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Gleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens

geometrische Gleichungen, sin x, cos x, tan x, Sinusfunktion, Cosinusfunktion

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was ist eine trigonometrische Gleichung?

Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, in welcher mindestens eine trigonometrische Funktion Sinus, Cosinus oder Tangens vorkommt.

Um solche Gleichungen zu lösen, benötigst du einen Taschenrechner. Achte darauf, dass dieser auf DEG für degree, also Winkelmaß, eingestellt ist.

Lösen von trigonometrischen Gleichungen

sin(x)=c\sin(x)=c

Eine trigonometrische Gleichung ist zum Beispiel durch sin(x)=0,5\sin(x)=0,5 gegeben. Es werden also alle Werte für xx gesucht, für welche f(x)=sin(x)=0,5f(x)=\sin(x)=0,5 ist. Schaue dir den Graphen der Funktion f(x)=sin(x)f(x)=\sin(x) an.

981_sin(x).jpg

  • Um eine Lösung der obigen Gleichung zu erhalten, verwendest du auf dem Taschenrechner die Umkehrfunktion von sin(x)\sin(x), den Arkussinus sin1\sin^{-1} oder arcsin\arcsin.
  • Eine Lösung der Gleichung ist dann x1=sin1(0,5)=30x_1=sin^{-1}(0,5)=30^\circ.
  • Der Taschenrechner gibt für Gleichungen der Form sin(x)=c\sin(x)=c, mit c[1;1]c\in[-1;1], immer Werte zwischen 90-90^\circ und 9090^\circ aus.
  • Wie du an dem Funktionsgraphen erkennen kannst, gibt es noch eine weitere Lösung. Diese erhältst du, indem du von 180180^\circ die vom Taschenrechner ausgegebene Lösung, also 3030^\circ, subtrahierst: x2=18030=150x_2=180^\circ-30^\circ=150^\circ.
  • Das so erhaltene Lösungspaar x1=30x_1=30^\circ sowie x2=150x_2=150^\circ wird als Basislösung bezeichnet.
  • Auf Grund der 360360^\circ-Periodizität der Sinusfunktion sind alle Lösungen der Gleichung dann gegeben durch:

   x1(k)=30+k360\quad~~~x_1^{(k)}=30^\circ+k\cdot 360^\circ, kZk\in\mathbb{Z} sowie

   x2(k)=150+k360\quad~~~x_2^{(k)}=150^\circ+k\cdot 360^\circ, kZk\in\mathbb{Z}.

Ähnlich erhältst du alle Lösungen, wenn auf einer Seite der Gleichung eine negative Zahl steht: sin(x)=0,5\sin(x)=-0,5.

  • Dann ist x1=sin1(0,5)=30x_1=\sin^{-1}(-0,5)=-30^\circ.
  • Die andere Basislösung ist dann x2=180+30=150x_2=-180^\circ+30^\circ=-150^\circ.
  • Auch hier erhältst du die Lösungsgesamtheit mit Hilfe der Periodizität.

   x1(k)=30k360\quad~~~x_1^{(k)}= -30^\circ-k\cdot 360^\circ, kZk\in\mathbb{Z} sowie

   x2(k)=150k360\quad~~~x_2^{(k)}= -150^\circ-k\cdot 360^\circ, kZk\in\mathbb{Z}.

cos(x)=c\cos(x)=c

  • Der Taschenrechner gibt für Gleichungen der Form cos(x)=c\cos(x)=c, mit c[1;1]c\in[-1;1], immer Werte zwischen 00^\circ und 180180^\circ aus.
  • Die jeweils andere Basislösung erhältst du durch Vertauschen des Vorzeichens.
  • Auch hier kannst du die Lösungsgesamtheit unter Verwendung der Periodizität der Cosinusfunktion angeben.

Beispiel: cos(x)=12\cos(x)=\frac1{\sqrt2}

Dann ist

x1=cos1(12)=45x_1=\cos^{-1}\left(\frac1{\sqrt2}\right)=45^\circ.

Nun ist x2=45x_2=-45^\circ und

   x1(k)=45+k360\quad~~~x_1^{(k)}=45^\circ+k\cdot 360^\circ, kZk\in\mathbb{Z} sowie

   x2(k)=45+k360\quad~~~x_2^{(k)}=-45^\circ+k\cdot 360^\circ, kZk\in\mathbb{Z}.

tan(x)=c\tan(x)=c

  • Die Tangensfunktion ist 180180^\circ-periodisch.
  • Der Taschenrechner gibt einen Winkel zwischen 90-90^\circ sowie 9090^\circ aus. (Beachte, dass der Tangens weder für 9090^\circ noch für 90-90^\circ definiert ist.)

