Beweise mit den Additionssätzen führen (1)

Beweise mit den Additionssätzen führen (1) Übung

• Berechne den Sinuswert von $60^\circ$ mit $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$.

  Tipps

  Verwende den Additionssatz:

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

  Du kannst $60^\circ$ als Produkt $2\cdot30^\circ$ schreiben oder als Summe $30^\circ+30^\circ$.

  Spezielle Werte für Sinus und Kosinus findest du in der Formelsammlung.

  Lösung

  Die verwendete Formel lautet $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$.

  Für die folgende Rechnung werden noch zwei spezielle Werte von Sinus und Kosinus benötigt, welche man einer Formelsammlung entnehmen kann:

  • $\sin(30^\circ)=\frac12$ sowie
  • $\cos(30^\circ)=\frac12 \sqrt3$.

  Da $60^\circ=2\cdot 30^\circ$ ist, erhält man somit

  $\begin{align*} \sin(60^\circ)&=\sin(2\cdot 30^\circ)\\ &=2\sin(30^\circ)\cdot \cos(30^\circ)\\ &=2\cdot \frac12\cdot\frac12\sqrt3\\ &=\frac12\sqrt3. \end{align*}$

• Beschreibe, wie man $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha)$ nachweisen kann.

  Tipps

  Welchen Additionssatz kannst du verwenden? Es geht um den Sinus der Summe von Winkeln.

  Der Winkel $2\alpha$ kann als Summe $\alpha+\alpha$ geschrieben werden.

  Es gilt das Kommutativgesetz: $a\cdot b=b\cdot a$.

  Lösung

  Man startet mit $\sin(2\alpha)$. Dies ist das Gleiche wie $\sin(\alpha+\alpha)$. Es kann also der erste Additionssatz

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$

  verwendet werden.

  Somit gilt

  $\begin{align*} \sin(\alpha+\alpha)&=\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\alpha)&|&\text{Kommutativgesetz}\\ &=\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)\\ &=2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha), \end{align*}$

  womit die Aussage bewiesen wäre.

• Berechne $\sin(45^\circ)$.

  Tipps

  Verwende die Formel $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$ zur Berechnung von $\sin(90^\circ)$.

  Betrachte ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck. Gib in diesem den Sinus und den Kosinus des spitzen Winkels, dieser ist $45^\circ$, an.

  Die Gleichung $1=2\sin^2(\alpha)$ kann nach $\sin(\alpha)$ aufgelöst werden.

  Lösung

  Da $90^\circ=2\cdot 45^\circ$ gilt und $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$ kann daraus abgeleitet werden:

  $\begin{align*} 1=\sin(90^\circ)&=\sin(2\cdot 45^\circ)\\ &=2\sin(45^\circ)\cdot\cos(45^\circ)&|&~\cos(45^\circ)=\sin(45^\circ)\\ &=2\sin^2(45^\circ). \end{align*}$

  Nun kann diese Gleichung nach $\sin(45^\circ)$ umgeformt werden:

  $\begin{align*} 1&=2\sin^2(45^\circ)&|&:2\\ \frac12&=\sin^2(45^\circ)&|&\sqrt{}\\ \pm \frac1{\sqrt2}&=\sin(45^\circ). \end{align*}$

  Der negative Wert ist nicht möglich: wie man an dem Bild erkennen kann, muss $\sin(45^\circ)$ positiv sein. Also ist $\sin(45^\circ)=\frac1{\sqrt2}$.

• Weise nach, dass $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)$ gilt.

  Tipps

  Zur Berechnung des Sinuswertes der Differenz zweier Vektoren wird der Additionssatz

  $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$

  verwendet.

  Die Nullstellen von Kosinus sind die ungeraden Vielfachen von $90^\circ$.

  An den Stellen, an denen Kosinus den Wert $0$ annimmt, nimmt Sinus den Wert $±1$ an.

  Lösung

  Hier kann der zweite Additionssatz verwendet werden:

  $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$:

  $\begin{align*} \sin(90^\circ-\alpha)&=\sin(90^\circ)\cdot \cos(\alpha)-\cos(90^\circ)\cdot\sin(\alpha)&|&~\sin(90^\circ)=1,~\cos(90^\circ)=0\\ &=1\cdot \cos(\alpha)-0\cdot\sin(\alpha)\\ &=\cos(\alpha). \end{align*}$

• Gib an, welcher Additionssatz zur Berechnung von $\sin(\alpha+\alpha)$ verwendet werden kann.

  Tipps

  Es ist nur ein Satz richtig.

  Wenn du in die richtige Gleichung $\beta=\alpha$ einsetzt, so sollte $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$ herauskommen.

  Es gilt $2\alpha=\alpha+\alpha$.

  Lösung

  Der verwendete Additionssatz ist der erste Additionssatz:

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

• Leite eine Formel für $\sin(\alpha+90^\circ)$ her.

  Tipps

  Verwende den Additionssatz

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

  Zwei Formeln sind korrekt.

  Es gilt:

  • $\sin(90^\circ)=1$ sowie
  • $\cos(90^\circ)=0$.

  Der Graph der Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

  Lösung

  Unter Verwendung des Additionssatzes

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$

  kann wie folgt gerechnet werden:

  $\begin{align*} \sin(\alpha+90^\circ)&=\sin(\alpha)\cdot\cos(90^\circ)+\cos(\alpha)\cdot\sin(90^\circ)&|&~\cos(90^\circ)=0,~~\sin(90^\circ)=1\\ &=\cos(\alpha). \end{align*}$

  Auf Grund der Achsensymmetrie zur y-Achse der Kosinusfunktion gilt $\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)$ und somit

  $\sin(\alpha+90^\circ)=\cos(-\alpha)$.