Biquadratische Gleichungen
In biquadratischen Gleichungen stehen Potenzen wie $x^{4}$ und $x^{2}$. Man lernt, sie durch Substitution zu lösen, die quadratische Gleichung mit der $pq$-Formel oder Mitternachtsformel zu lösen und danach wieder einzusetzen. Interessiert? Das und vieles andere findest du im folgenden Text.
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Lerntext zum Thema Biquadratische Gleichungen
Biquadratische Gleichungen – Definition
Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen die $x$-Potenzen $x^{4}$ und $x^{2}$ vorkommen. Sie unterscheiden sich von den quadratischen Gleichungen, deren höchste Potenz $x^{2}$ ist.
So sieht eine biquadratische Gleichung aus:
$ax^{4} + bx^{2} + c = 0$
Biquadratische Gleichungen sind somit Spezialfälle von allgemeinen Gleichungen vierten Grads ($ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0$), die keine $x^{3}$ und $x^{1}$ Potenzen enthalten. Biquadratisch heißt frei übersetzt doppelt quadratisch. Der Name deutet also darauf hin, dass bei einer biquadratischen Gleichung die Summanden einer quadratischen Gleichung, die ein $x$ enthalten, gewissermaßen noch einmal quadriert werden:
$ax^{2} + bx + c = 0 \Rightarrow a(x^{2})^{2} + b(x)^{2} + c = 0 \Rightarrow ax^{4} + bx^{2} + c = 0$
Beispiele für biquadratische Gleichungen
$x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0$
$x^{4} - 2x^{2} + 34 = 0$
Biquadratische Gleichungen durch Substitution lösen
Biquadratische Gleichungen lassen sich mit dem Prinzip der Substitution in drei Schritten lösen.
Schritt 1: Substitution
Bei der Substitution wird jedes $x^{2}$ in einer biquadratischen Gleichung durch eine andere Variable, beispielsweise ein $z$, ersetzt. Es gilt dann also $x^{2}=z$.
Beispiel:
$x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0$
$z^{2} - 10z + 9 = 0$
$x^{4}$ entspricht $(x^{2})^{2}$, deshalb wird aus $x^{4}$ bei der Substitution $x^{2}$.
Die durch die Substitution entstandene Gleichung lässt sich als quadratische Gleichung mit der $pq$-Formel oder der Mitternachtsformel lösen.
Schritt 2: $pq$-Formel oder Mitternachtsformel
Wir ermitteln an dieser Stelle die Werte $p$ und $q$, um die $pq$-Formel anzuwenden.
$z^{2} – 10z + 9 = 0$
$p = -10$
$q = 9$
Diese Werte setzen wir in die $pq$-Formel ein, um die Gleichung zu lösen.
$z_{1,2} = \frac{10}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{10}{2} \right)^{2} -9 }$
$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ \left(-5 \right)^{2} -9 }$
$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 25 -9 }$
$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 16 }$
$z_{1,2} = 5 \pm 4$
Du erhältst folgende Werte für $z$:
$z_{1} = 9$
$z_{2} = 1$
Mit der $pq$-Formel lassen sich quadratische Gleichungen lösen, die in der Normalform stehen.
$x^{2} + px + q = 0$
Für eine Gleichung, die nicht in der Normalform steht, kannst du die Mitternachtsformel verwenden.
Schritt 3: Resubstitution
Um die biquadratische Gleichung zu lösen, wird im dritten Schritt die Substitution durch eine Resubstitution rückgängig gemacht. Aus $z$ wird wieder $x^{2}$.
$z_{1} = 9 \Rightarrow x^{2} = 9$
$z_{2} = 1 \Rightarrow x^{2} = 1$
Du erhältst folgende Lösungen für $x$:
$ x^{2} = 9 \Rightarrow x_{1} = 3$ und $x_{2} = -3$
$ x^{2} = 1 \Rightarrow x_{3} = 1$ und $x_{4} = -1$
Diese biquadratische Gleichung hat vier Lösungen. Das trifft jedoch nicht auf alle biquadratischen Gleichungen zu.
