Variablen und Terme

Was sind Variablen?

In einem Rechenausdruck (auch Term genannt) kommen oft Variablen vor. Für diese kannst du verschiedene Zahlen einsetzen.

Andere Bezeichnungen für Variablen sind Veränderliche oder Platzhalter.

Häufig werden für Variablen die Kleinbuchstaben $x$ oder $y$ verwendet. Du kannst natürlich auch andere Buchstaben verwenden. Schau dir ein Beispiel an: $x+3$ ist ein Term. Dabei ist $x$ eine Variable und $3$ eine Zahl. Die Zahl verändert sich nicht. Für $x$ kannst du eine beliebige Zahl einsetzen.

Wo kommen Variablen vor?

Variablen verwendest du zum Beispiel dann, wenn du eine unbekannte Größe bestimmen möchtest. Das kennst du eventuell bereits aus Textaufgaben.

Bei der Beschriftung in der Geometrie (zum Beispiel bei Dreiecken) benutzt du die Kleinbuchstaben $a$, $b$ und $c$ für die Seiten des Dreiecks. Die griechischen Buchstaben $\alpha$ (alpha für $a$), $\beta$ (beta für $b$) und $\gamma$ (gamma für $c$) werden für die Winkel verwendet.

Variablen kommen auch in Formeln vor. Zum Beispiel lautet die Formel für den Umfang $u$ eines Kreises $u=2\cdot \pi\cdot r$. Hier kommen die Variablen $u$ für den Umfang und $r$ für den Radius des Kreises vor. Übrigens: $\pi$ ist die sogenannte Kreiszahl $\pi=3,141592…$.

Hinweis: Einen Platzhalter wie $\pi$, der immer denselben Wert hat, wird als Konstante bezeichnet. In einigen Definitionen werden Konstanten als Unterkategorie von Variablen erwähnt. In diesem Text sind mit Variablen jedoch nur solche gemeint, bei denen der Wert nicht immer derselbe ist.

Was ist ein Term?

Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck. Terme kommen in vielen mathematischen Zusammenhängen vor.

Ein Beispiel sind Textaufgaben. Bei diesen musst du aus einem Text Informationen herauslesen, die dir dabei helfen, unbekannte Größen zu bestimmen. Diesen Unbekannten ordnest du nun Variablen zu. Die Informationen kannst du in Terme „übersetzen“.

Aufstellen von Termen

Um Terme aufstellen zu können, „übersetzt“ du oft Informationen aus einem Text. Dies kannst du hier an verschiedenen Beispielen sehen. Dabei wird immer zuerst der Satz bzw. Text und anschließend die mathematische „Übersetzung“ festgehalten.

Die Summe oder die Addition zweier Zahlen

• „Addiere du zu einer unbekannten Zahl $5$.“
• $x+5$

Das Doppelte einer Zahl

• „Das Doppelte einer Zahl verringert um 3“
• $2\cdot x-3$

Umformen von Termen und Rechnen mit Termen

Eng zusammen mit dem Begriff eines „Terms“ stehen die Begriffe Termumformungen und mit Termen rechnen.

Hierfür benötigst du unter anderem das Zusammenfassen von gleichartigen Termen, das Vertauschen von Termen bei der Addition oder Multiplikation (Kommutativgesetz), das Ausmultiplizieren von Klammertermen (Distributivgesetz), das Ausklammern sowie die binomischen Formeln als Sonderfälle des Ausmultiplizierens.

Abschließend schauen wir uns ein Beispiel an. Vereinfache den Term $2(x-1)^{2}+5x-x(2x+3)$:

$\begin{array}{llll} &2(x-1)^{2}+5x-x(2x+3)&|&\text{2. binomische Formel}\\ =&2(x^{2}-2x+1)+5x-x(2x+3)&|&\text{Ausmultiplizieren}\\ =&2x^{2}-4x+2+5x-2x^{2}-3x&|&\text{Kommutativgesetz}\\ =&2x^{2}-2x^{2}-4x+5x-3x+2&|&\text{Zusammenfassen gleichartiger Terme} =&-2x+2\end{array}$

Den Term $-2x+2$ kannst du auch als $2-2x$ schreiben. Ansonsten lässt er sich nicht weiter vereinfachen.