Satz von Vieta – Anwendung und Beweis

Was ist der Satz von Vieta?

Der Satz von Vieta ist ein Satz, mit dem man eine sehr wichtige Frage in der Mathematik beantworten kann: Bilden zwei gegebene Zahlen die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung?

Du fragst dich, wie der Satz von Vieta funktioniert? Dann bist du hier genau richtig für eine einfache Erklärung des Satzes von Vieta.

Der Satz von Vieta einfach erklärt

Bevor wir mit dem Satz von Vieta beginnen, rufen wir uns die Normalform einer quadratischen Gleichung in Erinnerung:

$x^{2} + px + q = 0$

Eine solche Gleichung können wir zum Beispiel mit der pq-Formel lösen. Nehmen wir an, wir haben zwei Zahlen als Lösung erhalten, also:

$\mathbb L = \{ x_1, x_2 \} $

Um zu überprüfen, ob diese Zahlen auch wirklich die Lösungsmenge bilden, könnten wir sie jeweils in die quadratische Gleichung einsetzen. Wir können aber auch den Satz von Vieta anwenden. Schauen wir uns an, was dieser Satz besagt.

Satz von Vieta – Definition

Sei $x^{2} + px + q = 0$ eine quadratische Gleichung in Normalform mit den Koeffizienten $p$ und $q$ und $x_1$ und $x_2$ die Lösungen der quadratischen Gleichung, dann gilt:

$-(x_1 + x_2) = p$

$x_1 \cdot x_2 = q $

Wenn wir zwei Lösungen gegeben haben, müssen wir also die negative Summe und das Produkt dieser Lösungen berechnen und mit $p$ und $q$ vergleichen. Sind die obigen Gleichungen erfüllt, wissen wir, dass die Lösung korrekt ist. Das schauen wir uns anhand von Beispielen genauer an.

Der Satz von Vieta – Beispiele

Beispiel 1

Wir haben die folgende quadratische Gleichung und Lösungsmenge gegeben:

$x^{2} -6x + 8 = 0 ~ ~ ~ \mathbb L ={4,2}$

Um zu überprüfen, ob die angegebenen Werte $4$ und $2$ tatsächlich die Lösungsmenge bilden, wenden wir den Satz von Vieta an. Zunächst identifizieren wir $p$ und $q$.

$p = -6$

$q = 8$

Wir bilden die negative Summe der beiden Lösungen und vergleichen mit $p$:

$-(4+2) = -6 = p$

Sie stimmt mit $p$ überein. Nun bilden wir das Produkt der beiden Lösungen und vergleichen mit $q$:

$4 \cdot 2 = 8 = q$

Die Lösungen erfüllen also beide Gleichungen des Satzes von Vieta und sind die Lösungsmenge der gegebenen quadratischen Gleichung. Damit haben wir erfolgreich überprüft, ob die Lösungen tatsächlich die Lösungsmenge bilden.

Beispiel 2

Als Nächstes schauen wir uns eine Gleichung an, zu der es nur eine Lösung gibt:

$x^{2} + 2x +1 = 0 ~ ~ ~ \mathbb L = \{ -1 \}$

Auch hier können wir den Satz von Vieta anwenden. Bei der Lösung handelt es sich um eine Doppellösung, das heißt, es gilt $x_1 = x_2 = -1$. Wir setzen also sowohl für $x_1$ als auch für $x_2$ eine $-1$ ein und vergleichen wie oben mit $p$ und $q$:

$-(-1-1) = 2 = p$

$(-1) \cdot (-1) = 1 = q$

Damit bildet $-1$ tatsächlich die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung.

Wenn wir eine quadratische Gleichung vorliegen haben, deren Lösungsmenge die leere Menge ist, können wir den Satz von Vieta nicht anwenden.

Aber weshalb funktioniert die Anwendung des Satzes von Vieta überhaupt? Das können wir am besten verstehen, wenn wir uns einen Beweis zum Satz von Vieta anschauen.

Satz von Vieta – Beweis

Für die Herleitung des Satzes von Vieta gehen wir von einer quadratischen Gleichung in Normalform mit Lösungsmenge $\mathbb L$ aus:

$x^{2} +px + q = 0 ~ ~ ~ \mathbb L ={x_1,x_2}$

Wir überlegen uns, wie wir eine weitere Gleichung in Normalform konstruieren können, deren Lösungsmenge $\mathbb L ={x_1,x_2}$ ist. Wir schreiben eine Gleichung als Produkt aus zwei Klammern, die jeweils für eine der Lösungen null werden:

$(x-x_1) \cdot (x-x_2)=0$

Für $x=x_1$ wird die erste Klammer und damit auch das Produkt der beiden Klammern null. Für $x=x_2$ wird die zweite Klammer und damit das Produkt null. Die Lösungen $x_1$ und $x_2$ bilden also die Lösungsmenge dieser Gleichung:

$x^{2} +px + q = 0 ~ ~ ~ \mathbb L ={x_1,x_2}$

$(x-x_1) \cdot (x-x_2)=0 ~ ~ ~ \mathbb L ={x_1,x_2}$

Da beide Gleichungen dieselbe Lösungsmenge besitzen, sind sie äquivalent. Das bedeutet, dass wir die Gleichung $(x-x_1) \cdot (x-x_2)=0$ durch Äquivalenzumformungen in die Form $x^{2} +px + q = 0$ überführen können. Wir beginnen damit, die Klammern auszumultiplizieren:

$(x-x_1) \cdot (x-x_2)= x^{2} - x_2x - x_1x + x_1x_2 =0$

Die mittleren beiden Terme können wir vereinfachen, indem wir $-x$ ausklammern:

$x^{2} - x_2x - x_1x + x_1x_2 = x^{2} -( x_1+x_2)x + x_1x_2 =0$

Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform. Indem wir sie mit der quadratischen Gleichung in Normalform vergleichen, von der wir ausgegangen sind, können wir $p$ und $q$ identifizieren:

$x^{2} \underbrace{-( x_1+x_2)}_{p} x + \underbrace{x_1x_2}_{q} =0$

Wir erhalten also:

$p = -(x_1+x_2)$

$q = x_1 \cdot x_2$

Und das sind gerade die Formeln, die wir als Satz von Vieta kennengelernt haben.

Satz von Vieta – Zusammenfassung

Fassen wir das Wichtigste noch einmal zusammen:

• Der Satz von Vieta ist ein Satz, mit dessen Hilfe wir die Lösungen $x_1,x_2$ einer quadratischen Gleichung überprüfen können.
• Ist die quadratische Gleichung in Normalform gegeben, müssen die folgenden Gleichungen von den Lösungen erfüllt werden:
• $p = -(x_1+x_2)$
• $q = x_1 \cdot x_2$
• Sind die Gleichungen erfüllt, dann bilden $x_1$ und $x_2$ die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung.

In diesem Video wird dir der Satz von Vieta einfach erklärt. Video und Text werden durch interaktive Übungen und Aufgaben ergänzt, mit denen du dein Wissen noch vertiefen kannst.