Biquadratische Gleichungen – Beispiele und Sonderfälle
Es gibt Sonderfälle, bei denen eine biquadratische Gleichung weniger als vier Lösungen hat.
Biquadratische Gleichungen mit zwei Lösungen
Eine biquadratische Gleichung hat zwei Lösungen, wenn einer der Werte für $z$ negativ ist.
Beispiel:
$x^{4} - 10x^{2} - 11 = 0$
Durch die Substitution $x^{2}=z$ erhältst du:
$z^{2} - 10z - 11 = 0$
Jetzt wendest du die $pq$-Formel an:
$z_{1,2} = \frac{10}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{10}{2} \right)^{2} - (-11) }$
$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 25 + 11 }$
$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 36 }$
Du erhältst folgende Werte für $z$:
$z_{1} = 11 \Rightarrow x^{2} = 11$
$z_{2} = -1 \Rightarrow x^{2} = -1$
Daraus ergeben sich nach der Resubstitution folgende $x$-Werte für $z_{1}$:
$x_{1} = \sqrt{11} \text{ und } x_{2} = -\sqrt{11}$
Da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann, kannst du allerdings für $z_{2}=-1$ keine Werte erhalten. Die biquadratische Gleichung $x^{4} - 10x^{2} - 11 = 0$ hat deshalb nur zwei Lösungen.
Biquadratische Gleichungen mit keiner Lösung
Eine biquadratische Gleichung hat keine Lösung, wenn bereits in der $pq$-Formel unter der Wurzel eine negative Zahl steht.
Beispiel:
$x^{4} - 2x^{2} + 34 = 0$
Substitution:
$z^{2} - 2z + 34 = 0$
$pq$-Formel:
$z_{1,2} = \frac{2}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{2}{2} \right)^{2} -34 }$
$z_{1,2} = 1 \pm \sqrt{ 4 -34 }$
$z_{1,2} = 1 \pm \sqrt{ -30 }$
Die Gleichung hat keine Lösung, da aus einer negativen Zahl im Bereich der reellen Zahlen keine Wurzel gezogen werden kann.
Biquadratische Gleichungen – Zusammenfassung
In biquadratischen Gleichungen kommen die $x$-Potenzen $x^{4}$ und $x^{2}$ vor.
$ax^{4} + bx^{2} + c = 0$
Du kannst biquadratische Gleichungen mithilfe der Substitution in drei Schritten lösen:
- Substitution
- Lösen der Gleichung mit der $pq$-Formel oder der Mitternachtsformel
- Resubstitution
Biquadratische Gleichungen können bis zu vier Lösungen haben. Wenn beim Lösen der substituierten Gleichung $z^{2} + pz + q = 0$ unter der Wurzel eine negative Zahl steht, hat die biquadratische Gleichung keine Lösung.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Biquadratische Gleichungen
Biquadratische Gleichungen Übung
-
Bei welchen Gleichungen handelt es sich um biquadratischen Gleichungen?
TippsBiquadratisch heißt in etwa doppelt quadratisch.
Drei der angegebenen Gleichungen sind biquadratisch.
Biquadratische Gleichungen haben im Allgemeinen die Form:
$ax^{4} + bx^{2} + c = 0$
LösungBiquadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen die $x$-Potenzen $x^{4}$ und $x^{2}$ und ein absolutes Glied vorkommen.
Die folgenden Gleichungen sind biquadratische Gleichungen:
$x^{4} - 9x^{2} + 90 = 0$
$100x^{4} - 99x^{2} + 98 = 0$
$23x^{4} + 2x^{2} + 3 = 0$
Die folgenden Gleichungen sind keine biquadratischen Gleichungen:
$x^{4} - 2x^{3} + 1 = 0$
$4x^{5} - 4x^{2} + 16 = 0$
$444x^{3} - 22xx^{2} + 11 = 0$
-
Welche Aussagen über biquadratische Gleichungen sind richtig?
