Was sind lineare Ungleichungen?

Was sind lineare Ungleichungen? Übung

• Beschreibe, wie du die angegebene Ungleichung nach $x$ auflösen kannst.

  Tipps

  Ziel der Umformung ist es wie bei Gleichungen, nur $x$ auf einer Seite und Zahlen auf der anderen Seite der Ungleichung zu haben.

  Zum Abschluss einer solchen Aufgabe machst du noch eine Probe, um deine Lösung und somit deine Lösungsmenge zu verifizieren.

  Lösung

  Um die folgende Ungleichung

  $x + (x+1) + (x+2) < 45$

  nach $x$ aufzulösen, fasst du alle passenden Terme und Zahlen zusammen.

  $3x + 3<45$

  Jetzt bringst du die 3 auf die rechte Seite, indem du auf beiden Seiten $-3$ rechnest und bekommst dann:

  $3x<42$.

  Zum Schluss teilst du noch durch $3$ auf beiden Seiten und hast dann:

  $ x < 14$.

  Mit einer Probe überprüfst du dann deine Umformung, beispielsweise setzt du $x = 13$ in deine Ungleichung ein und erhältst

  $13 + (13+1) + (13+2) = 13+14+15 = 42 < 45$,

  was eine richtige Aussage ist.

  Mit $x = 14$ erhältst du allerdings

  $14+15+16 = 45 < 45$,

  was falsch ist.

  Damit kannst die Lösungsmenge angeben:

  $L=\{ x \in \mathbb{N} | x<14\}$.

  Mit einem Zahlenstrahl kannst du die Lösungsmenge grafisch darstellen.

• Schildere, wie du Ungleichungen richtig umformen kannst.

  Tipps

  Addiere und subtrahiere gleiche Terme zusammen.

  Teile auf beiden Seiten der Ungleichung durch die Zahl vor dem $x$.

  Beachte: Falls durch eine negative Zahl geteilt wird, dreht sich das Relationszeichen um.

  Lösung

  Beim Umformen von Ungleichungen solltest du zuerst wie bei Gleichungen schauen, ob alle Zahlen in Abhängigkeit von $x$ auf der einen Seite sind und alle Zahlen auf der anderen Seite der Ungleichung stehen.

  1. Wir betrachten die folgende Ungleichung:

  $-5x < 15$.

  Methode 1: Unsere Ungleichung ist also schon in der richtigen Form. Dann musst du $:(-5)$ auf beiden Seiten rechnen und erhältst:

  $-5x < 15 \Leftrightarrow x > -3$.

  Der Grund für das Umdrehen des Relationszeichens ist das Teilen durch eine negative Zahl. Daraus bekommst du als Lösungsmenge:

  $L=\{x\in \mathbb{N} |x>-3\}$.

  Methode 2: Du könntest aber auch die Ungleichung so umformen, dass du das Teilen durch eine negative Zahl vermeidest:

  $-5x < 15 \Leftrightarrow -15 < 5x$.

  Dann müsstest du nur noch $: 5$ rechnen und erhältst:

  $-15 < 5x \Leftrightarrow -3 < x$.

  So erhältst du die gleiche Lösungsmenge wie oben:

  $L=\{x\in \mathbb{N} |x>-3\}$.

  Mit einer Probe kannst du dein Ergebnis kontrollieren. Setzt du beispielsweise $x = -2$ in deine Ungleichung ein, so erhältst du

  $-5 \cdot -2 = 10 < 15$,

  was richtig ist.

  Falls du aber $x = -3$ in deine Ungleichung einsetzt, erhältst du

  $-5 \cdot -3 = 15 <15$,

  was eine falsche Aussage ist.

  2. Analog geht es für die zweite Aufgabe:

  $\begin{align} && x + (x+1) + (x+2) &< 45 \\ &\Leftrightarrow& 3x + 3&< 45 &|& \text{ gleiche Terme addieren}\\ &\Leftrightarrow& x &< 14 &|& -3~|:3 \\ &\Rightarrow& L&=\{ x \in \mathbb{N} | x<14\} \end{align}$

  Für eine Probe kannst du $x = 13$ einsetzen und erhältst:

  $13 + (13+1) + (13+2) = 13 + 14 + 15 = 42 < 45$,

  was eine richtige Aussage ist. Mit $x = 14$ erhältst du allerdings eine falsche Aussage, denn:

  $14 + 15 + 16 = 45$ ist nicht kleiner, sondern gleich $45$.

