Kongruenzsätze – SSW

Kongruenzsätze – SSW Übung

• Beschreibe den Kongruenzsatz $\text{SSW}$.

  Tipps

  Sind zwei Dreiecke deckungsgleich, so haben sie dieselben Seitenlängen und Winkelgrößen.

  Trage den gegebenen Winkel an der kürzeren der beiden gegebenen Seiten ab.

  Zwischen der Halbgeraden und dem Halbkreisbogen darf kein Abstand bleiben. Sonst kannst du die Konstruktion nicht zu Ende führen.

  Lösung

  Die Kongruenzsätze formulieren Kriterien für die Kongruenz zweier Dreiecke. Dazu werden drei übereinstimmende Angaben jedes dieser beiden Dreiecke benötigt. Für den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ sind das zwei Seiten und ein Winkel, nämlich derjenige, der nur der kürzeren Seite anliegt.

  Stimmen also zwei gegebene Dreiecke in zwei Seiten überein, sind sie nach dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ kongruent, wenn zusätzlich die nur der kürzeren Seite anliegenden Winkel übereinstimmen. Mit Kongruenz der Dreiecke ist gemeint, dass sie deckungsgleich sind, d. h. vollständig zur Deckung gebracht werden können. Mit anderen Worten: Du kannst die Dreiecke so verschieben, drehen und spiegeln, dass sie einander restlos überdecken. Insbesondere sind zwei Dreiecke genau dann kongruent, wenn sie in Form und Größe übereinstimmen, wenn also ihre Seitenlängen und Winkelgrößen gleich sind. Dagegen spielt die Lage keine Rolle, denn sie darf durch Spieglungen, Drehungen und Verschiebungen verändert werden. Auch die Orientierung der Dreiecke, z. B. die Reihenfolge der Seite im Uhrzeigersinn, bleibt bei der Kongruenz unberücksichtigt.

  Der Kongruenzsatz $\text{SSW}$ besagt, dass für die Kongruenz zweier Dreiecke die Gleichheit zweier Seiten und des der kürzeren Seite anliegenden Winkels genügt. Du kannst den Kongruenzsatz auch so verstehen, dass diese Angaben ausreichen, um das Dreieck zu konstruieren. Diese Konstruktion geht wie folgt:

  Du beginnst mit dem Zeichnen der kürzeren Seite, denn hier soll der vorgegebene Winkel anliegen. Lege also den Winkelmesser an einem Endpunkt der Seite an und trage eine Halbgerade (Strahl) in dem vorgegebenen Winkel zu der bereits gezeichneten Seite ab. Um nun die andere Seite einzuzeichnen, stellst du die Zirkelspanne auf die längere der gegebenen Seiten ein. Jetzt stichst du den Zirkel an dem anderen Endpunkt der zuerst gezeichneten Strecke ein und schlägst einen Halbbogen, der die Halbgerade schneidet. Die beiden Endpunkte der zuerst gezeichneten Strecke sind Eckpunkte des zu konstruierenden Dreiecks. Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt des Halbkreisbogens mit der Halbgeraden.

• Beschreibe die Konstruktion eines Dreiecks mithilfe des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$.

  Tipps

  Beginne die Konstruktion mit dem Zeichnen der kürzeren Dreieckseite.

  Im letzten Konstruktionsschritt wird der dritte Eckpunkt des Dreiecks konstruiert und benannt.

  Die Eckpunkte $A$ und $B$ sind die Endpunkte der zuvor konstruierten Strecke.

  Lösung

  Die Kongruenzsätze besagen, dass zwei gegebene Dreiecke genau dann kongruent sind, wenn sie in drei bestimmten Angaben übereinstimmen. Für den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ sind dies zwei Seiten sowie der Winkel, der nur der kürzeren der beiden Seiten anliegt. Das bedeutet auch, dass sich ein Dreieck mit diesen eindeutig konstruieren lässt.

  Die Konstruktion beginnt mit der kürzeren Seite, denn an ihr soll ja der Winkel anliegen. Du kannst dann als Nächstes den Winkel einzeichnen und später die zweite vorgegebene Seitenlänge abtragen.

