Kongruenzsätze – WSW

Kongruenzsätze – WSW Übung

• Gib an, wie du bei der Konstruktion von kongruenten Dreiecken vorgehst.

  Tipps

  Wenn zwei Dreiecke nicht kongruent sind, passen sie nicht genau übereinander.

  Teilst du ein gleichschenkliges Dreieck längs der Winkelhalbierenden zwischen den beiden Schenkeln, so kannst du die beiden Hälften nicht durch eine Drehung oder Verschiebung zur Deckung bringen.

  In dem Kongruenzsatz $\text{WSW}$ steht das W für Winkel.

  Lösung

  Es gibt verschiedene Kriterien, unter denen zwei Dreiecke deckungsgleich sind. Solche Kriterien heißen Kongruenzsätze. Der Kongruenzsatz $\text{WSW}$ besagt: Haben zwei Dreiecke eine Seite und die beiden anliegenden Winkel gemeinsam, so sind sie kongruent. Kongruenz bedeutet nämlich genau, dass die Dreiecke deckungsgleich sind. Deckungsgleiche oder kongruente Figuren sind also solche, die du durch Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen zur Deckung bringen kannst.

  Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie in Form und Größe übereinstimmen. Die Gleichheit der Form bedeutet, dass ihre Winkelgrößen übereinstimmen. Aber zwei Dreiecke mit denselben Winkeln sind im Allgemeinen nicht kongruent, sondern nur ähnlich. Zwei Dreiecke sind dann und nur dann kongruent, wenn neben den Winkelgrößen auch ihre Seitenlängen gleich sind.

  Der Kongruenzsatz $\text{WSW}$ besagt nun also, dass für die Kongruenz zweier Dreiecke die Gleichheit einer Seite und der beiden anliegenden Winkel genügt. Dass diese Größen das Dreieck bereits eindeutig festlegen, kannst du daran erkennen, dass du das Dreieck mittels dieser Größen konstruieren kannst: Nehmen wir an, die vorgegebene Seite ist $c$. Dann heißen ihre Endpunkte $A$ und $B$ und die anliegenden Winkel $\alpha$ (bei $A$) und $\beta$ (bei $B$). Dies ist die übliche Bezeichnungskonvention für die Eckpunkte, Seiten und Winkel von Dreiecken.

  Zeichne also die vorgegebene Seite $c$ ein und markiere ihre Endpunkte mit $A$ und $B$. Jetzt kannst du in dem Eckpunkt $A$ den gegebenen Winkel $\alpha$ und in dem Eckpunkt $B$ den vorgegebenen Winkel $\beta$ abtragen, und zwar beide auf derselben Seite von $c$, sonst wird daraus kein Dreieck. Zeichne die Winkel mit Halbgeraden. Markiere den Schnittpunkt dieser Halbgeraden und markiere ihn mit $C$. Dann hast du das Dreieck $\Delta_{ABC}$ konstruiert.

• Beschreibe die Konstruktion eines Dreiecks, wenn eine Seite und zwei Winkel vorgegeben sind.

  Tipps

  Beginne die Konstruktion mit der Strecke $c$.

  Der letzte Konstruktionsschritt fixiert den dritten Punkt des Dreiecks und benennt ihn.

  Die Eckpunkte $A$ und $B$ begrenzen die Strecke $c$.

  Lösung

  Nach dem Kongruenzsatz WSW ist ein Dreieck durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel oder durch eine Seite, einen anliegenden Winkel und den gegenüberliegenden Winkel eindeutig bestimmt. Du kannst nämlich allein mittels dieser Größen das Dreieck konstruieren. Die Konstruktion muss mit einer der gegebenen Größen beginnen und mit der Bestimmung des dritten der drei Eckpunkte enden.

