Lösen von linearen Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen – Übung

Lösen von linearen Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen – Übung Übung

• Bestimme mit Hilfe von Äquivalenzumformungen die Lösungsmenge, die die Ungleichung erfüllt.

  Tipps

  Löse die Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen so auf wie Gleichungen. Dabei gibt es nur einige Ausnahmeregeln, die du beachten solltest.

  Du solltest versuchen alle Terme mit $x$ auf die eine Seite der Ungleichung und alle Zahlen auf die andere Seite der Ungleichung zu bringen.

  Dann teilst du noch auf beiden Seiten der Ungleichung durch die Zahl vor dem $x$.

  Du musst beachten, dass sich beim Multiplizieren oder Dividieren auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl das Relationszeichen der Ungleichung dreht.

  Lösung

  Du musst alle Terme mit $x$ auf die eine Seite der Ungleichung und alle Zahlen auf die andere Seite der Ungleichung bringen. Dann teilst du noch auf beiden Seiten der Ungleichung durch die Zahl vor dem $x$.

  1. Für die erste Ungleichung

  $5x + 2 > 4x + 6$

  rechnest du zuerst $-4x$ auf beiden Seiten der Ungleichung und erhältst

  $x + 2 > 6$.

  Jetzt musst du nur noch $-2$ auf beiden Seiten rechnen und bekommst:

  $x > 4$.

  So hast du mit Äquivalenten Umformungsschritten die Ungleichung nach $x$ umgestellt. Du erhältst:

  $\mathbb{L}=\{ x | x > 4 \}$

  Um dein Ergebnis zu überprüfen, kannst du beispielsweise $x = 5$ setzen und das ergibt:

  $5 \cdot 5 + 2 = 27 > 26 = 4 \cdot 5 + 6$.

  Damit siehst du, dass du richtig gerechnet hast.

  2. Für die nächste Ungleichung geht es analog:

  $\begin{array}{lllll} & -4x + 13 & < & -2x + 5 & | +2x \\ \Leftrightarrow & -2x + 13 & < & 5 &| -13 \\ \Leftrightarrow & -2x & < & -8 & | :(-2) \\ \Leftrightarrow & x & > & 4 & \end{array}$

  Achtung: Beim Dividieren mit $(-2)$ dreht sich das Relationszeichen.

  Probe mit $x=5$:

  $-4 \cdot 5 + 13 = -7 < -5 = -2 \cdot 5 + 5$. Das ist richtig.

  Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{ x | x > 4 \}$.

• Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung.

  Tipps

  Löse die Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen so auf wie Gleichungen. Dabei gibt es nur einige Ausnahmeregeln, die du beachten solltest.

  Du solltest versuchen alle Terme mit $x$ auf die eine Seite der Ungleichung und alle Zahlen auf die andere Seite der Ungleichung zu bringen.

  Dann teilst du noch auf beiden Seiten der Ungleichung durch die Zahl vor dem $x$.

  Du musst beachten, dass sich beim Multiplizieren oder Dividieren auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl das Relationszeichen der Ungleichung dreht.

  Lösung

  Du musst alle Terme mit $x$ auf die eine Seite der Ungleichung und alle Zahlen auf die andere Seite der Ungleichung bringen.

  Für die Ungleichung

  $5 \cdot (3x+2)>3 \cdot(5x+4)$

  löst du zunächst mit Hilfe des Distributivgesetzes auf beiden Seiten der Ungleichung die Klammern auf und erhältst

  $5 \cdot 3x + 5 \cdot 2 > 3 \cdot 5x + 3 \cdot 4$.

  Das ergibt dann zusammengerechnet

  $15x + 10 > 15x + 12$.

  Nun rechnest du noch $-10$ auf beiden Seiten der Ungleichung und bekommst

  $15x > 15x + 2$,

  was offensichtlich eine falsche Aussage ist.

  Daher ist die Lösungsmenge nur die leere Menge. Also gilt $\mathbb{L} = \{\}$.

• Arbeite mit Hilfe von Äquivalenzumformungen heraus, welche Ungleichungen zu den gegebenen Lösungsmengen passen.

  Tipps

  Löse die Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen so auf wie Gleichungen. Dabei gibt es nur einige Ausnahmeregeln, die du beachten solltest.