  Hier ist die Konstruktion in der richtigen Reihenfolge:

  1. Zeichne zuerst mit dem Lineal eine Strecke der Länge $8~\text{cm}$ und bezeichne sie mit $c$.
  2. Markiere die Endpunkte der Strecke $c$ und bezeichne sie mit $A$ und $B$.
  3. Lege den Winkelmesser in $A$ an. Dann zeichne von $A$ aus eine Halbgerade im Winkel $80^\circ$ zu $c$ ein.
  4. Stich den Zirkel mit einer Spanne von $10~\text{cm}$ in $B$ ein. Schlage einen Halbkreisbogen, der die Halbgerade schneidet, markiere diesen Schnittpunkt und bezeichne ihn mit $C$.
  5. Nun verbindest du noch die Punkte $C$ und $A$ und erhältst dadurch das Dreieck $ABC$.

• Leite die eindeutige Konstruktion der Dreiecke mit dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ ab.

  Tipps

  Markiere in jedem Dreieck höchstens einen Winkel.

  Markiere nur solche Dreiecke, zu denen es im Bild ein kongruentes Dreieck gibt.

  Markiere keine anderen Seiten und Winkel als die notwendigen und verwende nur den Kongruenzsatz SSW.

  Lösung

  Im Bild siehst du fünf Dreiecke. Bei jedem Dreieck sind eine oder zwei Größen gegeben. Die fehlenden Größen zur Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ kannst du ermitteln, indem du die jeweiligen Seitenlängen abschätzt. Zur Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ müssen zwei Seiten und ein Winkel bekannt sein. Der Winkel ist dabei nicht eingeschlossen und liegt jeweils der kürzeren Seite an.

  3. Dreieck

  Hier sind eine Seite und ein Winkel gegeben. Dementsprechend ist eine Seite gesucht. Da nur eine der beiden „noch zu wählenden“ Seite kürzer ist als die bereits gegebene Seite, muss es diese sein. Der Winkel liegt nämlich immer an der kürzeren der beiden Seiten, wenn man den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ anwenden möchte.

  4. Dreieck

  Es sind eine Seite und ein angrenzender Winkel gegeben. Demnach wird eine weitere Seite gesucht. Da der Winkel zur Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ nicht eingeschlossen ist von den beiden Seiten, sondern an der kürzeren Seite anliegt, muss die gesuchte Seite dem Winkel gegenüberliegen.

  2. Dreieck

  Es ist genau ein Winkel gegeben, weshalb zwei Seiten gesucht werden. Der Winkel muss hier der kürzeren Seite anliegen und darf nicht eingeschlossen sein. Daher sind die kurze Seite und die dem Winkel gegenüberliegende Seite gesucht.

  5. Dreieck

  Es sind zwei Seiten gegeben, weshalb ein Winkel gesucht wird. Dieser muss der kürzeren Seite anliegen. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kann hier schnell erkannt werden, dass der gesuchte Winkel nicht an der Hypotenuse anliegen kann, da sie die längste Seite im Dreieck ist.

  1. Dreieck

  Hier ist ein Winkel gegeben, weshalb wieder zwei Seiten gesucht werden. Der Winkel muss der kürzeren Seite anliegen und darf nicht eingeschlossen sein.

• Ergänze die Angaben für den Kongruenzsatz $\text{SSW}$.

  Tipps

  Im Bild siehst du die in der Übung verwendete Bezeichnung der Seiten und Winkel eines Dreiecks.

  In dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ darf der gegebene Winkel jeweils nur einer der beiden gegebenen Seiten anliegen.

  Liegt der vorgegebene Winkel der längsten Seite eines Dreiecks an, so gehört diese Seite in keinem Fall zu den notwendigen Vorgaben für die Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$.

  Lösung

  Um mit dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ auf die Kongruenz zweier Dreiecke zu schließen, müssen die Dreiecke in zwei Seiten sowie dem nur der kürzeren dieser beiden Seiten anliegenden Winkel übereinstimmen. Sind diese drei Größen vorgegeben, so kannst du das Dreieck auch eindeutig konstruieren.

