Ungleichungen in zwei Schritten lösen

Ungleichungen in zwei Schritten lösen Übung

• Stelle die gesuchte Ungleichung auf.

  Tipps

  $x$ ist die Anzahl aller Katzen. Weil zwei Katzen Vegetarier sind, gibt es $x-2$ Katzen, die Fisch fressen.

  Das Wort „mindestens“ bedeutet hier: Jede Katze, die keine Vegetarierin ist, frisst eine Dose Fisch pro Tag oder mehr als eine Dose Fisch.

  Lösung

  Wir möchten die Gesamtanzahl der Katzen mit der Variable $x$ modellieren.
  Wir wissen, dass genau zwei Katzen keinen Fisch essen. Daher ist die Anzahl der Katzen, die Fisch essen, $x-2$.
  Diese $x-2$ Katzen haben also die $50$ Dosen Fisch in $5$ Tagen gegessen.
  Da wir wissen, dass jede Katze mindestens eine Dose Fisch pro Tag ist, kann die Anzahl der Tage, also $5$, multipliziert mit der Anzahl der Katzen, die Fisch essen, also $(x-2)$, höchstens $50$ ergeben.
  Wenn wir das in eine mathematische Gleichung übersetzen, ergibt sich:

  $(x-2) \cdot 5 \leq 50$

• Berechne die Unbekannte $x$.

  Tipps

  Wenn auf einen Term der Form $(a-b) \cdot c$ das Distributivgesetz angewendet wird, ergibt sich $(a-b) \cdot c=a \cdot c - b \cdot c$.
  Für den Term $(x-3) \cdot 6$ ergibt sich demnach zum Beispiel $(x-3) \cdot 6= x \cdot 6 - 3 \cdot 6= 6x -18$.

  Um das $x$ auf einer Seite zu isolieren, ist es ratsam, zunächst alle auftauchenden Klammern aufzulösen.
  Anschließend lassen sich durch Umkehroperationen alle Terme, die ein $x$ enthalten, auf die eine Seite und alle anderen Terme auf die andere Seite der Ungleichung bringen.

  Lösung

  Um die Ungleichung $(x-2) \cdot 5 \leq 50$ zu vereinfachen, werden wir zunächst das Distributivgesetz auf die Klammer anwenden und anschließend Umkehroperationen, um $x$ zu isolieren.

  Bei der Anwendung des Distributivgesetzes ergibt sich $(x-2) \cdot 5=x \cdot 5-2 \cdot 5=5x-10$. Also bleibt insgesamt die Ungleichung $5x-10 \leq 50$.

  Nun möchten wir die Terme, die kein $x$ enthalten, auf die rechte Seite des Ungleichheitszeichen bringen. Da $+$ die Umkehroperation zu $-$ ist, addieren wir daher $+10$ auf beiden Seiten, um den Term $-10$ auf der linken Seite zu eliminieren. Damit ergibt sich insgesamt $5x \leq 60$.

  Um jetzt $x$ auf der linken Seite vollständig zu isolieren, müssen wir den Vorfaktor $5$ eliminieren. Da $:$ die Umkehroperation zu $\cdot$ ist, teilen wir auf beiden Seiten durch $5$ und erhalten insgesamt $x \leq 12$.

• Ermittle die Lösung der gegebenen Ungleichungen.

  Tipps

  Bei der Division oder Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

  Man kann das Distributivgesetz anwenden, wenn Klammern multipliziert werden, in denen Differenzen oder Summen stehen. Das Distributivgesetz lautet:

  $(a-b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$

  Lösung

  Bei der Vereinfachung der Ungleichungen kann man diese beiden Schritte befolgen:

  • Anwendung des Distributivgesetzes, um die Klammer aufzulösen
  • Umkehroperationen anwenden, um $x$ zu isolieren

  Zu $(x-2) \cdot 5 \leq 30$

  Wenn wir das Distributivgesetz auf die Klammer anwenden, ergibt sich $5x-10 \leq 30$.
  Weil $+$ die Umkehroperation zu $-$ ist, addieren wir als Nächstes $10$ auf beiden Seiten der Ungleichung. Es ergibt sich $5x \leq 40$.
  Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division. Daher teilen wir auf beiden Seiten durch $5$ und erhalten $x \leq 8$.

