Linearfaktorzerlegung (2)
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Grundlagen zum Thema Linearfaktorzerlegung (2)
Du hast im ersten Teil der Linearfaktorzerlegung schon gelernt, was Linearfaktoren sind, was die Linearfaktorzerlegung ist und wozu man die Linearfaktorzerlegung braucht. In Teil 2 erfährst du nun, wie die Linearfaktorzerlegung funktioniert und ob man die Linearfaktorzerlegung immer anwenden kann. Dazu werden wir verschiedene Formeln vorgestellt, die du für die Linearfaktorzerlegung benutzen kannst. Dazu gehören die Potenzgesetze, das Distributivgesetz und die Binomischen Formeln. Bei komplexeren Polynomen ist es hilfreich zu wissen, wie die Polynomdivision funktioniert. Am Ende gibt es wieder ein Zusammenfassung mit den wichtigsten Informationen.
Linearfaktorzerlegung (2) Übung
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Benenne die Formeln oder Gesetze, welche du anwenden kannst, um eine Linearfaktorzerlegung durchzuführen.
TippsHier siehst du ein Beispiel für das Ausklammern: $x^2+3x$.
Da der Faktor $x$ in beiden Summanden vorkommt, kannst du diesen Faktor ausklammern zu $x^2+3x=x\cdot (x+3)$.
Die zweite binomische Formel lautet $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Der Satz des Pythagoras besagt: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.
Oft wird dies, nicht ganz korrekt, abgekürzt zu $a^2+b^2=c^2$.
LösungUm Polynome zu faktorisieren, kannst du verschiedene Rechenregeln verwenden.
Distributivgesetz
Du kannst ausklammern. Das bedeutet, du verwendest das Distributivgesetz $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.
Potenzgesetz
Potenzen $x^n$ kannst du so als Produkt von Linearfaktoren schreiben: $x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot ...\cdot x}_{n\text{-mal}}$.
Binomische Formeln
Oft helfen dir auch die binomischen Formeln weiter.
Erste binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ Zweite binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ Dritte binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$
Polynomdivision
Was tust du, wenn alle zuvor genannten Möglichkeiten nicht funktionieren? Du schaust, ob du ein $x_0$ findest, für welches das Polynom den Wert $0$ annimmt. Dann führst du eine Polynomdivision mit dem Polynom $:(x-x_0)$ durch. Dadurch erhältst du ein Polynom von einem um $1$ verringerten Grad. Vielleicht kannst du nun eine der oben genannten Möglichkeiten nutzen.
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Beschreibe, wie du das Polynom $x^3+2x^2$ in Linearfaktoren zerlegen kannst.
TippsHier siehst du das Distributivgesetz: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.
Dies kannst du auch von rechts nach links anwenden. Dies entspricht dem Ausklammern.
Du kannst jede Potenz in $x$, also $x^n$, als Produkt von linearen Faktoren schreiben: $x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot ...\cdot x}_{n\text{-mal}}$.
Beachte, dass bei einer Linearfaktorzerlegung jeder Faktor linear sein muss.
LösungWir schauen uns das Polynom $x^3+2x^2$ oder, alternativ, die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3+2x^2$ an. Du erkennst, dass der Funktionsterm gerade das obige Polynom ist.
Da der Faktor $x^2$ in beiden Summanden vorkommt, kannst du diesen ausklammern. Du verwendest also das Distributivgesetz: $f(x)=x^2(x+2)$.
Der Faktor $x+2$ ist bereits ein Linearfaktor. Der andere Faktor $x^2$ ist sicher kein Linearfaktor. Warum ist das so? Die Variable $x$ wird hier quadriert.
Du kannst nun das Potenzgesetz $x^2=x\cdot x$ nutzen, um die Funktion weiter umzuformen zu $f(x)=x\cdot x\cdot (x+2)$. Nun ist jeder der Faktoren ein Linearfaktor.
Du hast also die Linearfaktorzerlegung von $f(x)=x^3+2x$ gefunden. Diese ist gegeben durch $f(x)=x\cdot x\cdot(x+2)$.