  Sind die Vorgaben für die Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ unvollständig, kannst du überlegen, durch welche Angaben du sie ergänzen müsstest. In dieser Aufgabe sollst du alle möglichen Ergänzungen angeben, die für die Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ notwendig sind. Im Bild siehst du alle Dreiecke aus der Aufgabe. Folgende Angaben sind zu ergänzen:

  1. Dreieck

  Bei diesem Dreieck sind die kürzeste Seite $b$ und die längste Seite $c$ gegeben. Für die Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ brauchst du noch den nur der kürzeren Seite anliegenden Winkel, also den Winkel, der der Seite $b$ anliegt, nicht aber der Seite $c$. Dieser Winkel heißt $\gamma$ und liegt im Dreieck am oberen Eckpunkt.

  2. Dreieck

  Vorgegeben sind hier der rechte Winkel und eine ihm anliegende Seite. Zur Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ muss auch die Hypotenuse gegeben sein, die dem Winkel gegenüberliegt. Da im Dreieck die Beschriftung im Gegenuhrzeigersinn stattfindet, ist die Seite $b$ gesucht.

  3. Dreieck

  Hier ist nur die längste Seite vorgegeben. Du musst die Vorgabe also um eine Seite und einen Winkel ergänzen, um den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ anwenden zu können. Die Vorgabe einer Seite ist beliebig. Den Winkel musst du dann passend wählen, nämlich so, dass er dieser Seite anliegt, aber nicht der längsten Seite $c$. Du kannst also die Seite $a$ und den Winkel $\gamma$ wählen oder die Seite $b$ und ebenfalls den Winkel $\gamma$.

  4. Dreieck

  In diesem Dreieck ist eine Seite $a$ vorgegeben, die weder die längste noch die kürzeste Seite des Dreiecks ist. Bei der Ergänzung dieser Vorgabe zu den Voraussetzungen des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ kannst du zwei Fälle unterscheiden: Entweder ist $a$ die kürzere der beiden vorgegebenen Seiten. Dann musst du die Seite $c$ und den Winkel $\gamma$ zur Vervollständigung der Voraussetzungen wählen. Oder die Seite $a$ wird die längere der beiden vorgegebenen Seiten. In diesem Fall ist $b$ die zweite Seite der Vorgabe und der dazu passende Winkel ist $\alpha$.

• Bestimme die fehlenden Angaben.

  Tipps

  Ist nur der Winkel gegeben, dann wähle die Seiten so, dass der Winkel nur der kürzeren dieser beiden Seiten anliegt.

  Sind zwei Seiten vorgegeben, ist der von diesen eingeschlossene Winkel nicht der richtige, um den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ anzuwenden.

  In diesem Dreieck kannst du den Kongruenzsatz z. B. auf die Seiten $a$ und $b$ und den Winkel $\beta$ anwenden. Denn $\beta$ liegt der längeren dieser beiden Seiten gegenüber.

  Lösung

  Der Kongruenzsatz $\text{SSW}$ verwendet zwei Seiten und einen Winkel, um auf die Kongruenz zweier Dreiecke zu schließen oder ein Dreieck mit diesen Vorgaben zu konstruieren. Dabei kommt es auf die Lage der Seiten und des Winkels zueinander an.

  In einem Dreieck liegen je zwei gegebene Seiten nebeneinander. Der gegebene Winkel kann entweder von diesen Seiten eingeschlossen sein oder nur der kürzeren oder nur der längeren dieser Seiten anliegen. Der Kongruenzsatz $\text{SSW}$ setzt voraus, dass der Winkel nur der kürzeren Seite anliegt. Denn nur in diesem Fall ist das Dreieck aufgrund der Angaben konstruierbar.

  Links im Bild siehst du ein Dreieck mit zwei blau markierten Seiten. Um den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ anzuwenden, fehlt noch die Vorgabe des Winkels, der der kürzeren Seite anliegt. Die kürzere der beiden blau markierten Seiten ist die linke Seite des Dreiecks. Nur der obere Winkel liegt von den beiden blau markierten Seiten einzig der kürzeren an.

