Gleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens
geometrische Gleichungen, sin x, cos x, tan x, Sinusfunktion, Cosinusfunktion
Inhaltsverzeichnis zum Thema
- Was ist eine trigonometrische Gleichung?
- Lösen von trigonometrischen Gleichungen
- Trigonometrische Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen und demselben Argument
- Trigonometrische Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen und unterschiedlichen Argumenten
Was ist eine trigonometrische Gleichung?
Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, in welcher mindestens eine trigonometrische Funktion Sinus, Cosinus oder Tangens vorkommt.
Um solche Gleichungen zu lösen, benötigst du einen Taschenrechner. Achte darauf, dass dieser auf DEG für degree, also Winkelmaß, eingestellt ist.
Lösen von trigonometrischen Gleichungen
Eine trigonometrische Gleichung ist zum Beispiel durch gegeben. Es werden also alle Werte für gesucht, für welche ist. Schaue dir den Graphen der Funktion an.
- Um eine Lösung der obigen Gleichung zu erhalten, verwendest du auf dem Taschenrechner die Umkehrfunktion von , den Arkussinus oder .
- Eine Lösung der Gleichung ist dann .
- Der Taschenrechner gibt für Gleichungen der Form , mit , immer Werte zwischen und aus.
- Wie du an dem Funktionsgraphen erkennen kannst, gibt es noch eine weitere Lösung. Diese erhältst du, indem du von die vom Taschenrechner ausgegebene Lösung, also , subtrahierst: .
- Das so erhaltene Lösungspaar sowie wird als Basislösung bezeichnet.
- Auf Grund der -Periodizität der Sinusfunktion sind alle Lösungen der Gleichung dann gegeben durch:
, sowie
, .
Ähnlich erhältst du alle Lösungen, wenn auf einer Seite der Gleichung eine negative Zahl steht: .
- Dann ist .
- Die andere Basislösung ist dann .
- Auch hier erhältst du die Lösungsgesamtheit mit Hilfe der Periodizität.
, sowie
, .
- Der Taschenrechner gibt für Gleichungen der Form , mit , immer Werte zwischen und aus.
- Die jeweils andere Basislösung erhältst du durch Vertauschen des Vorzeichens.
- Auch hier kannst du die Lösungsgesamtheit unter Verwendung der Periodizität der Cosinusfunktion angeben.
Beispiel:
Dann ist
.
Nun ist und
, sowie
, .
- Die Tangensfunktion ist -periodisch.
- Der Taschenrechner gibt einen Winkel zwischen sowie aus. (Beachte, dass der Tangens weder für noch für definiert ist.)
Beispiel:
- Die Taschenrechnerlösung ist .
- Die Lösungsgesamtheit ist dann gegeben durch
, .
Trigonometrische Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen und demselben Argument
Wie kannst du trigonometrische Gleichung lösen, in der zwei verschiedene Winkelfunktionen mit demselben Argument vorkommen?
- Zuerst klammerst du aus.
- Ein Produkt wird , wenn einer der Faktoren wird. Also ist entweder oder .
- Die Nullstellen von sind , , also die ungeraden Vielfachen von .
- Nun bleibt noch der zweite Faktor. Wegen , dies ist der trigonometrische Pythagoras, gilt und damit
.
- Diese Gleichung kannst du wie folgt umformen.
- Zu jeder der beiden Lösungen kannst du ebenso wie oben zuerst die fehlende Basislösung bestimmen und damit dann die Lösungsgesamtheit.
Trigonometrische Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen und unterschiedlichen Argumenten
Eine solche Gleichung ist zum Beispiel gegeben durch
.
Hier tauchen nicht nur zwei verschiedene Winkelfunktionen auf, sondern auch noch verschiedene Argumente.
- Zunächst wird
mit Hilfe eines Additionssatzes umgeschrieben:
.
- Damit kann die obige Gleichung wie folgt geschrieben werden:
- Dies ist eine quadratische Funktion in . Wenn du
substituierst, erhältst du die quadratische Gleichung $1-2z\^2-z=0$. * Diese kannst du mit der **p-q-Formel** lösen. Hierfür stellst du die Gleichung um $-2z\^2-z+1=0$ und dividierst durch .
$\quad~~~\begin{array}{rclll} -2z\^2-z+1&=&0&|&:(-2)\\\ z\^2+\frac12z-\frac12&=&0\\\ z_{1,2}&=&-\frac14\pm\sqrt{\frac1{16}+\frac12}\\\ z_1&=&-\frac14+\frac34=\frac12\\\ z_2&=&-\frac14-\frac34=-1 \end{array}$
- Zuletzt resubstituierst du. Du musst also die folgenden Gleichungen lösen:
sowie
.
- Dabei gehst du so vor wie in den obigen Beispielen zu .
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