Lineare Gleichungen

Was ist eine lineare Gleichung?

In einer linearen Gleichung kommt die Variable $x$ linear vor. Das bedeutet, dass $x$ mit dem Exponenten $1$ vorkommt. Durch Termumformungen kannst du eine lineare Gleichung umstellen. Dadurch kannst du die Gleichung beispielsweise in die Form$m\cdot x+n=0$ bringen. Dabei muss $m\neq 0$ gelten.

Du wirst im Folgenden sehen, wie du eine solche Gleichung aufstellen und lösen kannst.

Dabei bedeutet das „Lösen einer Gleichung“, dass du einen Wert für $x$ findest, der die Gleichung zu einer wahren Aussage führt.

Aufstellen einer linearen Gleichung

Wie du eine Gleichung aufstellen kannst, schauen wir uns an einem Beispiel an: Paul möchte einen neuen Handyvertrag abschließen. Die Grundgebühren betragen $19~€$. Für jede Minute muss Paul $0,20~€$ bezahlen. Wie viele Minuten kann Paul telefonieren, wenn er insgesamt $25~€$ zur Verfügung hat?

Die unbekannte Anzahl der Minuten sei $x$. Du erhältst dann die folgende Gleichung $0,2~€\cdot x+19~€=25~€$. Auf der linken Seite stehen dabei die Kosten für $x$ telefonierte Minuten.

Lösen einer linearen Gleichung

Wir lösen die Gleichung von Paul weiter unten. Zunächst schauen wir uns die lineare Gleichung $x-6=0$ an. Kannst du die Lösung schon sehen? Du kannst in diesem Beispiel eine Lösung $x=6$ durch Probieren finden. Ein anderer Weg ist der, dass du „rückwärts“ rechnest.

Mathematisch ausgedrückt führst du Äquivalenzumformungen durch. Was sind Äquivalenzumformungen? Dies sind

• Termumformungen,
• die Additon oder die Subtraktion eines Terms oder einer Zahl auf beiden Seiten der Gleichung sowie
• die Multiplikation oder Division mit einem Term oder einer Zahl ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.

Bei der Gleichung $x-6 = 0$ erhältst du durch eine Addition von $6$ auf beiden Seiten $x = 6$.

Nun kannst du die obige Gleichung mit Pauls Telefoneinheiten wie folgt lösen:

$\begin{array}{rclll} 0,2~€\cdot x+19~€&=&25~€&|&-19~€\\ 0,2~€\cdot x&=&6~€&|&:0,2~€\\ x&=&30 \end{array}$

Paul kann also insgesamt $30$ Minuten telefonieren.