Trigonometrische Gleichungen

Was sind trigonometrische Gleichungen?

In trigonometrischen Gleichungen kommt die Variable $x$ als Argument einer trigonometrischen Funktion vor. Diese sind beispielsweise Gleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens.

Hier siehst du ein Beispiel für eine trigonometrische Gleichung:

$\sin(2x)-2=-2,5$.

Beachte beim Behandeln von trigonometrischen Gleichungen, ob die Variable im Winkelmaß oder im Bogenmaß vorliegt. Je nachdem musst du deinen Taschenrechner einstellen: $D$ für DEG (Winkelmaß) oder $R$ für RAD (Bogenmaß).

Im Folgenden wird das Winkelmaß verwendet.

Lösen von Gleichungen mit Sinus oder Cosinus

Beim Lösen von Gleichungen mit Sinus oder Cosinus gehst du wie folgt vor:

1. Du isolierst den Term, in dem Sinus bzw. Cosinus vorkommt.
2. Dann wendest du die entsprechende Umkehrfunktion an.
3. Du bestimmst die Lösungsmenge.

Für den zweiten Schritt verwendest du den Taschenrechner. Die Umkehrfunktion von Sinus ist der Arkussinus, die von Cosinus der Arkuscosinus. Diese findest du in den meisten Fällen über den entsprechenden Tasten deines Taschenrechners. Die Beschriftungen lauten $\sin^{-1}$ bzw. $\cos^{-1}$.

Sinus

Im Folgenden siehst du ein Beispiel: Du sollst die obige Gleichung $\sin(2x)-2=-2,5$ lösen. Dabei soll $x\in I=\left[-90^\circ;90^\circ\right]$ liegen.

$\begin{array}{rclll} \sin(2x)-2&=&-2,5&|&+2\\ \sin(2x)&=&-0,5&|&\sin^{-1}(~~~)\\ 2x&=&{-30}^\circ&|&:2\\ x&=&{-15}^\circ \end{array}$

Du hast mit $x_{1}={-15}^\circ$ eine Lösung gefunden.

Hier siehst du den grünen Funktionsgraphen der Funktion $y=\sin(2x)-2$. Die gestrichelte Linie verläuft parallel zur $x$-Achse durch $y=-2,5$. Die Schnittstellen des Funktionsgraphen mit dieser Linie sind die gesuchten Lösungen.

Aufgrund der Symmetrie der Sinusfunktion erhältst du eine weitere Lösung. Diese lautet $x_{2}={-90}^\circ+15^\circ={-75}^\circ$. Diese Lösungen sind die einzigen in dem oben angegebenen Intervall. Du kannst diese Lösungen in dem Bild erkennen.

Darüber hinaus kannst du sehen, dass es noch weitere Stellen außerhalb des Intervalls gibt, in denen der Funktionsgraph die gestrichelte Linie schneidet.

Da $\sin(2x)$ eine $180^\circ$-Periodizität aufweist, gibt es unendlich viele Lösungen. Eine weitere Lösung lautet beispielsweise $x_{3} = -15^\circ + 180^\circ = 165^\circ$.

Um alle Lösungen anzugeben, definieren wir eine Variable $k\in\mathbb{Z}$. Für die Lösungen gilt dann:

• $x_{1}^{k}={-15}^\circ+k\cdot 180^\circ$
• $x_{2}^{k}={-75}^\circ+k\cdot 180^\circ$

Hinweis: Das $k$ ist in diesem Fall kein Exponent sondern lediglich eine Nummerierung.

Cosinus

Gesucht sind alle Lösungen der Gleichung $\cos(x)=0,5$. Auch in diesem Beispiel betrachtest du das Intervall $I=\left[-90^\circ;90^\circ\right]$.

Du siehst hier die Cosinusfunktion und eine gestrichelte Parallele zur $x$-Achse durch $y=0,5$. Die Lösungen sind die Schnittstellen der Cosinusfunktion mit dieser Parallelen.

Mit dem Taschenrechner erhältst du $x_{1}=\cos^{-1}(0,5)=60^\circ$. Eine weitere Lösung erhältst du mit der Symmetrie der Cosinusfunktion. Es gilt $x_{2}={-60}^\circ$. Diese beiden Lösungen liegen in dem betrachteten Intervall.

Wie bei der obigen Gleichung kannst du auch dieses Mal weitere Lösungen finden. Die Cosinusfunktion ist $360^\circ$-periodisch. Du erhältst damit die folgenden Lösungen:

• $x_{1}^{k}={60}^\circ+k\cdot 360^\circ$
• $x_{2}^{k}={-60}^\circ+k\cdot 360^\circ$

Wieder ist die Variable $k\in\mathbb{Z}$. Das hochgestellte $k$ dient auch hier der Nummerierung.

Lösen von Gleichungen mit Tangens

Gesucht seien alle Lösungen der Gleichung $2\tan(3x)+1=3$. Isoliere zunächst $\tan(3x)$:

$\begin{array}{rclll} 2\tan(3x)+1&=&3&|&-1\\ 2\tan(3x)&=&2&|&:2\\ \tan(3x)&=&1 \end{array}$

Nun erhältst du mit $3x=\tan^{-1}(1)=45^\circ$ eine Lösung durch den Taschenrechner. Die Tangensfunktion ist $180^\circ$-periodisch. Dies führt insgesamt zu der Lösungsmenge $3x^{k}=45^\circ+k\cdot 180^\circ$. Division durch $3$ führt schließlich zu $x^{k}=15^\circ+k\cdot 60^\circ$ mit $k\in\mathbb{Z}$.

Hinweis: Genau wie oben ist $k$ hier kein Exponent.

Die Additionsthereme

Wenn in einer trigonometrischen Gleichung zum Beispiel ein Term der Form $\sin(x+45^\circ)$ vorkommt, kannst du ein Additionstheorem verwenden, um diesen Term umzuformen.