  Da die Strecke $c$ vorgegeben ist, kannst du als Ausgang der Konstruktion ihre Endpunkte $A$ und $B$ festhalten. Das Ziel der Konstruktion ist dann das Auffinden des dritten Eckpunktes $C$. Dies ist die korrekte Konstruktion:

  1. Zeichne die Strecke $c$.
  2. Bezeichne die Endpunkte mit $A$ und $B$.
  3. Trage in $A$ mit dem Geodreieck eine Halbgerade im Winkel $\alpha = 40^\circ$ zu $c$ ab.
  4. Wähle einen Punkt auf der Halbgeraden durch $A$.
  5. Trage in diesem Punkt mit dem Geodreieck eine Halbgerade im Winkel $\gamma = 60^\circ$ ab.
  6. Verschiebe die Halbgerade parallel, bis sie durch den Punkt $B$ verläuft.
  7. Markiere den Schnittpunkt der Halbgeraden durch $A$ und $B$.
  8. Bezeichne den Schnittpunkt mit $C$.

  Alternativ kannst du auch mit dem Innenwinkelsummensatz ($\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$) den fehlenden an der Seite $c$ anliegenden Winkel $\beta$ berechnen und wie gewohnt den Kongruenzsatz WSW nutzen.

• Bestimme kongruente Dreiecke.

  Tipps

  Markiere in jedem Dreieck höchstens eine Seite.

  Jede markierte Seite muss zwischen zwei markierten Winkeln liegen.

  Markiere nur solche Dreiecke, zu denen es ein kongruentes Dreieck gibt.

  Lösung

  Im Bild siehst du fünf Dreiecke. Darunter sind zwei Paare kongruenter Dreiecke. Du kannst die kongruenten Dreiecke daran erkennen, dass sie dieselbe Form und Größe haben.

  In der Aufgabe sollst du diese Kongruenz korrekt mit dem Kongruenzsatz $\text{WSW}$ ableiten. Das bedeutet, bei jedem der Dreiecke genau diejenigen Seiten und Winkel zu markieren, auf die der Kongruenzsatz anwendbar ist und die Kongruenz der Dreiecke impliziert.

  Im Bild sind die Dreiecke $1$ und $2$ untereinander kongruent, ebenso die Dreiecke $3$ und $4$. Dreieck $5$ ist zu keinem anderen kongruent.

  Bei Dreieck $1$ ist die kürzeste Seite markiert. Für die Anwendung des Kongruenzsatzes WSW muss die vorgegebene Seite von zwei Winkeln eingeschlossen sein. In diesem Fall sind das der größte Winkel des Dreiecks und der mittelgroße. Dieselbe Seite und dieselben Winkel musst du auch bei Dreieck $2$ markieren, also wieder die kürzeste Seite sowie den größten und den mittleren Winkel.

  Bei den Dreiecken $3$ und $4$ ist nur jeweils ein Winkel vorgegeben. Um auf die Kongruenz schließen zu können, kannst du zuerst bei jedem der beiden Dreiecke den jeweils anderen Winkel markieren. Nun sind jeweils zwei Winkel markiert. Wenn du noch bei beiden Dreiecken jeweils die von diesen eingeschlossene Seite markierst, also die längste Seite, so hast du alle Vorgaben zur Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{WSW}$ beisammen. Der Kongruenzsatz $\text{WSW}$ ist jetzt anwendbar und impliziert die Kongruenz der Dreiecke $3$ und $4$.

• Entscheide, welche Dreiecke kongruent nach dem WSW-Satz sind.

  Tipps

  Um mit dem Kongruenzsatz $\text{WSW}$ auf die Kongruenz zweier Dreiecke zu schließen genügt es nicht, dass zwei Winkel und eine Seite übereinstimmen.

  Die beiden abgebildeten Dreiecke sind nicht kongruent, obwohl zwei Winkel und eine Seite übereinstimmen.

  Die Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen immer $180^\circ$.

