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Kongruenzsätze – SSW

Pack dein Geodreieck aus und tauche ein in die Welt der Kongruenzsätze! Du erfährst, was es bedeutet, wenn Dreiecke "kongruent" sind und wie du sie mit dem Kongruenzsatz SSW konstruieren kannst. Bist du bereit, dein Mathe-Wissen auf die nächste Stufe zu heben? Neugierig geworden? Dann lies weiter und entdecke mehr!

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Kongruenzsätze – SSW
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Grundlagen zum Thema Kongruenzsätze – SSW

Einführung: Kongruenzsätze – SSW

Dreiecke begegnen dir ständig in deinem Leben: Ob beim Bau eines Drachens, beim Zeichnen eines Hauses oder beim Halbieren eines Sandwiches. Vergleichen wir die Form der Dreiecke, so stellen wir fest, dass einige Dreiecke gleich aussehen. In der Mathematik können wir mithilfe der Kongruenzsätze feststellen, ob Dreiecke sich in Form und Größe gleichen, also kongruent zueinander sind. Im Folgenden beschäftigen wir uns mit dem Kongruenzsatz SSWSSW (Seite, Seite, Winkel).

Kongruenz

Kongruenz bedeutet Deckungsgleichheit.

zwei kongruente Dreiecke

Diese beiden Dreiecke sind kongruent, da sie deckungsgleich sind, wenn wir sie übereinanderlegen. Sie gleichen sich in Form und Größe, auch wenn sie verschoben, gespiegelt oder gedreht werden.

Kongruenzsätze bei Dreiecken

Um zu erkennen, ob zwei Dreiecke kongruent sind, helfen uns die Kongruenzsätze für Dreiecke. Zwei Dreiecke sind immer dann kongruent, wenn sie in drei bestimmten Eigenschaften übereinstimmen. Die Kongruenzsätze lauten: SSWSSW, SWSSWS, SSSSSS und WSWWSW. Was bedeutet nun SSWSSW beim Dreieck? Wir schauen uns zunächst eine Übersicht an:

Abkürzung Bedeutung
SSSSSS Seite, Seite, Seite
SWSSWS zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel
SSWSSW zwei Seiten und der an der kürzeren Seite anliegende Winkel
WSWWSW eine Seite und die an dieser Seite anliegenden Winkel

SS steht also für Seite und WW für Winkel. Für die Konstruktion eindeutiger Dreiecke werden drei Angaben benötigt. Beim Kongruenzsatz SSWSSW sind das demnach zwei Seiten und ein Winkel.

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Der Kongruenzsatz SSW

Wir wollen nun den Kongruenzsatz SSWSSW genauer betrachten und anwenden:

Wie lautet der Kongruenzsatz SSW?

Der Kongruenzsatz SSWSSW lautet: Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel überein, dann sind die Dreiecke immer kongruent.

So können wir mithilfe des Kongruenzsatzes SSWSSW auch deckungsgleiche bzw. kongruente Dreiecke konstruieren. Denn sind für die Konstruktion eines Dreiecks zwei Seiten und ein der längeren Seite gegenüberliegender Winkel gegeben, so sind alle daraus konstruierten Dreiecke kongruent.

Konstruktionsbeschreibung zum Kongruenzsatz SSW

Wir zeichnen nun ein Dreieck mit dem Kongruenzsatz SSWSSW. Dazu haben wir als Beispiel die beiden Seiten a=10 cma=10~\text{cm}, c=8 cmc=8~\text{cm} und den Winkel α=80\alpha = 80^\circ gegeben. Wir gehen wie folgt vor:

  1. Wir zeichnen die kurze Seite zuerst, in diesem Fall die Seite cc. Wir beschriften die beiden Enden der Strecke cc mit AA und BB.
  2. Wir zeichnen nun am Punkt AA den Winkel α\alpha.
  3. Nun stellen wir den Zirkel auf die Länge von aa, also 10 cm10~\text{cm} ein. Wir ziehen einen Kreisbogen um BB, der die Halbgerade in einem Punkt schneidet.
  4. Zum Schluss beschriften wir diesen Schnittpunkt mit CC und verbinden ihn mit dem Punkt BB.

Wie zeichnet man den Kongruenzsatz SSW?

Die Konstruktion mit dem Kongruenzsatz SSWSSW ist eindeutig, weil der Kreis die Halbgerade nur in einem Punkt schneidet.

Bedingungen für den Kongruenzsatz SSW

Für die Konstruktion mit dem Kongruenzsatz SSWSSW ist es wichtig, dass die längere Seite gegenüber des gegebenen Winkels liegt. Daher wird dieser Kongruenzsatz auch oft mit der Schreibweise SsWSsW bezeichnet. Das kleine ss steht dabei für die kurze Seite, die an dem Winkel WW anliegt.

