Gleichungsumformungen mit Potenzen und Wurzeln

Gleichungsumformungen mit Potenzen und Wurzeln Übung

• Gib die Eigenschaften der Gleichung $\sqrt{x}=a$ an.

  Tipps

  Der Ausdruck unter einer Wurzel muss $0$ oder größer sein. Für negative Zahlen ist die Wurzel nicht definiert.

  Die Umkehroperation zum Quadratwurzelziehen ist das Quadrieren.

  Lösung

  Der Ausdruck unter einer Wurzel muss $0$ oder größer sein. Für negative Zahlen ist die Wurzel nicht definiert. Der Definitionsbereich wird hier also durch die Wurzel eingeschränkt und ist wie folgt definiert:

  $D=\lbrace x\in\mathbb{R}\vert x\geq 0\rbrace$

  Im Bereich der reellen Zahlen sind Wurzeln stets als nicht negative Zahlen definiert. Es gilt also:

  $\sqrt{x}\in\mathbb{R}^+_0$

  Für den Parameter $a$ folgt damit:

  $a\geq 0$

  Wenn wir in einer Gleichung eine Wurzel aufheben möchten, müssen wir die jeweilige Umkehroperation nutzen. Diese ist das Quadrieren. Die Gleichung sieht dann wie folgt aus:

  $\begin{array}{llll} \sqrt{x} &=& a & \vert (~~)^2 \\ x &=& a^2 & \end{array}$

  Für $a=3$ ist die Lösung:

  $~x=3^2=9$

• Bestimme die Eigenschaften der Gleichung $\sqrt[4]{x-2}=(a-1)^3$.

  Tipps

  Für die Bestimmung des Definitionsbereichs musst du die Gleichung $x-2 \geq 0$ lösen.

  Es gilt $(a-1)^3 \geq 0$. Was folgt daraus für $a$?

  Lösung

  Der Ausdruck unter einer Wurzel muss $0$ oder größer sein. Für negative Zahlen ist die Wurzel nicht definiert. Der Definitionsbereich wird hier also durch die Wurzel eingeschränkt. Es muss Folgendes gelten:

  $\begin{array}{llll} x-2 &\geq& 0 & \vert +2 \\ x &\geq& 2 & \end{array}$

  Der Definitionsbereich lautet also:

  $D=\lbrace x\in\mathbb{R}\vert x\geq 2\rbrace$

  Im Bereich der reellen Zahlen sind Wurzeln stets als nicht negative Zahlen definiert. Es gilt also:

  $\sqrt{x}\in\mathbb{R}^+_0$

  Damit ergibt sich für den Parameter $a$:

  $\begin{array}{llll} (a-1)^3 &\geq& 0 & \vert \sqrt[3]{~~} \\ a-1 &\geq& 0 & \vert +1 \\ a &\geq& 1 & \end{array}$

  Die Gleichung stellen wir wie folgt nach $x$ um:

  $\begin{array}{llll} \sqrt[4]{x-2} &=& (a-1)^3 & \vert (~~)^4 \\ x-2 &=& (a-1)^{12} & \vert +2 \\ x &=& (a-1)^{12}+2 & \end{array}$

• Erschließe die jeweilige Definitionsmenge und die Bedingung für den Parameter $a$.

  Tipps

  Der Definitionsbereich wird bei jeder Funktion durch die Wurzel eingeschränkt. Der Ausdruck unter einer Wurzel darf nicht negativ sein.

  Der Parameter $a$ muss so definiert sein, dass die Wurzel keinen negativen Wert liefert.

  Lösung

  In jedem Beispiel wird der Definitionsbereich durch die Wurzel eingeschränkt. Der Ausdruck unter einer Wurzel darf $0$ oder größer sein. Für negative Zahlen ist die Wurzel nicht definiert.

  Die Bedingungen für den Parameter $a$ ergeben sich daraus, dass im Bereich der reellen Zahlen Wurzeln stets als nicht negative Zahlen definiert sind.