  Lösung

  Der Kongruenzsatz $\text{WSW}$ schließt die Kongruenz zweier Dreiecke aus der Übereinstimmung zweier Winkel und der dazwischenliegenden Seite. Die Bezeichnung der Seiten und Winkel ist immer so zu verstehen, dass der Seite $a$ der Winkel $\alpha$ gegenüberliegt, der Seite $b$ der Winkel $\beta$ und der Seite $c$ der Winkel $\gamma$. Hat man bei der Bezeichnung der Eckpunkte, Seiten und Winkel freie Wahl, so bezeichnet man sie üblicherweise im Gegenuhrzeigersinn in alphabetischer Reihenfolge. Dieser Drehsinn ändert sich allerdings bei Spiegelungen, daher kann man bei der Überprüfung von Dreiecken auf Kongruenz nicht voraussetzen, dass sie immer alphabetisch im Gegenuhrzeigersinn bezeichnet sind.

  In der Aufgabe kommen Dreiecke mit folgenden Winkeln vor

  • $30^\circ$, $45^\circ$ und $105^\circ$

  sowie

  • $30^\circ$, $60^\circ$ und $90^\circ$

  Bei jedem der Dreiecke sind zwei Winkel und eine Seite angegeben. Aber nicht je zwei Dreiecke, bei denen dieselben Werte für Winkel und Seite vorkommen, sind kongruent. Dazu musst du nämlich die Lage der Seiten bzw. Winkel beachten. Gehen wir die Beispiele einzeln durch:

  • Zu den Winkeln $\alpha =30^\circ$ und $\gamma = 90^\circ$ und der Seite $a = 7~\text{cm}$ bestimmen wir zuerst den Winkel $\beta = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$. Die Winkel $\beta$ und $\gamma$ liegen der Seite gegebenen $a$ an. Dazu passt also ein Dreieck mit einer Seite der Länge $7 ~\text{cm}$ und den anliegenden Winkeln $60^\circ$ und $90^\circ$. Das einzige solche Dreieck ist das mit der Seite $b = 7~\text{cm}$ und den Winkeln $\beta =30^\circ$ und $\gamma = 90^\circ$.

  • Bei dem Dreieck mit den Winkeln $\alpha =30^\circ$ und $\beta = 45^\circ$ und der Seite $a = 7~\text{cm}$ ist $\gamma = 105^\circ$. Die anliegenden Winkel sind $\beta$ und $\gamma$. Das einzige Dreieck mit einer Seite der Länge $7~\text{cm}$ und passenden Winkeln hat $\alpha =30^\circ$, $\gamma = 105^\circ$ und $a = 7~\text{cm}$.

  • Zu $\alpha =30^\circ$, $\gamma = 90^\circ$ und $a = 6~\text{cm}$ finden wir $\beta = 60^\circ$. Die anliegenden Winkel sind $\beta$ und $\gamma$. Das einzige Dreieck mit einer Seite der Länge $6~\text{cm}$ und Winkeln der passenden Größe hat $\alpha =30^\circ$, $\gamma = 60^\circ$ und $a = 6~\text{cm}$. Da die Winkel $\beta$ und $\gamma$ der Seite $a$ anliegen, erfüllt es tatsächlich die Voraussetzungen des Kongruenzsatzes $\text{WSW}$.

  • Das Dreieck mit $\alpha =30^\circ$, $\gamma = 60^\circ$ und $b = 7~\text{cm}$ hat der gegebenen Seite anliegende Winkel von $30^\circ$ und $60^\circ$. Dazu kongruent ist das Dreieck mit $\alpha =30^\circ$, $\gamma = 90^\circ$ und $c = 7~\text{cm}$. Denn die beiden gegebenen Seiten sind gleich lang, und die anliegenden Winkel betragen jeweils $30^\circ$ und $60^\circ$.

• Gib die Eigenschaften der Kongruenz wieder.

  Tipps

  Ein Dreieck und sein Spiegelbild lassen sich im Allgemeinen nicht nur durch Drehen und Verschieben zur Deckung bringen.

