Kongruenzsätze für Dreiecke – Überblick

Kongruenzsätze für Dreiecke – Überblick Übung

• Gib die Kongruenzsätze für Dreiecke an.

  Tipps

  Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn die Dreiecke sich gegenseitig abdecken, nachdem sie ausgeschnitten und übereinandergelegt wurden.

  Beachte, dass alle gleichseitigen Dreiecke in allen Winkeln übereinstimmen. Diese bemessen alle $60^\circ$.

  Gleichseitige Dreiecke sind ähnlich zueinander, jedoch nicht kongruent.

  Bei der Abkürzung SsW steht das große S für die längere Seite und das kleine s für die kürzere Seite, an der der Winkel anliegt.

  Lösung

  Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn jeweils drei Größen übereinstimmen. Dabei sind dies nicht irgendwelche Größen:

  Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn

  • sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen. Dieser Kongruenzsatz heißt „Seite Seite Seite“ oder kurz SSS.
  • sie in den Längen von zwei Seiten sowie dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Dieser Kongruenzsatz heißt „Seite Winkel Seite“ oder kurz SWS.
  • sie in der Länge einer Seite sowie den beiden an dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen. Dieser Kongruenzsatz heißt „Winkel Seite Winkel“ oder kurz WSW.
  • sie in den Längen von zwei Seiten sowie dem der längeren dieser Seiten gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. Dieser Kongruenzsatz heißt „Seite Seite Winkel“ oder kurz SsW. Das erste „S“ ist großgeschrieben, um anzudeuten, dass dies die längere der beiden Seiten ist.

• Beschreibe, wie ein Dreieck nach dem Kongruenzsatz SSS konstruiert werden kann.

  Tipps

  Schaue dir das Dreieck an:

  • Die Eckpunkte werden gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet.
  • Die den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnet.

  Ist die Summe der Seiten $a$ und $b$ kleiner oder gleich $c$, so kann man kein Dreieck konstruieren.

  Lösung

  Die Kongruenzsätze zeigen nicht nur, wann zwei Dreiecke kongruent, also deckungsgleich, sind.

  Wenn die drei Seitenlängen eines Dreiecks gegeben sind, so lässt sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren (SSS).

  Es muss gelten, dass die Summe der beiden kürzeren Seiten größer als die längste Seite sein muss. Sei zum Beispiel $c$ die längste Seite, so muss $c\lt a+b$ gelten.

  Nun kann das Dreieck wie folgt konstruiert werden:

  1. Zeichne eine Seite, zum Beispiel $c$.
  2. Die Endpunkte dieser Seite sind $A$ und $B$.
  3. Zeichne einen Kreis um $A$ mit dem Radius $b$ und einen Kreis um $B$ mit dem Radius $a$.
  4. Dort, wo die beiden Kreise sich schneiden, befindet sich der Punkt $C$.
  5. Zuletzt werden sowohl $A$ als auch $B$ mit $C$ verbunden.

  Das Dreieck ist fertig konstruiert.

  Die beiden Kreise schneiden sich übrigens zweimal. Die beiden resultierenden Dreiecke sind kongruent zueinander.

• Erkläre die Konstruktion eines Dreiecks nach dem Kongruenzsatz SsW.

  Tipps

  Achte darauf, mit welcher Seite angefangen wird. Überlege dir, an welcher Seite der Winkel $\gamma$ anliegt.

  Der Radius des Kreises ist so groß wie die längste Seite im Dreieck.

  Lösung

  Hier ist die komplette Konstruktion zu sehen.

  1. Zunächst wird die kürzere der beiden Seiten, also $a=6~\text{cm}$, gezeichnet. Die Endpunkte sind $C$ und $B$.
  2. Dann wird der Winkel $\gamma$ in $C$ abgetragen. So erhält man eine Halbgerade. Diese ist hier gestrichelt dargestellt.
  3. Um den Punkt $B$ zeichnet man einen Kreis, dessen Radius so groß ist wie die längere der beiden Seiten, also $c=9~\text{cm}$.
  4. Dieser Kreis schneidet die Halbgerade aus 2. in einem Punkt. Dies ist der dritte Punkt $A$ des Dreiecks.

• Entscheide jeweils, ob einer der Kongruenzsätze erfüllt ist.

  Tipps

  • SSS steht für „Seite Seite Seite“: Alle drei Seitenlängen sind bekannt.
  • SWS steht für „Seite Winkel Seite“: Zwei Seitenlängen sowie der eingeschlossene Winkel sind bekannt.
  • WSW steht für „Winkel Seite Winkel“: Eine Seitenlänge sowie die beiden anliegenden Winkel sind bekannt.