Zusammenfassung: Kongruenzsätze SSW

In diesem Video zum Kongruenzsatz SSWSSW lernst du die Definition und Eigenschaften von Kongruenz kennen. Wir entdecken den Kongruenzsatz SSWSSW und zeigen anhand eines Beispiels, wie man deckungsgleiche bzw. kongruente Dreiecke konstruiert. Weitere Übungen zum Kongruenzsatz SSWSSW sowie Aufgaben mit Lösungen zum Kongruenzsatz SSWSSW findest du hier bei sofatutor.

Transkript Kongruenzsätze – SSW

Hey, in diesem Video beschäftigen wir uns mit dem Kongruenzsatz SSW. Dazu klären wir zunächst, was Kongruenz eigentlich bedeutet. Anschließend schauen wir uns den Kongruenzsatz SSW an und wie man mit dessen Hilfe ein Dreieck konstruieren kann. Der Begriff Kongruenz kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie 'Deckungsgleichheit'. Diese beiden Dreiecke sind zum Beispiel kongruent. Legen wir das eine Dreieck auf das andere, sehen wir, dass sie deckungsgleich übereinander liegen. Nicht nur verschobene, sondern auch gedrehte und gespiegelte Figuren sind also kongruent zueinander. Sind zwei Dreiecke deckungsgleich, dann gleichen sie sich in Form und Größe. Doch wie können wir erkennen, ob zwei Dreiecke kongruent sind? Hierbei helfen uns die vier Kongruenzsätze für Dreiecke. Diese besagen, dass zwei Dreiecke immer dann kongruent sind, wenn sie in drei bestimmten Eigenschaften übereinstimmen. Kongruent sind alle Dreiecke, deren Seitenlängen jeweils gleich sind. Dies gilt auch für Dreiecke, die in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem an der kürzeren Seite anliegenden Winkel überein, sind sie ebenfalls kongruent. Gleiches gilt für zwei Dreiecke, bei denen je eine Seite und die an dieser Seite anliegenden Winkel einander entsprechen. S steht hier für Seite und W für Winkel. Die Kongruenzsätze besagen ebenfalls, dass man für die Konstruktion eindeutiger Dreiecke nur diese drei Angaben benötigt. Eindeutig' meint hier, dass bei der Konstruktion immer nur zueinander kongruente Dreiecke entstehen können. Schauen wir uns jetzt den Kongruenzsatz SSW an. Haben zwei Dreiecke zwei gleich lange Seiten und ist der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel ebenfalls gleich groß, dann sind die Dreiecke nach diesem Satz immer kongruent. Gleichzeitig bedeutet dieser Satz: Hat man für die Konstruktion eines Dreiecks zwei Seiten und den der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel gegeben, dann sind alle so konstruierten Dreiecke kongruent. Schauen wir uns diese Konstruktion doch einmal an. Gegeben ist der Winkel Alpha gleich 80 Grad, und die Seiten a gleich 10 cm und c gleich 8 cm. Zunächst zeichnen wir die kürzere der beiden gegebenen Seiten, also c. Hier haben wir dann die Punkte A und B. Dann zeichnen wir an A den Winkel Alpha. Nun müssen wir nur die längere der gegebenen Seiten einzeichnen, welche die Seite a ist, da sie gegenüber von dem Winkel liegen soll. Wir stellen dazu den Zirkel auf 10 cm ein, stechen ihn in B ein und zeichnen einen Kreisbogen um B, der diese Halbgerade im Punkt C schneidet. Abschließend verbinden wir B mit C zum Dreieck ABC. Da der Kreis die Halbgerade nur in einem Punkt schneidet, entsteht bei der Konstruktion mit diesen drei Angaben auch nur dieses Dreieck. Die Konstruktion ist also eindeutig. Und wie ist das, wenn der Winkel der kürzeren Seite gegenüberliegt? So eine Konstruktion ist nicht möglich, denn der Kreisbogen schneidet diese Halbgerade nicht. Die Seiten würden sich also nie treffen. Es ist für die Konstruktion also wichtig, dass die längere Seite gegenüber des gegebenen Winkels liegt. Deswegen wird dieser Kongruenzsatz auch oft mit der Schreibweise S, klein S, W bezeichnet. Das kleine s zeigt dabei an, dass die kürzere gegebene Seite an dem Winkel anliegt. Fassen wir das noch einmal zusammen. Haben zwei Dreiecke zwei gleich lange Seiten und ist der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel ebenfalls gleich groß, dann sind die Dreiecke immer kongruent. Gleichzeitig ist ein Dreieck mit diesen drei Angaben immer eindeutig konstruierbar. War doch gar nicht so schwierig.

10 Kommentare
  1. Beste Video hat mir sehr geholfen 👍

    Von Mio, vor etwa einem Jahr
  2. Ich finde es nicht so informativ es sind kaum Informationen vorhanden.

    Von Leon, vor etwa 3 Jahren
  3. das vvidpo ist ganz niceeeeeee

    Von Paul, vor etwa 3 Jahren
  4. wie findet ihr das Video,
    ich finde es sehr gut und informatif

    Von Drip to hard Like Felix, vor fast 4 Jahren
  5. moin

    Von Drip to hard Like Felix, vor fast 4 Jahren
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