Dritte binomische Formel

Dritte binomische Formel Übung

• Bestimme die Seitenlängen und Flächeninhalte.

  Tipps

  Multipliziere die Klammer aus und fasse die Terme zusammen.

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt seiner Seitenlängen.

  Der Flächeninhalt eines Quadrates ist das Quadrat seiner Seitenlänge.

  Lösung

  Im Bild siehst du eine Figur, in der ein grün umrandetes Quadrat der Seitenlänge $a$ erkennbar ist und ein schwarz umrandetes Quadrat der Seitenlänge $b$. Der Flächeninhalt $A$ eines Quadrates ist das Quadrat seiner Seitenlänge. Für das grün umrandete Quadrat ist der Flächeninhalt daher $A = a^2$, der Flächeninhalt des schwarzen Quadrats ist $A = b^2$.

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt seiner beiden verschiedenen Seitenlängen. Das Rechteck auf der linken Seite der Figur hat die Seitenlängen $(a+b)$ und $(a-b)$ und folglich den Flächeninhalt $A=(a+b) \cdot (a-b)$. Der Flächeninhalt des Rechtecks lässt sich direkt mit dem des grün umrandeten Quadrates vergleichen: Das untere Rechteck mit den Seitenlängen $(a-b)$ und $b$ und das schwarz umrandete Quadrat bilden zusammen ein Rechteck der Seitenlängen $a$ und $b$. Dieses Rechteck passt genau in das gestrichelt umrandete Feld oben rechts. Das so verschobene Rechteck bildet mit dem oberen Teil des Rechtecks zusammen das grün umrandete Quadrat.

  Der Flächeninhalt des grün umrandeten Quadrates ist daher genau um den Flächeninhalt des schwarz umrandeten Quadrates größer als der des Rechtecks links. In Formeln bedeutet das:

  $ a^2 = (a+b) \cdot (a-b) + b^2 $

  Die Auflösung dieser Gleichung nach dem Flächeninhalt des linken Rechtecks ist die dritte binomische Formel:

  $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$

• Berechne die Terme.

  Tipps

  Du kannst die Klammern Term für Term ausmultiplizieren. Lässt du alle Terme weg, die einander aufheben, so bleibt nur die Differenz zweier Quadrate übrig.

  Enthält keiner der Faktoren ein Minuszeichen, so kann auch das Produkt kein Minuszeichen enthalten.

  Hier ist eine Beispielrechnung:

  $\begin{array}{rcl} (2x+3y) \cdot (2x-3y) &=& 2x \cdot 2x + 2x \cdot (-3y) + 3y \cdot 2x + 3y \cdot (-3y) \\ &=& (2x)^2 - (3y)^2 \\ &=& 4x^2 -9y^2 \end{array}$

  Lösung

  Die dritte binomische Formel erhältst du durch Ausmultiplizieren des Produktes einer Summe und Differenz derselben Seitenlängen:

  $(a+b) \cdot (a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) + b \cdot a + b \cdot (-b) = a^2 - b^2$

  Diese Formel kannst du in vielen verschiedenen Rechnungen wiedererkennen, indem du für $a$ und $b$ passende Terme einsetzt. Hier erhältst du folgende Gleichungen:

  • $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$: Dies ist genau die dritte binomische Formel. Du erhältst sie wie oben durch Ausmultiplizieren der Klammern.

  • $(6x+15y) \cdot (6x-15y) = 36x^2-225y^2$: Du erhältst diese Gleichung durch Einsetzen von $a=6x$ und $b=15y$ in die dritte binomische Formel.

  • $(a+b) \cdot (a+b) = a^2+2ab+b^2$: Diese Gleichung ist die erste binomische Formel. Du findest sie durch Ausmultiplizieren der Klammern:

  $\qquad (a+b) \cdot (a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2+2ab+b^2$

  • $(6x-15y) \cdot (6x-15y) = 36x^2-180xy+225y^2$: Dies ist eine Anwendung der zweiten binomischen Formel mit $a=6x$ und $b=15y$. Du kannst die Klammern aber auch direkt ausmultiplizieren und findest dann:

  $\begin{array}{lcl} \qquad (6x-15y) \cdot (6x-15y) &=& 6x \cdot 6x + 6x \cdot (-15y) + (-15y) \cdot 6x + (-15y) \cdot (-15y) \\ &=& (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 15y + (15y)^2 \\ &=& 36x^2 - 180xy + 225y^2 \end{array}$

• Wende die dritte binomische Formel rückwärts an.