  Beachte: Es ist nicht bei jedem Beispiel ein Kongruenzsatz gegeben.

  Beachte:

  • In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel $90^\circ$ groß und die Summe der beiden übrigen Winkel beträgt ebenfalls $90^\circ$.
  • In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Schenkel gleich lang.

  Lösung

  Für die Kongruenzsätze müssen auf jeden Fall drei Größen bekannt sein. Wenn jedoch drei Winkel gegeben sind, sind die Dreiecke in der Regel ähnlich und nicht kongruent. Schauen wir uns die verschiedenen Fälle einmal genauer an:

  • Wenn nur eine Seite und ein Winkel (wie in dem rechtwinkligen Dreieck, in dem die Hypotenuse bekannt ist) bekannt sind, lässt sich das Dreieck nicht eindeutig konstruieren.
  • Da nach dem Winkelsummensatz die Summe der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt, kennt man, wenn der rechte Winkel und ein spitzer Winkel bekannt sind, alle drei Winkel. Ist zusätzlich die Länge der Hypotenuse bekannt, gilt der Kongruenzsatz WSW.
  • Bei einem gleichschenkligen Dreieck mit gegebener Schenkel- und Basislänge sind alle drei Seitenlängen bekannt. Es gilt also der Kongruenzsatz SSS.
  • Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen an dem rechten Winkel an oder – anders ausgedrückt – schließen diesen ein. Es gilt also der Kongruenzsatz SWS.

• Bestimme jeweils den dargestellten Kongruenzsatz.

  Tipps

  Du siehst hier zwei gleichseitige Dreiecke. Alle Winkel sind gleich groß und betragen jeweils $60^\circ$.

  Aber sind die Dreiecke auch kongruent?

  Sind alle Seitenlängen eines Dreiecks gegeben, so ist dieses Dreieck eindeutig konstruierbar.

  Lösung

  Es gibt vier Kongruenzsätze für Dreiecke. Diese besagen, dass zwei Dreiecke dann kongruent, also deckungsgleich, sind, wenn sie in drei bestimmten Eigenschaften übereinstimmen.

  • Kongruent sind alle Dreiecke, deren Seitenlängen jeweils gleich lang sind. Diesen Kongruenzsatz bezeichnen wir mit SSS.
  • Dies gilt auch für Dreiecke, die in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Hier gilt dann der Kongruenzsatz SWS.
  • Stimmen zwei Dreiecke in einer Seite und den an dieser Seite anliegenden Winkeln überein, so sind sie kongruent. Der Kongruenzsatz lautet dann WSW.
  • Gleiches gilt für zwei Dreiecke, bei denen je zwei Seiten und der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel einander entsprechen. Es gilt dann der Kongruenzsatz SsW.

• Untersuche, was passiert, wenn die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist oder bei SsW der Winkel nicht der längeren Seite gegenüberliegt.

  Tipps

  Zeichne für SSS die längere Seite und trage über jedem der beiden Endpunkte Kreise mit Radien ab, die so groß sind wie die beiden übrigen Seiten.

  Beachte, dass $c>a+b$ gilt, wenn die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist.

  Wählen wir folgende Streckenlängen:

  • $c=10~\text{cm}$,
  • $a=b=4~\text{cm}$

  Es gilt also $c>a+b$, weil $10>4+4=8$. Schneiden sich die Kreise?

  Diese Abbildung macht deutlich, was passiert, wenn der gegebene Winkel der kürzeren Seite gegenüberliegt.

  Der Kreis schneidet die Halbgerade in zwei Punkten.

  Lösung

  Wenn die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist (also zum Beispiel $c=10~\text{cm}$ und $a=b=4~\text{cm}$), so kann man wie folgt konstruieren:

  • Zeichne die Seite $c$ mit den Endpunkten $A$ und $B$.
  • Zeichne sowohl um $A$ als auch um $B$ einen Kreis mit dem Radius $r=4~\text{cm}$.
  • Da der Abstand von $A$ zu $B$ größer ist als die Summe dieser beiden Radien, können sich die beiden Kreise nicht schneiden.

  Es lässt sich also kein Dreieck konstruieren.

  In der Abbildung ist ein Beispiel zu sehen, bei dem der Winkel $\alpha$ gegeben ist sowie die Länge der blauen und der roten Seite. Da der Winkel der kürzeren der beiden Seiten (der roten) gegenüberliegt, schneidet der Kreis die Halbgerade, die mit der blauen Seite den Winkel $\alpha$ einschließt, zweimal. Es gibt also zwei Dreiecke mit diesen Größen. Diese Dreiecke sind jedoch nicht kongruent, wie in dem Bild zu sehen ist.