TippsZwei Aussagen sind richtig.
Schau dir die Formulierungen genau an.
LösungDiese Aussagen über biquadratische Gleichungen sind richtig:
- Bei der Substitution wird jedes $x^{2}$ in einer biquadratischen Gleichung durch eine andere Variable, beispielsweise ein $z$ ersetzt.
- Die durch die Substitution entstandene Gleichung lässt sich als quadratische Gleichung mit der $pq$-Formel oder der Mitternachtsformel lösen.
-
Bringe die Schritte zur Lösung der biquadratischen Gleichung in die richtige Reihenfolge.
TippsDie drei Schritte zur Lösung einer biquadratischen Gleichung sind:
- Substitution
- Anwenden der $pq$-Formel oder der Mitternachtsformel
- Resubstitution
LösungBiquadratische Gleichungen lassen sich mit dem Prinzip der Substitution in drei Schritten lösen.
Schritt 1: Substitution
Bei der Substitution wird jedes $x^{2}$ in einer biquadratischen Gleichung durch eine andere Variable, beispielsweise ein $z$ ersetzt. Es gilt dann also $x^{2}=z$.
$x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0$
$z^{2} - 10z + 9 = 0$
$x^{4}$ entspricht $(x^{2})^{2}$, deshalb wird aus $x^{4}$ bei der Substitution $x^{2}$.
Die durch die Substitution entstandene Gleichung lässt sich als quadratische Gleichung mit der $pq$-Formel oder der Mitternachtsformel lösen.
Schritt 2: $pq$-Formel oder Mitternachtsformel
Du ermittelst die Werte $p$ und $q$, um die $pq$-Formel anzuwenden.
$z^{2} - 10z + 9 = 0$
$p = -10$ $q = 9$
Diese Werte setzt du in die $pq$-Formel ein, um die Gleichung zu lösen.
$z_{1,2} = \frac{10}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{10}{2} \right)^{2} -9 }$
$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ \left(-5 \right)^{2} -9 }$
$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 25 -9 }$
$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 16 }$
$z_{1,2} = 5 \pm 4$
Du erhältst folgende Werte für $z$:
$z_{1} = 9$
$z_{2} = 1$
Schritt 3: Resubstitution
Um die biquadratische Gleichung zu lösen, machst du im dritten Schritt die Substitution durch eine Resubstitution rückgängig. Aus $z$ wird wieder $x^{2}$.
<p>$z_{1} = 9 \Rightarrow x^{2} = 9$</p> <p>$z_{2} = 1 \Rightarrow x^{2} = 1$</p>
Du erhältst folgende Lösungen für $x$:
<p>$ x^{2} = 9 \Rightarrow x_{1} = 3$ und $x_{2} = -3$</p>
<p>$ x^{2} = 1 \Rightarrow x_{3} = 1$ und $x_{4} = -1$</p>
Diese biquadratische Gleichung hat vier Lösungen.
-
Verbinde die biquadratische Gleichung mit der passenden substituierten Gleichung.
TippsÜberlege, welcher Teil der Gleichung sich bei der Substitution verändert.
Lösung1.
$x^{4} - 7x^{2} + 12 = 0$
Durch Substitution erhältst du diese Gleichung:
$z^{2} - 7z + 12 = 0$
2.
$2x^{4} - 18x^{2} + 3 = 0$
Durch Substitution erhältst du diese Gleichung:
$2z^{2} - 18z + 3 = 0$
3.
$9x^{4} - 25x^{2} + 81 = 0$
Durch Substitution erhältst du diese Gleichung:
$9z^{2} - 25z + 81 = 0$
4.
$x^{4} - 36x^{2} + 36 = 0$
Durch Substitution erhältst du diese Gleichung:
$z^{2} - 36z + 36 = 0$
-
Löse die biquadratische Gleichung.