  Tipps

  Zu jeder Differenz von Quadraten gehört eine Summe und eine Diffferenz derselben Terme.

  Das Quadrat des Subtrahenden aus dem Differenz-Faktor ist der Subtrahend der Differenz der Quadrate.

  Hier ist eine beispielhafte Anwendung der dritten binomischen Formel: Für $a = y$ und $b = 3x$ gilt:

  $(y+3x) \cdot (y-3x) = y^2 -(3x)^2= y^2 - 9x^2$

  Lösung

  Liest du die dritte binomische Formel als Faktorisierung einer Differenz von Quadraten, so kannst du die Faktoren direkt aus den Quadraten ablesen. Ein Faktor ist eine Summe, der andere eine Differenz. Die Terme, aus denen die Summe und Differenz gebildet werden, sind dieselben wie die, deren Quadrate in der Formel vorkommen (also z.B. $a$ und $b$ in der ursprünglichen Formulierung der dritten binomischen Formel). Du musst also nur noch das Vorzeichen richtig einsetzen: Es steht in dem Faktor, der eine Differenz ist, vor dem Term, dessen Quadrat (auf der anderen Seite der Gleichung) ebenfalls ein negatives Vorzeichen hat.

  Willst du z.B. die Differenz $y^2 -x^2$ faktorisieren, so sind die Faktoren eine Summe und eine Differenz aus $x$ und $y$. Das negative Vorzeichen in der Differenz steht vor dem Term, dessen Quadrat in der Differenz $y^2-x^2$ ebenfalls ein negatives Vorzeichen hat, also vor $x$. Damit ist also:

  $y^2 - x^2 = (y+x) \cdot (y-x)$

  Auf diese Weise findest du folgende Faktorisierungen:

  • $9y^2 -4x^2 = (3y+2x) \cdot (3y-2x)$

  • $25x^2 - 4y^2 = (5x+2y) \cdot (5x-2y)$

  • $36x^2 - 16y^2 = (6x-4y) \cdot (6x+4y)$

  • $y^2 - 25x^2 = (y+5x) \cdot (y-5x)$

• Wende die dritte binomische Formel an, selbst wenn die Reihenfolge der Terme „vertauscht“ ist.

  Tipps

  Auf der rechten Seite der dritten binomischen Formel steht das negative Vorzeichen vor dem Quadrat des Subtrahenden in der zweiten Klammer der linken Seite::

  $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$

  Vertauschst du die Rollen von $a$ und $b$ auf der linken Seite der dritten binomischen Formel, so kehren sich auf der rechten Seite alle Vorzeichen um.

  Hier ist eine Beispielrechnung:

  $(2u -3v) \cdot (3v+2u) = (2u)^2 - (3v)^2 = 4u^2 - 9v^2$

  Lösung

  Bei der Anwendung der dritten binomischen Formel musst du genau beachten, an welcher Stelle das negative Vorzeichen in dem Produkt der Klammern auf der linken Seite der Gleichung steht. Auf der rechten Seite steht das negative Vorzeichen vor dem Quadrat des Terms, vor dem auf der linken Seite das negative Vorzeichen steht.

  In der einfachsten Form lautet die dritte binomische Formel:

  $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$

  Du kannst aber auf der linken Seite in der ersten Klammer auch die Reihenfolge der Summanden vertauschen. Verkehrst du in der zweiten Klammer die Rollen von Minuend und Subtrahend, so musst du dasselbe auch auf der rechten Seite tun. Diese Umformung ergibt dasselbe, wie beide Seiten der Gleichung durch ihr Negatives zu ersetzen. Außerdem kannst du die Reihenfolge der Faktoren auf der linken Seite verkehren, ohne dass sich die rechte Seite ändert.

