Kongruenzsätze – SSW
Pack dein Geodreieck aus und tauche ein in die Welt der Kongruenzsätze! Du erfährst, was es bedeutet, wenn Dreiecke "kongruent" sind und wie du sie mit dem Kongruenzsatz SSW konstruieren kannst. Bist du bereit, dein Mathe-Wissen auf die nächste Stufe zu heben? Neugierig geworden? Dann lies weiter und entdecke mehr!
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Grundlagen zum Thema Kongruenzsätze – SSW
Einführung: Kongruenzsätze – SSW
Dreiecke begegnen dir ständig in deinem Leben: Ob beim Bau eines Drachens, beim Zeichnen eines Hauses oder beim Halbieren eines Sandwiches. Vergleichen wir die Form der Dreiecke, so stellen wir fest, dass einige Dreiecke gleich aussehen. In der Mathematik können wir mithilfe der Kongruenzsätze feststellen, ob Dreiecke sich in Form und Größe gleichen, also kongruent zueinander sind. Im Folgenden beschäftigen wir uns mit dem Kongruenzsatz (Seite, Seite, Winkel).
Kongruenz
Kongruenz bedeutet Deckungsgleichheit.
Diese beiden Dreiecke sind kongruent, da sie deckungsgleich sind, wenn wir sie übereinanderlegen. Sie gleichen sich in Form und Größe, auch wenn sie verschoben, gespiegelt oder gedreht werden.
Kongruenzsätze bei Dreiecken
Um zu erkennen, ob zwei Dreiecke kongruent sind, helfen uns die Kongruenzsätze für Dreiecke. Zwei Dreiecke sind immer dann kongruent, wenn sie in drei bestimmten Eigenschaften übereinstimmen. Die Kongruenzsätze lauten: , , und . Was bedeutet nun beim Dreieck? Wir schauen uns zunächst eine Übersicht an:
steht also für Seite und für Winkel. Für die Konstruktion eindeutiger Dreiecke werden drei Angaben benötigt. Beim Kongruenzsatz sind das demnach zwei Seiten und ein Winkel.
Der Kongruenzsatz SSW
Wir wollen nun den Kongruenzsatz genauer betrachten und anwenden:
Wie lautet der Kongruenzsatz SSW?
Der Kongruenzsatz lautet: Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel überein, dann sind die Dreiecke immer kongruent.
So können wir mithilfe des Kongruenzsatzes auch deckungsgleiche bzw. kongruente Dreiecke konstruieren. Denn sind für die Konstruktion eines Dreiecks zwei Seiten und ein der längeren Seite gegenüberliegender Winkel gegeben, so sind alle daraus konstruierten Dreiecke kongruent.
Konstruktionsbeschreibung zum Kongruenzsatz SSW
Wir zeichnen nun ein Dreieck mit dem Kongruenzsatz . Dazu haben wir als Beispiel die beiden Seiten , und den Winkel gegeben. Wir gehen wie folgt vor:
- Wir zeichnen die kurze Seite zuerst, in diesem Fall die Seite . Wir beschriften die beiden Enden der Strecke mit und .
- Wir zeichnen nun am Punkt den Winkel .
- Nun stellen wir den Zirkel auf die Länge von , also ein. Wir ziehen einen Kreisbogen um , der die Halbgerade in einem Punkt schneidet.
- Zum Schluss beschriften wir diesen Schnittpunkt mit und verbinden ihn mit dem Punkt .
Die Konstruktion mit dem Kongruenzsatz ist eindeutig, weil der Kreis die Halbgerade nur in einem Punkt schneidet.
Bedingungen für den Kongruenzsatz SSW
Für die Konstruktion mit dem Kongruenzsatz ist es wichtig, dass die längere Seite gegenüber des gegebenen Winkels liegt. Daher wird dieser Kongruenzsatz auch oft mit der Schreibweise bezeichnet. Das kleine steht dabei für die kurze Seite, die an dem Winkel anliegt.
Zusammenfassung: Kongruenzsätze SSW
In diesem Video zum Kongruenzsatz lernst du die Definition und Eigenschaften von Kongruenz kennen. Wir entdecken den Kongruenzsatz und zeigen anhand eines Beispiels, wie man deckungsgleiche bzw. kongruente Dreiecke konstruiert. Weitere Übungen zum Kongruenzsatz sowie Aufgaben mit Lösungen zum Kongruenzsatz findest du hier bei sofatutor.
