungerten Antilopen. Moment mal, wen starrt das Krokodil denn so an?

4 Kommentare
  1. OH JEA JACOB IS BIGGER THAT WHY

    Von Sumeya ❣️, vor 4 Monaten
  2. 👍🏻 ;)

    Von Hanna , vor etwa 3 Jahren
  3. MINA MINA

    Von Larissa P., vor etwa 4 Jahren
  4. 🥇

    Von Yiren Y., vor etwa 5 Jahren

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