  Erkennst du in jeder dieser Umformungen die Terme der dritten binomischen Formel wieder, so bist du für die Anwendung in dieser Aufgabe gut gewappnet. Du findest dann folgende vollständige Gleichungen:

  $\begin{array}{lll} (12x-3y) \cdot (12x+3y) &=& 144 \cdot x^2 - 9 \cdot y^2 \\ \\ (3x+12y) \cdot (3x-12y) &=& 9 \cdot x^2 - 144 \cdot y^2 \\ \\ (12x+9y) \cdot (9y-12x) &=& 81 \cdot y^2 -144 \cdot x^2 \end{array}$

• Berechne die Terme.

  Tipps

  Beachte die Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

  Das Quadrat eines Produktes ist das Produkt der Quadrate, d.h. $(3a)^2 = 3^3 \cdot a^2 = 9a^2$

  Enthält genau einer der Faktoren ein Minuszeichen, so enthält auch das Produkt ein Minuszeichen.

  Lösung

  Bei der Multiplikation der Terme kannst du das Kommutativgesetz der Multiplikation verwenden und die Reihenfolge der Faktoren in Produkten vertauschen. Wenn du dann noch die Regel Minus mal Minus ergibt Plus beachtest, kann beim Ausmultiplizieren nicht mehr viel schief gehen. Du erhältst dann folgende Produkte (mit Zwischenschritten):

  • $6x \cdot 6x = 6 \cdot 6 \cdot x \cdot x = 36x^2$
  • $6x \cdot (-15y) = 6 \cdot (-15) \cdot x \cdot y = -90xy$
  • $(-15y) \cdot (-15y) = (-15) \cdot (-15) \cdot y \cdot y = 225 y^2$
  • $15y \cdot 6x = 15 \cdot 6 \cdot y \cdot x = 90xy$

• Prüfe die Formeln.

  Tipps

  Setzt du in der dritten binomischen Formel $a= \sqrt{x}$ und $b=\sqrt{y}$ ein, so erhältst du:

  $(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \cdot (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x-y$

  Lösung

  Du kannst alle Gleichungen beurteilen, indem du sie mit der dritten binomischen Formel vergleichst und die passenden Terme für $a$ und $b$ suchst. Diese Formel lautet:

  $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$

  Folgende Gleichungen sind richtig:

  • $(-a-b) \cdot (-a+b) = a^2-b^2$: Du kannst hier entweder in der dritten binomischen Formel $a$ durch $-a$ und $b$ durch $-b$ ersetzen oder aus dem rechten Faktor $(-1)$ ausklammern. Im letzteren Fall erhältst du:

  $\begin{array}{lll} \qquad (-a-b) \cdot (-a+b) &=& (-1) \cdot (a+b) \cdot (-a+b) \\ &=& (-1) \cdot (b+a) \cdot (b-a) \\ &=& (-1) \cdot (b^2-a^2) \\ &=& a^2 - b^2 \end{array}$

  • $(x^2+3y) \cdot (x^2-3y) = x^4 - 9y^2$: Hier kannst du $a=x^2$ und $b=3y$ in die dritte binomische Formel einsetzen und erhältst:

  $\begin{array}{lll} \qquad (x^2+3y) \cdot (x^2-3y) &=& (x^2)^2 - (3y)^2 \\ &=& x^4 -9y^2 \end{array}$

  • $(\sqrt{x}-1) \cdot (\sqrt{x}+1) = x-1$: In diesem Fall setzt du $a=\sqrt{x}$ und $b=1$ ein und findest:

  $\begin{array}{lll} \qquad (\sqrt{x}-1) \cdot (\sqrt{x}+1) &=& (\sqrt{x})^2 -1^2 \\ &=& x-1 \end{array}$

  Folgende Gleichungen sind falsch:

  • $(a+b) \cdot (b-a) \neq a^2 - b^2$: Nach der dritten binomischen Formel gilt:

  $\begin{array}{lll} \qquad (a+b) \cdot (b-a) &=& (b+a) \cdot (b-a) \\ &=& b^2 - a^2 \\ &\neq& a^2 - b^2 \end{array}$

  • $(x+ 3y) \cdot (x-3y) \neq x^2-3y^2$: Nach der dritten binomischen Formel mit $a=x$ und $b=3y$ folgt:

  $\begin{array}{lll} \qquad (x+ 3y) \cdot (x-3y) &=& x^2 - (3y)^2 \\ &=& x^2 - 9y^2 \\ &\neq & x^2-3y^2 \end{array}$