  Demnach erhalten wir die folgenden Bedingungen:

  Beispiel 1: $~\sqrt{x-1}=a-2$

  Für den Definitionsbereich lösen wir folgende Gleichung:

  $\begin{array}{llll} x-1 &\geq & 0 & \vert +1 \\ x &\geq & 1 & \end{array}$

  Daraus folgt: $~D=\lbrace x\in\mathbb{R} \vert x\geq 1 \rbrace$

  Die Bedingung für $a$ erhalten wir aus folgender Gleichung:

  $\begin{array}{llll} a-2 &\geq & 0 & \vert +2 \\ a &\geq & 2 & \end{array}$

  Beispiel 2: $~\sqrt[6]{x+1}=a+2$

  Für den Definitionsbereich lösen wir folgende Gleichung:

  $\begin{array}{llll} x+1 &\geq & 0 & \vert -1 \\ x &\geq & -1 & \end{array}$

  Daraus folgt: $~D=\lbrace x\in\mathbb{R} \vert x\geq -1 \rbrace$

  Die Bedingung für $a$ erhalten wir aus folgender Gleichung:

  $\begin{array}{llll} a+2 &\geq & 0 & \vert -2 \\ a &\geq & -2 & \end{array}$

  Beispiel 3: $~\sqrt[4]{x+2}=a+1$

  Für den Definitionsbereich lösen wir folgende Gleichung:

  $\begin{array}{llll} x+2 &\geq & 0 & \vert -2 \\ x &\geq & -2 & \end{array}$

  Daraus folgt: $~D=\lbrace x\in\mathbb{R} \vert x\geq -2 \rbrace$

  Die Bedingung für $a$ erhalten wir aus folgender Gleichung:

  $\begin{array}{llll} a+1 &\geq & 0 & \vert -1 \\ a &\geq & -1 & \end{array}$

• Erschließe den maximalen Definitionsbereich der Gleichung.

  Tipps

  Der Ausdruck unter der Quadratwurzel darf nicht negativ sein.

  Die Ungleichung $2x^2-18 \geq 0$ muss erfüllt sein. Diese kannst du nach $x^2$ umstellen und überlegen, für welche Zahlen die resultierende Ungleichung erfüllt ist.

  Lösung

  Der Ausdruck unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Es gilt also:

  $\begin{array}{llll} 2x^2-18 &\geq & 0 & \vert +18 \\ 2x^2 &\geq& 18 & \vert :2 \\ x^2 &\geq& 9 & \\ \end{array}$

  Für $x\geq 3$ und $x\leq -3$ ist diese Bedingung erfüllt. Demnach entsprechen diese Bereiche dem maximalen Definitionsbereich der Gleichung.

• Gib an, wie du Gleichungen mit Potenzen und Wurzeln umformst und ihre Eigenschaften bestimmst.

  Tipps

  Möchtest du die Gleichung $\sqrt{x}=a$ nach $x$ auflösen, musst du die gesamte Gleichung quadrieren.

  Die Wurzel ist für $\mathbb{R}^+_0$ definiert.

  Lösung

  Wurzeln in Gleichungen kannst du durch ihre entsprechenden Potenzen auflösen. Ebenso kannst du Potenzen mit ihren entsprechenden Wurzeln auflösen.

  In beiden Fällen musst du auf die spezifischen Einschränkungen achten:

  • Steht auf der einen Seite einer Gleichung eine Wurzel, darf auf der anderen Seite nichts Negatives auftauchen.
  • Der Ausdruck unter einer Wurzel darf nicht negativ sein, er muss also $0$ oder größer sein.

• Ermittle den Definitionsbereich und die Bedingung für $a$.

  Tipps

  Der gesamte Ausdruck unter der Wurzel darf nicht negativ sein.

  Im Bereich der reellen Zahlen sind Wurzeln stets als nicht negative Zahlen definiert.

  Lösung

  Der gesamte Ausdruck unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Demnach erhalten wir den Definitionsbereich, indem wir folgende Ungleichung lösen:

  $\begin{array}{llll} 2x+6 &\geq & 0 & \vert -6 \\ 2x &\geq & -6 & \vert :2 \\ x &\geq & -3 & \end{array}$

  Der Definitionsbereich lautet: $~D=\lbrace x\in\mathbb{R}\vert x\geq -3 \rbrace$

  Die Wurzel darf im Bereich der reellen Zahlen nur Werte größer gleich null ergeben. Daraus folgt:

  $\begin{array}{llll} 3a-9 &\geq & 0 & \vert +9 \\ 3a &\geq & 9 & \vert :3 \\ a &\geq & 3 & \end{array}$