• Ordne den Ungleichungen die passenden Lösungsmengen in $\mathbb{N}$ zu.

  Tipps

  Löse erst die Ungleichung nach $x$ auf, indem du die Zahlen auf die eine Seite und die Variablen auf die andere Seite der Ungleichung schreibst. Dann teilst du noch durch die Zahl vor dem $x$ und bekommst eine Abschätzung für $x$.

  Erstelle zum Schluss eine Probe: Alle angegebenen $x$ in der Lösungsmenge müssen die Ungleichung erfüllen.

  Lösung

  1. Für die erste Ungleichung, formst du sie einzeln um und schreibst dann die passende Lösungsmenge auf:

  Um

  $x+(x-2)<8$

  nach $x$ aufzulösen, wendest du zuerst das Assoziativgesetz an und erhältst:

  $(x+x)-2<8$.

  Jetzt rechnest du in der Klammer die $x$ zusammen und bekommst:

  $2x-2<8$.

  Nachdem du $+2$ auf beiden Seiten gerechnest hast, folgt:

  $2x<10$.

  Um die $2$ vor dem $x$ wegzubekommen, rechnest du $:2$ und das ergibt:

  $x<5$.

  Daraus folgt:

  $L=\{x \in \mathbb{N} | x<5\}$.

  Für die nächsten Ungleichungen gehst du analog vor:

  $\begin{align} &2.& 4x-5x+3&>1 &|& \text{ Termumformung} \\ &\Leftrightarrow& -x + 3 &> 1 \quad &|& -3 \\ &\Leftrightarrow& -x &> -2 \quad &|& :(-1) \\ &\Leftrightarrow& x &< 2 \\ &\Rightarrow& L&=\{ x \in \mathbb{N} | x<2\} \end{align}$

  $\begin{align} &3.& x+(x-1)+(2-x) &\leq 8 &|& \text{ Termumformung} \\ &\Leftrightarrow& (x+x-x)+(-1+2) &\leq 8 &|& \text{ Termumformung} \\ &\Leftrightarrow& x+1 &\leq 8 &|& -1 \\ &\Rightarrow& L&=\{x \in \mathbb{N} | x \leq 7\} \end{align}$

  $\begin{align} &4.& -3x&<6 &|& :(-3) \\ &\Leftrightarrow& x&>-2 \\ &\Rightarrow& L&=\{ x \in \mathbb{Z} | x>-2\} \end{align}$

• Bestimme die Anzahl der Lösungen in den natürlichen Zahlen der gegebenen Ungleichungen.

  Tipps

  Löse erst die Ungleichung separat nach $x$ auf und stelle dir dann die Lösungen auf dem Zahlenstrahl vor.

  Schau dir dann an, wie viele natürliche Zahlen in die Lösungsmenge passen.

  Lösung

  1. Für die folgende Ungleichung:

  $4x - 3 \leq 1$

  erhältst du nachdem du auf beiden Seiten $+3$ rechnest:

  $4x \leq 4$.

  Jetzt musst du nur noch $:4$ auf beiden Seiten rechnen und du bekommst:

  $x \leq 1$.

  Daraus folgt die Lösungsmenge:

  $L=\{ x \in \mathbb{N} | x \leq 1\}$.

  Da die natürlichen Zahlen von 0 bis unendlich gehen, kannst du in deine Lösungsmenge nur zwei natürliche Zahlen einsetzen.

  Für die nächsten Ungleichungen gehst du ganz analog zur ersten Ungleichung vor.