Beispiel: tan(x)=1\tan(x)=1

  • Die Taschenrechnerlösung ist x=tan1(1)=45x=\tan^{-1}(1)=45^\circ.
  • Die Lösungsgesamtheit ist dann gegeben durch

   x(k)=45+k180\quad~~~x^{(k)}=45^\circ+k\cdot 180^\circ, kZk\in\mathbb{Z}.

Trigonometrische Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen und demselben Argument

Wie kannst du trigonometrische Gleichung lösen, in der zwei verschiedene Winkelfunktionen mit demselben Argument vorkommen?

(cos(x))32cos(x)sin2(x)=0(\cos(x))^3-2\cos(x)\cdot \sin^2(x)=0

  • Zuerst klammerst du cos(x)\cos(x) aus.

   cos(x)(cos2(x)2sin2(x))=0\quad~~~\cos(x)\left(\cos^2(x)-2 \sin^2(x)\right)=0

  • Ein Produkt wird 00, wenn einer der Faktoren 00 wird. Also ist entweder cos(x)=0\cos(x)=0 oder cos2(x)2sin2(x)=0\cos^2(x)-2 \sin^2(x)=0.
  • Die Nullstellen von cos(x)\cos(x) sind x=(2k+1)90x=(2k+1)\cdot 90^\circ, kZk\in\mathbb{Z}, also die ungeraden Vielfachen von 9090^\circ.
  • Nun bleibt noch der zweite Faktor. Wegen sin2(x)+cos2(x)=1\sin^2(x)+\cos^2(x)=1, dies ist der trigonometrische Pythagoras, gilt cos2(x)=1sin2(x)\cos^2(x)=1-\sin^2(x) und damit

   1sin2(x)2sin2(x)=13sin2(x)=0\quad~~~1-\sin^2(x)-2 \sin^2(x)=1-3\sin^2(x)=0.

  • Diese Gleichung kannst du wie folgt umformen.

   13sin2(x)=0+3sin2(x)1=3sin2(x):313=sin2(x)   ±13=sin(x)sin1(   )±35,3x\quad~~~\begin{array}{rclll} 1-3\sin^2(x)&=&0&|&+3\sin^2(x)\\ 1&=&3\sin^2(x)&|&:3\\ \frac13&=&\sin^2(x)&|&\sqrt{~~~}\\ \pm\frac1{\sqrt3}&=&\sin(x)&|&\sin^{-1}(~~~)\\ \pm35,3^\circ&\approx&x \end{array}

  • Zu jeder der beiden Lösungen kannst du ebenso wie oben zuerst die fehlende Basislösung bestimmen und damit dann die Lösungsgesamtheit.

Trigonometrische Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen und unterschiedlichen Argumenten

Eine solche Gleichung ist zum Beispiel gegeben durch

cos(x)sin(x2)=0\cos(x)-\sin\left(\frac x2\right)=0.

Hier tauchen nicht nur zwei verschiedene Winkelfunktionen auf, sondern auch noch verschiedene Argumente.

  • Zunächst wird

   cos(x)=cos(2x2)\quad~~~\cos(x)=\cos\left(2\cdot\frac x2\right)

   \quad~~~mit Hilfe eines Additionssatzes umgeschrieben:

   cos(2x2)=12sin2(x2)\quad~~~\cos\left(2\cdot \frac x2\right)=1-2\sin^2\left(\frac x2\right).

  • Damit kann die obige Gleichung wie folgt geschrieben werden:

   12sin2(x2)sin(x2)=0\quad~~~1-2\sin^2\left(\frac x2\right)-\sin\left(\frac x2\right)=0

  • Dies ist eine quadratische Funktion in sin(x)\sin(x). Wenn du

   z=sin(x2)\quad~~~z=\sin\left(\frac x2\right)    \quad~~~substituierst, erhältst du die quadratische Gleichung $1-2z\^2-z=0$. * Diese kannst du mit der **p-q-Formel** lösen. Hierfür stellst du die Gleichung um $-2z\^2-z+1=0$ und dividierst durch 2-2.

$\quad~~~\begin{array}{rclll} -2z\^2-z+1&=&0&|&:(-2)\\\ z\^2+\frac12z-\frac12&=&0\\\ z_{1,2}&=&-\frac14\pm\sqrt{\frac1{16}+\frac12}\\\ z_1&=&-\frac14+\frac34=\frac12\\\ z_2&=&-\frac14-\frac34=-1 \end{array}$

  • Zuletzt resubstituierst du. Du musst also die folgenden Gleichungen lösen:

    sin(x2)=12\quad~~~~\sin\left(\frac x2\right)=\frac12 sowie

    sin(x2)=1\quad~~~~\sin\left(\frac x2\right)=-1.

  • Dabei gehst du so vor wie in den obigen Beispielen zu sin(x)=c\sin(x)=c.