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Ermittle eine Linearfaktorzerlegung zu $f(x)=x^3-6x^2+9x$
TippsHier siehst du die binomischen Formeln.
Erste binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ Zweite binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ Dritte binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$
Beachte: Es darf kein Term mehr quadratisch oder kubisch oder mit noch höherer Potenz vorliegen.
Das Potenzgesetz lautet: $x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot ...\cdot x}_{n\text{-mal}}$.
Dies gilt so auch, wenn du $x$ durch zum Beispiel $x-3$ ersetzt.
Achte auf die Klammern.
LösungHier siehst du Schritt für Schritt die Verwendung des Distributivgesetzes, einer binomischen Formel sowie des Potenzgesetzes. Du sollst den Funktionsterm der Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-6x^2+9x$ in Linearfaktoren zerlegen.
Das Erste, was du dir immer überlegen kannst, ist, ob du ausklammern kannst. In diesem Beispiel kannst du $x$ ausklammern. Dies führt zu $f(x)=x\cdot (x^2-6x+9)$.
Erkennst du die zweite binomische Formel in dem Term $x^2-6x+9$? Erinnere dich, es gilt $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Hier ist $a=x$ und $b=3$. Damit ist $f(x)=x\cdot (x-3)^2$.
Das ist allerdings noch keine Linearfaktorzerlegung. Du musst den Faktor $(x-3)^2$ noch mit Hilfe des Potenzgesetzes schreiben als $(x-3)\cdot (x-3)$. Nun bist du fertig.
$f(x)=x\cdot (x-3)\cdot(x-3)$ ist die gesuchte Linearfaktorzerlegung.
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Untersuche, bei welchem der Polynome eine Linearfaktorzerlegung möglich ist.
TippsPrüfe jeweils, ob du die Gleichung lösen kannst, welche du erhältst, wenn du das Polynom gleich $0$ setzt.
Bei drei Polynomen kannst du ausklammern.
Verwende das Potenzgesetz $x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot ...\cdot x}_{n\text{-mal}}$.
LösungDie angegebenen Polynome sehen zum Teil recht ähnlich aus wie $x^2+1$. Trotzdem ist bei $4$ der $6$ Polynomen eine Linearfaktorzerlegung möglich.
Nicht möglich ist diese bei den folgenden beiden:
- $-x^2-1=-(x^2+1)$: Von dem Term in der Klammer weißt du bereits, dass eine Linearfaktorzerlegung nicht möglich ist.
- $x^3+x=x(x^2+1)$: Auch hier ist eine Linearfaktorzerlegung des Terms in der Klammer nicht möglich.
- $x^2-1=(x+1)\cdot (x-1)$: Dies ist die dritte binomische Formel.
- $(x+1)^2=(x+1)\cdot (x+1)$: Dies ist das Potenzgesetz.
- $x^2+x=x\cdot (x+1)$: Dies ist das Distributivgesetz (Ausklammern).
- $x^3-x=x\cdot (x^2-1)=x\cdot (x+1)\cdot(x-1)$: Dies ist eine Kombination von Distributivgesetz und dritter binomischer Formel.
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Gib an, warum es keine Linearfaktorzerlegung für $x^2+1$ gibt.
TippsBeachte, dass du in diesem Beispiel weder das Distributivgesetz noch das Potenzgesetz noch eine der binomischen Formeln anwenden kannst.
Du müsstest also eine Polynomdivision durchführen. Hierfür teilst du das Polynom, also hier $x^2+1$, durch $x-x_0$. Dabei ist $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2+1$.
Um eine Nullstelle einer Funktion zu finden, musst du die Gleichung $f(x)=0$ lösen.
Beachte:
- Wenn du eine beliebige Zahl quadrierst, erhältst du eine Zahl, welche größer oder gleich $0$ ist.
- Addierst du nun $1$, erhältst du eine Zahl, welche größer oder gleich $1$ ist.
LösungDu kannst bei dem Term $x^2+1$
- nicht ausklammern,
- kein Potenzgesetz zum Faktorisieren und
- auch keine binomische Formel anwenden.