  $\begin{align} &2.& x+(x+2)+(1-3x) &\geq 1 &|& \text{ Termumformung} \\ &\Leftrightarrow& -x+3 &\geq 1 &|& -3 \\ &\Leftrightarrow& -x &\geq -2 &|&: (-1) \\ &\Leftrightarrow& -x &\leq 2 \\ &\Rightarrow& L&=\{x \in \mathbb{N} | x \leq 2\}=\{0;1;2\} \end{align}$

  $\begin{align} &3.& 2x - 4 &\leq 8 &|& +4 \\ &\Leftrightarrow& -2x &\leq 12 &|& :2 \\ &\Leftrightarrow& -x &\leq 6 \\ &\Rightarrow& L&=\{x \in \mathbb{N} | x \leq 6\} = \{0;1;2;3;4;5;6\} \end{align}$

  $\begin{align} &4.& x+(4-3x) &> -12 &|& \text{ Termumformung} \\ &\Leftrightarrow& -2x +4 &> -12 &|& -4 \\ &\Leftrightarrow& -2x &> -16 &|& :(-2) \\ &\Leftrightarrow& -x&<8 \\ &\Rightarrow& L&=\{x \in \mathbb{N} | x<8\} = \{0;1;2;3;4;5;6;7\} \end{align}$

  Die Ungleichungen haben also $2$, $3$, $7$ bzw. $8$ Lösungen in den natürlichen Zahlen. Nach der Anzahl der Lösungen kannst du die Ungleichungen sortieren.

• Ergänze die Eigenschaften und Regeln von Ungleichungen.

  Tipps

  Du benutzt beim Umformen von Ungleichungen die gleichen Schritte wie Gleichungen bis auf eine Ausnahme.

  Beim Multiplizieren und Dividieren von negativen Zahlen musst du allerdings vorsichtig sein.

  Beim Multiplizieren und Dividieren mit 0 musst du eine Regel beachten, die auch für Gleichungen gilt.

  Lösung

  Für das Umformen von Ungleichungen benutzt du einige Regeln, die auch für Gleichungen gelten. Du addierst oder subtrahierst gleiche Terme bzw. multiplizierst und dividierst dieselbe Zahl jeweils auf beiden Seiten der Gleichung. Jeder Schritt ist eine Äquivalenzumformung.

  Das Multiplizieren und Dividieren mit 0 ist aber nicht möglich. Außerdem gibt es noch eine andere Ausnahmeregel, die du beachten musst. Das Relationszeichen dreht sich beim Multiplizieren und Dividieren mit einer negativen Zahl.

  Zum Abschluss solltest du noch deine Lösung mit Hilfe einer Probe kontrollieren. Das Ergebnis gibst du dann durch die zugehörige Lösungsmenge an. Dann kannst du deine Lösung noch mit einer Zahlengerade graphisch darstellen, um dir das bildlich vorzustellen.

• Bestimme die richtige Ungleichung und passende Lösungsmenge zur gegebenen Aufgabe.

  Tipps

  Die erste und kleinste dieser vier natürlichen Zahlen nennst du $x$.

  Dann musst du deine aufgestellte Ungleichung nach $x$ auflösen und deine Lösungsmenge angeben.

  Mache zum Schluss eine Probe, um dein Ergebnis zu überprüfen.

  Lösung

  Du bezeichnest die erste und kleinster Zahl der natürlichen Zahlen mit $x$. Damit lauten die vier aufeinanderfolgenden Zahlen $x$, $x+1$, $x+2$ und $x+3$. Da deren Summe kleiner als 66 sein soll, erhältst du die Ungleichung:

  $x+(x+1)+(x+2)+(x+3) < 66$.

  Mit Zusammenfassen bekommst du:

  $4x + 6 < 66$.

  Nun rechnest du $-6$ auf beiden Seiten:

  $4x<60$.

  Jetzt musst du nur noch $:4$ rechnen und daraus folgt dann:

  $x<15$.

  Zusammen ergibt das die Lösungsmenge:

  $L=\{x \in \mathbb{N}|x<15\}$.

  Mit einer Probe kannst du dann dein Ergebnis überprüfen.

  Beispielsweise für $x = 14$ erhalten wir:

  $14+15+16+17 = 62 < 66$.

  Für $x=15$ erhältst du eine Zahl, die nicht kleiner als 66 ist, denn $15+16+17+18 = 66$. Damit hast du richtig umgeformt.