Transkript Kongruenzsätze – SSW
Hey, in diesem Video beschäftigen wir uns mit dem Kongruenzsatz SSW. Dazu klären wir zunächst, was Kongruenz eigentlich bedeutet. Anschließend schauen wir uns den Kongruenzsatz SSW an und wie man mit dessen Hilfe ein Dreieck konstruieren kann. Der Begriff Kongruenz kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie 'Deckungsgleichheit'. Diese beiden Dreiecke sind zum Beispiel kongruent. Legen wir das eine Dreieck auf das andere, sehen wir, dass sie deckungsgleich übereinander liegen. Nicht nur verschobene, sondern auch gedrehte und gespiegelte Figuren sind also kongruent zueinander. Sind zwei Dreiecke deckungsgleich, dann gleichen sie sich in Form und Größe. Doch wie können wir erkennen, ob zwei Dreiecke kongruent sind? Hierbei helfen uns die vier Kongruenzsätze für Dreiecke. Diese besagen, dass zwei Dreiecke immer dann kongruent sind, wenn sie in drei bestimmten Eigenschaften übereinstimmen. Kongruent sind alle Dreiecke, deren Seitenlängen jeweils gleich sind. Dies gilt auch für Dreiecke, die in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem an der kürzeren Seite anliegenden Winkel überein, sind sie ebenfalls kongruent. Gleiches gilt für zwei Dreiecke, bei denen je eine Seite und die an dieser Seite anliegenden Winkel einander entsprechen. S steht hier für Seite und W für Winkel. Die Kongruenzsätze besagen ebenfalls, dass man für die Konstruktion eindeutiger Dreiecke nur diese drei Angaben benötigt. Eindeutig' meint hier, dass bei der Konstruktion immer nur zueinander kongruente Dreiecke entstehen können. Schauen wir uns jetzt den Kongruenzsatz SSW an. Haben zwei Dreiecke zwei gleich lange Seiten und ist der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel ebenfalls gleich groß, dann sind die Dreiecke nach diesem Satz immer kongruent. Gleichzeitig bedeutet dieser Satz: Hat man für die Konstruktion eines Dreiecks zwei Seiten und den der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel gegeben, dann sind alle so konstruierten Dreiecke kongruent. Schauen wir uns diese Konstruktion doch einmal an. Gegeben ist der Winkel Alpha gleich 80 Grad, und die Seiten a gleich 10 cm und c gleich 8 cm. Zunächst zeichnen wir die kürzere der beiden gegebenen Seiten, also c. Hier haben wir dann die Punkte A und B. Dann zeichnen wir an A den Winkel Alpha. Nun müssen wir nur die längere der gegebenen Seiten einzeichnen, welche die Seite a ist, da sie gegenüber von dem Winkel liegen soll. Wir stellen dazu den Zirkel auf 10 cm ein, stechen ihn in B ein und zeichnen einen Kreisbogen um B, der diese Halbgerade im Punkt C schneidet. Abschließend verbinden wir B mit C zum Dreieck ABC. Da der Kreis die Halbgerade nur in einem Punkt schneidet, entsteht bei der Konstruktion mit diesen drei Angaben auch nur dieses Dreieck. Die Konstruktion ist also eindeutig. Und wie ist das, wenn der Winkel der kürzeren Seite gegenüberliegt? So eine Konstruktion ist nicht möglich, denn der Kreisbogen schneidet diese Halbgerade nicht. Die Seiten würden sich also nie treffen. Es ist für die Konstruktion also wichtig, dass die längere Seite gegenüber des gegebenen Winkels liegt. Deswegen wird dieser Kongruenzsatz auch oft mit der Schreibweise S, klein S, W bezeichnet. Das kleine s zeigt dabei an, dass die kürzere gegebene Seite an dem Winkel anliegt. Fassen wir das noch einmal zusammen. Haben zwei Dreiecke zwei gleich lange Seiten und ist der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel ebenfalls gleich groß, dann sind die Dreiecke immer kongruent. Gleichzeitig ist ein Dreieck mit diesen drei Angaben immer eindeutig konstruierbar. War doch gar nicht so schwierig.
Kongruenzsätze – SSW Übung
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Beste Video hat mir sehr geholfen 👍
Ich finde es nicht so informativ es sind kaum Informationen vorhanden.
das vvidpo ist ganz niceeeeeee
wie findet ihr das Video,
ich finde es sehr gut und informatif
moin