  Du solltest versuchen alle Terme mit $x$ auf die eine Seite der Ungleichung und alle Zahlen auf die andere Seite der Ungleichung zu bringen.

  Dann teilst du noch auf beiden Seiten der Ungleichung durch die Zahl vor dem $x$.

  Beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl dreht sich das Relationszeichen genauso wie beim Dividieren mit einer negativen Zahl.

  Lösung

  1. Als Erstes schaust du dir die Lösungsmenge

  $\mathbb{L}=\{ x \in \mathbb{R} | x>0,5\}$

  an und startest mit

  $0,5 < x$,

  was offensichtlich äquivalent (durch Multiplikation mit 10) ist zu

  $5 < 10x$.

  Wenn du jetzt noch auf beiden Seiten der Ungleichung $-2$ rechnest, erhältst du

  $3 < 10x - 2$.

  Eine nahrhafte Null auf der linken Seite (also das Addieren und Subtrahieren von $x$) ändert nichts an dem Wert der Ungleichung. Genauso kannst du auf der rechten Seite eine 2 ausklammern. Damit bekommst du

  $x + (3-x) < 2 \cdot (5x-1)$.

  2. Für die nächste Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x \in \mathbb{R} | x>-1\}$ gehst du analog vor:

  $\begin{array}{lllll} & x & > & -1 & | \cdot 4 \\ \Leftrightarrow & 4x & > & -4 & | -5x \\ \Leftrightarrow & -x & > & -5x - 4 & | \text{ Termumformung} \\ \Leftrightarrow & 0,5 \cdot (2x - 4x) & > & -3x -(2x+4) & \end{array}$

  3. Bei der Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x \in \mathbb{R} | x>5\}$ erhalten wir:

  $\begin{array}{lllll} & x & > & 5 &| \cdot (-1) \\ \Leftrightarrow & -x & < & -5 & | +5x \\ \Leftrightarrow & 4x & < & 5x -5 &| \ \text{ Termumformung} \\ \Leftrightarrow & 2x \cdot (4-2) & < & 3x + (2x-5) & \end{array}$

• Bestimme die Lösungsmenge mit Hilfe von Äquivalenzumformungen.

  Tipps

  Löse die Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen so auf wie Gleichungen. Dabei gibt es nur einige Ausnahmeregeln, die du beachten solltest.

  Du solltest versuchen alle Terme mit $x$ auf die eine Seite der Ungleichung und alle Zahlen auf die andere Seite der Ungleichung zu bringen.

  Dann teilst du noch auf beiden Seiten der Ungleichung durch die Zahl vor dem $x$.

  Du musst beachten, dass sich beim Multiplizieren oder Dividieren auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl das Relationszeichen der Ungleichung dreht.

  Lösung

  1. Um die erste Ungleichung

  $x+(x-4)-(x+3) \geq x-8$

  nach $x$ aufzulösen, benutzt du zuerst das Assoziativgesetz für die linke Seite der Ungleichung und erhältst

  $(x+x-x)+(-4-3) \geq x-8$.

  Zusammengerechnet ergibt das dann

  $x-7 \geq x-8$,

  was für kein $x$ in den natürlichen Zahlen eine wahre Aussage ist. Daher ist die Lösungsmenge leer: $\mathbb{L}=\{\}$.

  Analog geht es dann für die nächsten Ungleichungen weiter:

  $\begin{align} &2.& x+5 \cdot (-x+3) & \leq x \cdot(-3+1)+x \\ &\Leftrightarrow& x-5x+15 & \leq -2x +x \\ &\Leftrightarrow&-4x +15 & \leq -x &|& +4x\\ &\Leftrightarrow& 15& \leq 3x &|& :3\\ &\Leftrightarrow& 5& \leq x \end{align}$

  Mit einer Probe kannst du dann dein Ergebnis überprüfen. Nimm beispielsweise $x = 5$: $5+5 \cdot (-5+3) = -5 = 5 \cdot (-3+1) + 5$, was eine wahre Aussage ergibt. Wir erhalten die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{ x | x \geq 5\}$.