  Zu $(x+3) \cdot 8 \geq -16$

  Wenn wir das Distributivgesetz auf die Klammer anwenden, ergibt sich $8x+24 \geq -16$.
  Weil $-$ die Umkehroperation zu $+$ ist, subtrahieren wir nun $24$ auf beiden Seiten der Ungleichung. Es ergibt sich $8x \geq -40$.
  Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division. Deshalb teilen wir auf beiden Seiten durch $8$ und erhalten $x \geq -5$.

  Zu $(x+2) \cdot (-4) \leq 20$

  Wenn wir das Distributivgesetz auf die Klammer anwenden, ergibt sich $-4x-8 \leq 20$.
  Weil $+$ die Umkehroperation zu $-$ ist, addieren wir jetzt $8$ auf beiden Seiten der Ungleichung. Es ergibt sich $-4x \leq 28$.
  Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division. Darum teilen wir auf beiden Seiten durch $-4$ und erhalten $x \geq -7$, da wir bei der Division durch eine negative Zahl das Ungleichheitszeichen umkehren müssen.

  Zu $(-x-1) \cdot 20 \geq 40$

  Wenn wir das Distributivgesetz auf die Klammer anwenden, ergibt sich $-20x-20 \geq 40$.
  Weil $+$ die Umkehroperation zu $-$ ist, addieren wir als Nächstes $20$ auf beiden Seiten der Ungleichung. Es ergibt sich $-20x \geq 60$.
  Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division. Deswegen teilen wir auf beiden Seiten durch $-20$ und erhalten $x \leq -3$, da wir bei der Division durch eine negative Zahl das Ungleichheitszeichen umkehren müssen.

• Leite die gesuchte Ungleichung her und löse sie.

  Tipps

  Wenn $x$ die Anzahl der Katzen von Nikki ist, so besitzt sie insgesamt $x+3$ Tiere.

  Man kann das Distributivgesetz anwenden, wenn Klammern multipliziert werden, in denen Differenzen oder Summen stehen. Nach dem Distributivgesetz gilt zum Beispiel:

  $(a-b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$

  Lösung

  Wenn $x$ die Anzahl von Nikkis Katzen ist, so besitzt sie insgesamt $x+3$ Tiere. Diese $x+3$ Tiere konsumieren in $4$ Tagen maximal $60$ Packungen Tierfutter.
  Da wir wissen, dass jedes Tier mindestens eine Packung Tierfutter am Tag frisst, gilt daher folgende Gleichung:

  $(x+3) \cdot 4 \leq 60$

  Bei der Vereinfachung der Ungleichungen kann man nach den diesen beiden Schritten vorgehen:

  • Anwendung des Distributivgesetzes, um die Klammer aufzulösen
  • Umkehroperationen anwenden, um $x$ zu isolieren

  Wenn wir das Distributivgesetz auf die Klammer anwenden, ergibt sich $4x+12 \leq 60$.
  Weil $-$ die Umkehroperation zu $+$ ist, subtrahieren wir als Nächstes $12$ auf beiden Seiten der Ungleichung. Es ergibt sich $4x \leq 48$.
  Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division. Daher teilen wir auf beiden Seiten durch $4$ und erhalten $x \leq 12$.

• Gib an, welche Aussagen auf Ungleichungen zutreffen.

  Tipps

  Wenn man bei der Ungleichung $-5x \leq 10$ durch $-5$ teilt, ergibt sich $x \geq -2$. Das Ungleichheitszeichen dreht sich also um.

  Addition verhält sich zur Subtraktion wie Multiplikation zur Division.

  Lösung

  Immer wenn bei einer Ungleichung durch eine negative Zahl dividiert wird oder mit einer negativen Zahl multipliziert wird, dreht sich das Ungleichheitszeichen um, beispielsweise im Fall von $-5x \leq 10$. Wenn man hier durch $-5$ teilt, ergibt sich $x \geq -2$. Ist der Faktor, durch den man teilt oder mit dem man multipliziert, positiv, dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um.