- Subtrahiere $1$. Dies führt zu $x^2=-1$.
- Ziehe nun die Wurzel ... aber halt, die Wurzel aus einer negativen Zahl ist gar nicht definiert.
Du siehst, es gibt nicht immer eine Linearfaktorzerlegung.
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Bestimme die Linearfaktoren der Funktion $f(x)=x^4-5x^2+4$.
TippsDie einzutragenden Zahlen stimmen paarweise überein.
Durch die Substitution erhältst du eine quadratische Gleichung, welche du mit Hilfe der p-q-Formel lösen kannst.
Die Lösungen der quadratischen Gleichung (in $z$) sind $z_1=1$ sowie $z_2=4$.
Die Linearfaktoren „enthalten“ die Nullstellen.
Hast du die Nullstellen schon berechnet? Denn jeder einzelne Linearfaktor ergibt sich so: $x-x_N$, wobei $x_N$ eine Nullstelle ist.
LösungDu kannst bei der Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-5x^2+4$ eine, genauer zwei, Polynomdivision durchführen. Dies ist zum einen recht aufwändig und zum anderen hier nicht nötig.
Du siehst, dass der Funtionsterm $x^4-5x^2+4$ biquadratisch ist. Anstatt die Gleichung $x^4-5x^2+4=0$ zu lösen, kannst du auch $z=x^2$ ersetzen. So erhältst du die quadratische Gleichung (in $z$) $z^2-5z+4=0$. Diese kannst du mit der p-q-Formel lösen.
$\begin{array}{rcl} z_{1,2}&=&-\frac{-5}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2-4}\\ &=&2,5\pm\sqrt{2,25}\\ z_1&=&2,5+1,5=4\\ z_2&=&2,5-1,5=1 \end{array}$
Nun kannst du resubstituieren: $x=\pm\sqrt{z}$. Dies führt zu den folgenden Nullstellen:
- $x_1=\sqrt 4=2$,
- $x_2=-\sqrt 4=-2$,
- $x_3=\sqrt 1=1$ und
- $x_4=-\sqrt 1=-1$.
So erhältst du $f(x)=(x-2)\cdot (x-({-2}))\cdot (x-1)\cdot (x-({-1}))=(x-2)\cdot (x+2)\cdot(x-1)\cdot (x+1)$.
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Hallo @Ramonkos,
danke für den Hinweis. Wir arbeiten stetig an der Verbesserung unserer Inhalte und freuen uns immer über Feedback.
Liebe Grüße aus der Redaktion
8:49 Warum kann oder soll man das Polynom durch (x - 1) teilen?
Dazu fehlt die Erklärung...
Wenn x = 1 ist, dann ist (x - 1) = 0
@Mehmet Fazilson: Hallo,
Nullstellen kannst du durch erraten finden, meist sind die Aufgaben so gemacht, dass man sie bei -2, -1, 0, 1, 2 finden kann oder es ist schon eine Nullstelle gegeben. Du kannst die p-q-Formel erst verwenden, wenn du die Gleichung in die Normalform gebracht hast.
Wenn du keine Nullstelle finden kannst, kannst du nicht weiter rechnen.
Viel Erfolg beim Lernen wünscht sofatutor!
Hallo,
Nullstellen kannst du durch erraten finden, meist sind die Aufgaben so gemacht, dass man sie bei -2, -1, 0, 1, 2 finden kann oder es ist schon eine Nullstelle gegeben. Du kannst die p-q-Formel erst verwenden, wenn du die Gleichung in die Normalform gebracht hast.
Wenn du keine Nullstelle finden kannst, kannst du nicht weiter rechnen.
Viel Erfolg beim Lernen wünscht sofatutor!
in min 8:26 wird geagt dass man nach einer nullstelle sucht und mit 1 glück hätte
was wird da benötigt sollte man die p q formel anwenden wenn man kein glück hat oder wie?
das hab ich nich ganz verstanden hoffe dass mir jemand helfen kann...