  Teilt man ein Rechteck längs der Diagonalen in zwei Dreiecke, so sind diese Dreiecke kongruent.

  Die beiden angebildeten Dreiecke sind nicht kongruent.

  Lösung

  Kongruenz bedeutet die Deckungsgleichheit von Figuren wie z. B. Dreiecken. Ob zwei Dreiecke kongruent sind, kannst du feststellen, wenn du versuchst, sie durch Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen vollständig zur Deckung zu bringen. Du stellst dann fest, dass Dreiecke nur dann kongruent sein können, wenn sie dieselbe Form haben, d. h. wenn ihre Winkel übereinstimmen. Die Gleichheit der Winkel genügt aber nicht für die Kongruenz. Nur wenn sie auch in der Größe übereinstimmen, d. h. wenn sie dieselben Seiten haben, sind sie kongruent.

  Mit diesen Überlegungen findest du folgende richtige Sätze:

  • „Kongruenz von Dreiecken bedeutet, dass sie deckungsgleich sind.“ Dies ist die Definition der Kongruenz.

  • „Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie in Form und Größe übereinstimmen.“ Die Gleichheit der Form, d. h. der Winkelgrößen allein, reicht für die Kongruenz nicht aus.

  • „Ein Dreieck und sein Spiegelbild sind kongruent.“ Durch eine Spiegelung werden ein Dreieck und sein Spiegelbild zur Deckung gebracht.

  Die folgenden Sätze sind dagegen falsch:

  • „Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, kann man sie stets durch Drehungen und Verschiebungen zur Deckung bringen.“ Im Allgemeinen reichen Drehungen und Verschiebung nicht aus, um kongruente Dreiecke zur Deckung zu bringen. Dazu musst du im Allgemeinen auch Spiegelungen zulassen.

  • „Stimmen bei zwei Dreiecken alle Winkel überein, so sind sie kongruent.“ Zwei Dreiecke mit gleichen Winkeln sind ähnlich, d. h. haben die gleiche Form. Aber sie können verschiedene Größen haben und sind daher nicht notwendig kongruent.

• Analysiere die Beschreibungen.

  Tipps

  Prüfe die Voraussetzungen zur Anwendung des Kongruenzsatzes SSW.

  Lösung

  Bei der Anwendung der Kongruenzsätze musst du die Voraussetzungen genau prüfen:

  Aron, Belize und Clara: Die Zeichnungen von Aron und Belize sind verschieden, aber beide korrekt. Clara irrt sich, denn es gibt keinen Kongruenzsatz, der auf diese Situation anwendbar ist. Um den Kongruenzsatz SSW anwenden zu können, müsste der ausschließlich an der kürzeren Seite anliegende Winkel gegeben sein, das wäre der Winkel $\alpha$. Gegeben ist aber $\beta$. Mit diesen Angaben lassen sich bis auf Kongruenz genau die beiden Dreiecke von Aron und Belize konstruieren.

  Zwei gleiche Winkel: Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleiche Winkel, die an jeweils einem der Schenkel anliegen. Wählst du die von den Schenkeln verschiedene dritte Seite genauso wie die zwischen den beiden gleichen Winkeln des vorgegebenen Dreiecks liegende Seite, so ist nach dem Kongruenzsatz WSW das so gewählte gleichschenklige Dreieck zu dem vorgegebenen Dreieck kongruent. Daher ist auch das vorgegebene Dreieck gleichschenklig.

  Halbierung einer Seite durch die Höhe: Halbiert die Höhe eines Dreiecks die zugehörige Seite, so sind für die beiden entstehenden Dreiecke zwei gleiche Seiten (die Höhe und die beiden Hälften der zugehörigen Seite) sowie der dazwischenliegende (rechte) Winkel gleich. Nach dem Kongruenzsatz SWS sind diese Dreiecke kongruent. Daher stimmen auch die jeweils dritten Seiten überein. Dies sind die Schenkel des Dreiecks.