Logarithmen- und Exponentialgleichungen

in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Grundlagen zum Thema Logarithmen- und Exponentialgleichungen
Dieses Video beschäftigt sich mit Exponential- und Logarithmusgleichungen. Nach einer kurzen Wiederholung von Exponentialgleichungen und Logarithmen werden wir gemeinsam eine Aufgabe zur Zinseszinsrechnung lösen. Dabei gehen wir schrittweise vor. Gut zu wissen: Das Vorgehen kannst du auch für Wachstums- und Zerfallsprozesse anwenden. Viel Spaß!
Transkript Logarithmen- und Exponentialgleichungen
Ben und Anna möchten nach ihrem Schulabschluss eine längere Reise quer durch Europa machen. Dazu können sie den alten Camper von Bens Großmutter nehmen. Einige Dinge müssen jedoch zuvor erneuert und repariert werden, was die beiden etwa 3000 € kosten wird. Annas Eltern haben bei Annas Geburt Geld für sie angelegt, über das sie ab ihrem 18. Geburtstag verfügen darf. Das Geld in Höhe von 1000 € wurde zu einem Zinssatz von 4% angelegt. Nun fragen sich Ben und Anna, ob dieser Betrag zu Annas 18. Geburtstag bereits auf 3000 € angewachsen ist. Wie du vielleicht schon erkannt hast, geht es heute um Sachaufgaben zu Exponential- und Logarithmengleichungen. Zunächst wiederholen wir kurz, was wir schon zu Exponential- und Logarithmengleichungen wissen. Dann berechnen wir, ob sich Ben und Anna die Reparatur des Campers mit dem angelegten Geld von Annas Eltern leisten können. Die Lösung entwickeln wir schrittweise. Als Exponential-Gleichungen werden Gleichungen bezeichnet, bei denen die Variable im Exponenten steht. Diese Form wird “Exponential-Gleichung zur Basis A” genannt. Besondere Formen sind Exponential-Gleichungen zur Basis 10 und zur Basis E. Will man eine Exponential- Gleichung nach x aufzulösen, macht man dies mit Hilfe des Logarithmus. Für die allgemeine Exponential-Gleichung zur Basis A ergibt sich x = lg(f(x) - b)/lg(a). Das schauen wir uns an einem konkreten Beispiel an. Gegeben sei die Funktion k(x) = 5x + 8. Und wir suchen den x Wert an der Stelle y = 10. Zunächst setzen wir für k(x) 10 in die Gleichung ein: 10 = 5x + 8. Danach bringen wir 8 auf die andere Seite. Es ergibt sich: 2 = 5x. Jetzt müssen wir auf beiden Seiten den Zehnerlogarithmus anwenden. Es bleibt lg(2) = lg(5x)) stehen. Mit Hilfe eines Exponential-Gesetzes kann der Ausdruck lg(5x)) umschrieben werden in x×lg(5). Nun müssen wir nur noch lg(5) auf die andere Seite bringen und erhalten für x rund 0,43. Gehen wir nun zurück zu unserer Beispiel-Aufgabe vom Anfang. Wir wissen, dass bei Annas Geburt ihre Eltern 1000 € zu einem Zinssatz von 4% angelegt haben und dass Ben und Anna 3000 € benötigen, um den Camper auf Vordermann zu bringen. Es interessiert uns nun, wie lange es dauert, bis 1000 € auf 3000 € angewachsen sind. Dies ist eine klassische Zinseszinsrechnung. Die Zinseszinsformel lautet: KE = KA × (1+ P/100)n. KE ist das Endkapital, in unserem Fall 3000 €, KA das Anfangskapital, hier 1000 €. P/100 ist der Zinssatz gleich 0,04. Und n ist die gesuchte Laufzeit in Jahren. Eingesetzt ergibt dies: 3000 € = 1000 € × 1,04n. Wir teilen durch 1000 € und erhalten: 3 = 1,04n. Nun können wir den Zehnerlogarithmus anwenden. Es ergibt sich: lg(3) = lg(1,04)n. Mit dem Logarithmusgesetz können wir den Ausdruck wie folgt umstellen: lg(3) = n × lg(1,04). Umgestellt ergibt dies lg(3)/lg(1,04) = n. Das sind etwa 28,01 Jahre. Uff, 28 Jahre? Das ist ganz schön lange, meint Ben. Wie groß ist denn das Endkapital nach 18 Jahren? Nun suchen wir KE für n = 18 Jahre. Eingesetzt erhalten wir: KE = 1000 € × 1,0418. Das ergibt für KE = 2025, 82 €. Das ist ja auch schon eine Menge Geld, meint Anna. Wenn wir in den Ferien arbeiten gehen, steht unserer Reise nichts mehr im Weg. Ben und Anna wissen nun, wie viel Geld ihnen noch fehlt, um ihre Reise zu starten. Du kannst solche Berechnungen, wie wir sie gerade zusammen durchgeführt haben, in vielen Zusammenhängen verwenden, zum Beispiel auch bei Wachstums- und Zerfallsprozessen, um Exponential-Gleichungen der Form: f(x) = ax + b nach x aufzulösen. Dazu verwendest du den Zehnerlogarithmus. Probiere das doch selbst gleich einmal bei einer weiteren Aufgabe aus. Viel Spaß.
Logarithmen- und Exponentialgleichungen Übung
-
Ergänze die Erklärung zu Exponentialgleichungen.
-
Bestimme die Lösung der Exponentialgleichung.
-
Ermittle die Zeit, nach der das Kapital sich vervierfacht hat.
-
Leite die Lösungen der Exponentialgleichungen her.
-
Berechne das Kapital nach 18 Jahren.
-
Gib eine allgemeine Lösungsformel für eine Exponentialgleichung an.
9.152
sofaheld-Level
6.601
vorgefertigte
Vokabeln
7.600
Lernvideos
35.593
Übungen
32.336
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Prozentrechnung - Übungen
- Primzahlen
- Geometrische Lagebezeichnungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Zehnerzahlen vergleichen und ordnen – Übungen
- Quadrat
- Zahlen sortieren – Übungen
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Zahlen bis 1000 ordnen – Übungen
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Terme mit Variablen aufstellen – Übungen
- Prisma
- Die Grundrechenarten – Übungen
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Punkt-vor-Strich und Klammern-zuerst-Regel
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Zahlen runden – Übungen
- Satz Des Pythagoras
- Ziffern und Stellenwerte – Übungen
- Dreieck Grundschule
- Koordinatensystem – Übungen
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Termumformungen – Übungen
- Volumen Kugel
- Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken – Übungen
- Zahlen In Worten Schreiben
- Meter
- orthogonal
@ChrasherS:
Welchen Logarithmus du genau benutzt, ist hier egal, du könntest auch den 7er- oder 3er- oder irgendeinen anderen Logarithmus nehmen, die Rechenreglen, die angewendet werden können, bleiben gleich.
Der 10er-Logarithmus berechnet zu einer Zahl den Exponenten, mit dem die Basis 10 potenziert werden muss, um die Zahl zu erhalten. z.B. ist lg(100)=2, weil 10²=100 ist.
Genauere Informationen zum Logarithmus erhältst du in diesem Video: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/logarithmus-definition?topic=976
Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!
Warum den 10ner Logarithmus? Und was ist das eigentlich?
Das Video ist voll gut 👍🏻👌👌🏻😀