  Rechts im Bild siehst du einen Winkel markiert. Für den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ muss dies der der kürzeren von zwei Seiten anliegende Winkel sein. Dem Winkel liegen die kürzeste und die längste Seite des Dreiecks an. Da dem Winkel nur die kürzere von zwei gegebenen Seiten anliegen soll, scheidet die längste Seite des Dreiecks aus: In keinem Fall ist die längste Seite die kürzere von zwei gegebenen Seiten. Es bleibt somit nur, die beiden anderen Seiten zu markieren. Mit ihnen und dem vorgegebenen Winkel sind die Voraussetzungen des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ erfüllt.

• Wende den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ an.

  Tipps

  Zulässig sind nur Argumente mit dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$, also keine anderen Schlüsse wie der Satz des Pythagoras und keine anderen Kongruenzsätze.

  Die Sonne steht senkrecht über dem Horizont.

  Für das Anwenden des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ benötigst du zwei Seitenlängen und einen Winkel.

  Lösung

  Mit dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ kannst du auf die Kongruenz zweier Dreiecke schließen, die in zwei Seiten und dem der kürzeren Seite anliegenden Winkel übereinstimmen. Außerdem besagt der Satz, dass ein Dreieck mit diesen drei Vorgaben bereits konstruierbar und daher eindeutig festgelegt ist.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Nach dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck durch die Länge der Hypotenuse und einer Kathete eindeutig bestimmt.

  Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist länger als jede Kathete. Daher stimmen die Vorgaben genau zu den Voraussetzungen des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$.

  • Um mit dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ auf die Kongruenz zweier stumpfwinkliger Dreiecke zu schließen, genügt es, wenn die stumpfen Winkel übereinstimmen sowie die beiden kürzeren Seiten.

  In jedem Dreieck gibt es höchstens einen stumpfen Winkel. Der stumpfe Winkel liegt jeweils der längsten Seite gegenüber. Daher passt die Übereinstimmung des stumpfen Winkels und der beiden jeweils kürzeren und mittleren Seiten zu den Voraussetzungen des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Der Kongruenzsatz $\text{SSW}$ impliziert: Haben zwei gleichseitige Dreiecke dieselbe Seitenlänge, so sind sie kongruent.

  Mit der Länge jeder Seite kannst du die Kongruenz aus dem Kongruenzsatz $\text{SSS}$ erschließen. Der Kongruenzsatz $\text{SSW}$ setzt voraus, dass zwei Seiten verschieden lang sind. Er ist daher auf gleichseitige Dreiecke nicht anwendbar.

  • Nach dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ sind zwei gleichschenklige Dreiecke kongruent, wenn ihre Schenkel und der Winkel dazwischen übereinstimmen.

  Unter den gegebenen Voraussetzungen kannst du mit dem Kongruenzsatz $\text{SWS}$ auf die Kongruenz schließen, aber nicht mit dem Satz $\text{SSW}$. Die einzige Möglichkeit, den Satz $\text{SSW}$ auf gleichschenklige Dreiecke anzuwenden, ist durch die Vorgabe eines Winkels, der nicht zwischen den Schenkeln liegt sowie eines Schenkels und der dritten Seite, die kein Schenkel ist.

  • Kennst du den Winkel zwischen der Sichtachse zur Sonne und dem Horizont, so ist nach dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ der Abstand zur Sonne durch die Höhe der Sonne über dem Horizont eindeutig bestimmt.

  Die Sonne steht senkrecht über dem Horizont. Der Winkel der Sichtachse ist einer der beiden spitzen Winkel dieses rechtwinkligen Dreiecks. Um mit dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ zu argumentieren, müssten zwei Seitenlängen gegeben sein. Die Kenntnis der optischen Höhe der Sonne über dem Horizont ist dafür nicht ausreichend. Selbst wenn du die Entfernung zum Horizont ebenfalls kennen würdest, könntest du mit dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ nur auf die Entfernung zu der Position des Bildes der Sonne über dem Horizont schließen. Das ist nicht dasselbe wie die tatsächliche Entfernung zur Sonne. Denn die Sonne sinkt ja auch nicht am Horizont in das Meer.