  Das Distributivgesetz wird genutzt, um Terme der Form $(a+b) \cdot c$ oder $(a-b) \cdot c$ zu vereinfachen, also wenn Klammern multipliziert werden, in denen Differenzen oder Summen stehen.
  Nach dem Distributivgesetz gilt dann:

  $(a+b) \cdot c= a \cdot c + b \cdot c$ und $(a-b) \cdot c= a \cdot c - b \cdot c$

  Multiplikation und Division sind Umkehroperationen. Möchte man zum Beispiel bei der Ungleichung $5 \cdot x \leq 10$ das $x$ isolieren, muss man die Umkehroperation zu $\cdot$ anwenden. Das ist $:$. Man kann also durch $5$ teilen und erhält:

  $\begin{array}{llll} 5 \cdot x & \leq & 10 & \vert :5 \\ x & \leq & 2 & \end{array}$

  Addition und Subtraktion sind Umkehroperationen. Möchte man zum Beispiel bei der Ungleichung $x+5 \leq 10$ das $x$ isolieren, muss man die Umkehroperation zu $+$, also $-$, anwenden. Man kann demnach $5$ auf beiden Seiten subtrahieren und erhält:

  $\begin{array}{llll} x +5 & \leq & 10 & \vert -5 \\ x & \leq & 5 & \end{array}$

  Diese beiden Aussagen sind falsch:

  • Die Umkehroperation zur Addition ist die Division.
  • Immer wenn man bei einer Ungleichung durch eine positive Zahl teilt, wird das Ungleichheitszeichen umgedreht.

• Ermittle die zugehörigen mathematischen Schreibweisen.

  Tipps

  Wenn auf dem Schiff maximal $50$ Großabteile wären, so lautete die Ungleichung $y \leq 50$.

  Die Anzahl der übrigen Fahrzeuge, wenn es $30$ Wohnmobile auf dem Schiff gäbe, wäre $x-30$.

  Die Anzahl der Kleinabteile auf dem Schiff ist maximal so groß wie die maximale Anzahl an Fahrzeugen vermindert um die Anzahl der Großabteile.

  Lösung

  • Die Anzahl der Fahrzeuge ist maximal $50$.

  Da wir die Anzahl der Fahrzeuge mit der Variable $x$ modellieren, gilt $x \leq 50$.

  • Es sind $20$ Lkw geladen. Wie hoch ist die Anzahl der übrigen Fahrzeuge?

  Wenn sich auf dem Schiff $20$ Lkw befinden und $x$ die Gesamtanzahl der Fahrzeuge ist, so ist die Anzahl der übrigen Fahrzeuge gegeben durch $x-20$. Da sich maximal $50$ Fahrzeuge auf dem Schiff befinden, also nach Abzug der $20$ Lkw maximal $30$ andere Fahrzeuge, ergibt sich die Ungleichung $x-20 \leq 30$.

  • Geladen sind $20$ Lkw und mindestens $10$ Wohnmobile. Wie viele Großabteile gibt es?

  Weil Lkw und Wohnmobile in Großabteilen untergebracht werden, muss es mindestens $10+20=30$ Großabteile geben. Da das Schiff maximal $50$ Fahrzeuge aufnehmen kann, kann die Anzahl an Großabteilen die $50$ nicht überschreiten. Deshalb gilt für $y$, also die Anzahl an Großabteilen, $30 \leq y \leq 50$.

  • Auf dem Schiff gibt es $30$ Lkw und Wohnwagen. Wie viele Pkw sind auf dem Schiff?

  Weil Pkw nur in Kleinabteilen untergebracht werden können, gibt es maximal so viele Pkw auf dem Schiff wie verfügbare Kleinabteile. Da das Schiff maximal $50$ Fahrzeuge aufnehmen kann und $y$ die Anzahl der Großabteile ist, ist die Anzahl der Kleinabteile gegeben durch $50-y$. Weil $x$ die Anzahl aller Fahrzeuge auf dem Schiff ist und es genau $30$ Lkw und Wohnwagen gibt, beträgt die Anzahl der Pkw $x-30$.

  Insgesamt ergibt sich $x-30 \leq 50-y$.

  Das $\leq$-Zeichen rührt daher, dass nicht alle Abteile belegt sein müssen.