  $\begin{align} &3.& x+(3x-2) - 4 & \leq x \cdot (2-3) +4x \\ &\Leftrightarrow& 4x -6 & \leq 3x &|& -4x\\ &\Leftrightarrow& -6 & \leq -x &|:& (-1)\\ &\Leftrightarrow& 6 & \geq x \end{align}$

  Für eine Probe unseres Ergebnisses kannst du dein Ergebnis prüfen und nimmst beispielsweise $x = 6$: $6 + (18-2)-4 = 18 = 6 \cdot (2-3) + 24$, was eine wahre Aussage ist. Wir erhalten daher die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x | x \leq 6\}$.

  $\begin{align} &4.& (-1+3) \cdot (2x-4) & \geq 5x-10 \\ &\Leftrightarrow& 4x-8 & \geq 5x -10 &|& -4x\\ &\Leftrightarrow& -8 & \geq x -10 &|& +10\\ &\Leftrightarrow& 2 & \geq x \end{align}$

  Probe mit beispielsweise $x = 2$:

  $(-1+3) \cdot (4-4) = 0 = 10-10$, was eine wahre Aussage ist. Daher erhalten wir die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x | x \leq 2\}$.

• Beschreibe Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen.

  Tipps

  Überlege dir, was du bei den einzelnen Rechenschritten zum Umformen von Ungleichungen beachten musst.

  Es gibt eine Extraregel beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl. Sonst lassen sich Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen so behandeln, wie bei Gleichungen.

  Was passiert, wenn du eine Gleichung mit 0 multiplizierst oder allgemein durch 0 teilst?

  Lösung

  1. Eine Äquivalenzumformung bei Ungleichungen (oder Ungleichungen) ist eine Umformung, bei der die Lösung einer Ungleichung (oder Gleichung) durch Operationen bzw. Rechenschritte unverändert bleibt.
  2. Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen sind ähnlich wie bei Gleichungen. Das Addieren und Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten ist erlaubt. Genau ist es erlaubt beide Seite mit einer Zahl zu multiplizieren oder durch eine Zahl zu dividieren.
  3. Bei Ungleichungen tritt eine Besonderheit auf. Falls du aber auf beiden Seiten der Ungleichung durch eine negative Zahl teilen möchtest oder beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizieren möchtest, dann musst du das Relationszeichen umdrehen. So wird zum Beispiel > zu < oder umgekehrt.
  4. Wie du schon von den dir bekannten Rechenregeln weißt, kannst du in der Mathematik nicht durch 0 teilen. Bei Äquivalenzumformungen von Ungleichungen kannst du aber auch nicht beide Seiten mit 0 multiplizieren.

• Bestimme mit Hilfe von Äquivalenzumformungen, welche Lösungsmenge die Aufgabe beschreibt.

  Tipps

  Stelle eine Ungleichung in Abhängigkeit von $x$ auf.

  Löse dann die Ungleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach $x$ auf.

  Nicht mehr als $20~€$ bedeutet maximal $20~€$ und du bekommst die Relation $\leq 20$.

  Die reinen Telefonkosten ohne Grundgebühr betragen in Euro $0,2\cdot x$.

  Du musst die Ungleichung $12+0,2\cdot x\leq 20$ lösen.

  Lösung

  Sei $x$ die gesuchte Anzahl an Minuten, die Susanne unter bestimmten Bedingungen monatlich telefonieren kann.

  Die Grundgebühr $(12~€)$ und die Anzahl der telefonierten Minuten multipliziert mit dem Preis pro Minute $(x \cdot 0,2~€)$ sollen zusammen kleiner oder gleich ihrem monatlichen Budget $(20~€)$ sein.

  Das heißt mathematisch:

  $12 + 0,2x \leq 20$.

  Diese Ungleichung löst du jetzt nach $x$ auf. Zunächst rechnest du $12$ auf beiden Seiten der Ungleichung und erhältst:

  $0,2x \leq 8$.

  Jetzt musst du nur noch $:0,2$ rechnen und bekommst:

  $x \leq 40$.

  Mit einer Probe kannst du dein Ergebnis prüfen. Nimm beispielsweise $x = 40$:

  $12 + 0,2 \cdot 40 = 12 +8 = 20$,

  was eine wahre Aussage ist. Daher erhältst du dann die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{x | x \leq 40\}$.

  Susanne kann also höchstens $40~min$ im Monat telefonieren.