TippsDiese biquadratische Gleichung hat zwei Lösungen.
Die gleiche Zahl kann an mehreren Stellen richtig sein.
Lösung$x^{4} - 10x^{2} - 11 = 0$
Durch die Substitution $x^{2}=z$ erhältst du:
$z^{2} - 10z - 11 = 0$
Jetzt wendest du die $pq$-Formel an:
$z_{1,2} = \frac{10}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{10}{2} \right)^{2} - (-11) }$
$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 25 + 11 }$
$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 36 }$
Du erhältst folgende Werte für $z$:
$z_{1} = 11 \Rightarrow x^{2} = 11$
$z_{2} = -1 \Rightarrow x^{2} = -1$
Daraus ergeben sich nach der Resubstitution folgende $x$-Werte für $z_{1}$:
$x_{1} = \sqrt{11}$ und $x_{2} = -\sqrt{11}$
Da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann, kannst du für $z_{2}=-1$ keine Werte erhalten.
Die biquadratische Gleichung $x^{4} - 10x^{2} - 11 = 0$ hat deshalb nur zwei Lösungen.
Eine biquadratische Gleichung hat zwei Lösungen, wenn einer der Werte für $z$ negativ ist.
-
Treffen die Elemente auf biquadratische Gleichungen mit keiner, mit zwei oder mit vier Lösungen zu?
TippsAchte auf negative Zahlen und überlege, wie diese im weiteren Verlauf der Rechnung die Anzahl der Lösungen beeinflussen kann.
LösungEine biquadratische Gleichung hat vier Lösungen, wenn beide Werte für $z$ positiv sind.
Beispiel:
$2x^{4} - 20x^{2} + 18 = 0$
$2z^{2} - 20z + 18 = 0 \vert :2$
$z^{2} - 10z + 9 = 0$
$p = -10$
$q = 9$
$z_{1,2} = \frac{10}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{10}{2} \right)^{2} -9 }$
$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ \left(-5 \right)^{2} -9 }$
$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 25 -9 }$
$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 16 }$
$z_{1,2} = 5 \pm 4$
$z_{1} = 9$
$z_{2} = 1$
$z_{1} = 9 \Rightarrow x^{2} = 9$
$z_{2} = 1 \Rightarrow x^{2} = 1$
$ x^{2} = 9 \Rightarrow x_{1} = 3$ und $x_{2} = -3$
$ x^{2} = 1 \Rightarrow x_{3} = 1$ und $x_{4} = -1$
Eine biquadratische Gleichung hat zwei Lösungen, wenn einer der Werte für $z$ negativ ist.
Beispiel:
$x^{4} - 4x^{2} - 12 = 0$
$z^{2} - 4z - 12 = 0$
$p = -4$
$q = -12$
$z_{1,2} = \frac{4}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{4}{2} \right)^{2} + 12 }$
$z_{1,2} = 2 \pm \sqrt{ \left(-2 \right)^{2} + 12 }$
$z_{1,2} = 2 \pm \sqrt{ 4 + 12 }$
$z_{1,2} = 2 \pm \sqrt{ 16 }$
$z_{1,2} = 2 \pm 4$
$z_{1} = 6$
$z_{2} = -2$
$z_{1} = 6 \Rightarrow x^{2} = 6$
$ x^{2} = 6 \Rightarrow x_{1} = \sqrt{6}$ und $x_{2} = -\sqrt{6}$
Eine biquadratische Gleichung hat keine Lösung, wenn bereits in der $pq$-Formel unter der Wurzel eine negative Zahl steht und du daher keine Ergebnisse für $z$ erhältst.
Beispiel:
$x^{4} - 6x^{2} + 10 = 0$
$z^{2} - 6z + 10 = 0$
$p = -6$
$q = 10$
$z_{1,2} = \frac{6}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{6}{2} \right)^{2} -10 }$
$z_{1,2} = \frac{6}{2} \pm \sqrt{ -1 }$
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