Die Höhe eines Dreiecks

Die Höhe eines Dreiecks Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zur Höhe von Dreiecken.

  Tipps

  Hier wurden alle Höhen eines spitzwinkligen Dreiecks eingezeichnet.

  In einem rechtwinkligen Dreieck liegen zwei Seitenlängen (beispielsweise $a$ und $b$) an einem rechten Winkel an. Die Höhen dieser beiden Seitenlängen verlaufen auf jeweils der anderen Seitenlänge ($h_a$ liegt auf $b$ und andersrum).

  Lösung

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Alle drei Höhen treffen sich in genau einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt.“

  „In einem stumpfwinkligen Dreieck kommen Höhen vor, die außerhalb des Dreiecks liegen.“

  „In rechtwinkligen Dreiecken liegt der Höhenschnittpunkt genau auf dem Eckpunkt, in dem der rechte Winkel liegt.“

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Die Höhe $h_c$ steht senkrecht zur Seitenlänge $b$ und verläuft durch den Eckpunkt $C$.“

  • Jede Höhe steht senkrecht zu einer Seitenlänge und verläuft durch den gegenüberstehenden Eckpunkt. Die Höhe $h_c$ steht also senkrecht zur Seitenlänge $c$.

  „Ein Dreieck hat entweder genau eine oder drei Höhen. Diese können unterschiedliche oder gleiche Längen haben.“

  • Jedes Dreieck hat genau drei Höhen. Diese können jedoch auch außerhalb des Dreiecks liegen.

• Beschreibe die Konstruktion von Höhen in Dreiecken.

  Tipps

  Die Höhe $h_c$ ist ein Lot auf der Seitenlänge $c$, das durch den Eckpunkt $C$ verläuft.

  Der Radius des ersten Kreisbogens soll so gewählt werden, dass zwei Schnittpunkte mit der Verlängerung der Seitenlänge entstehen.

  Lösung

  Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

  “Um die Höhe $h_c$ zu konstruieren, verlängere zuerst die Seitenlänge $c$. Zeichne dann einen Kreisbogen um den Eckpunkt $C$. Dieser Kreisbogen sollte die verlängerte Seitenlänge zweimal schneiden. Markiere die beiden Schnittpunkte.“

  • Die Höhe $h_c$ ist ein Lot auf der Seitenlänge $c$, das durch den Eckpunkt $C$ verläuft. Das wird hier konstruiert. Mit diesem ersten Kreisbogen findest du zwei Punkte auf der Seitenlänge $c$, die den gleichen Abstand vom Eckpunkt $C$ haben.

  „Anschließend zeichnest du zwei Kreisbögen um die gerade gefundenen Schnittpunkte. Die Kreisbögen müssen den gleichen Radius haben und sich zweimal schneiden.“

  • Das gesuchte Lot hat in jedem Punkt den gleichen Abstand zu den beiden gefundenen Schnittpunkten. Hier finden wir zwei dieser Punkte, die den gleichen Abstand zu den Schnittpunkten haben, sodass wir das Lot zeichnen können.

  „Durch die beiden Schnittpunkte und den Punkt $C$ kannst du ein Lot zeichnen. Dieses steht senkrecht auf der Seitenlinie $c$ und ist die Höhe $h_c$ des Dreiecks.“

• Erschließe, wo der Höhenschnittpunkt der Dreiecke liegt.

  Tipps

  Die Dreiecke kannst du anhand der Winkel unterscheiden. Ein spitzwinkliges Dreieck hat ausschließlich Winkel, die kleiner als $90^{\circ}$ sind. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Winkel von genau $90^{\circ}$ und ein stumpfwinkliges Dreieck hat einen Winkel, der größer als $90^{\circ}$ ist.

  Lösung

  Die Begriffe kannst du folgendermaßen zuordnen. Die Dreiecke kannst du anhand der Winkel unterscheiden. Ein spitzwinkliges Dreieck hat ausschließlich Winkel, die kleiner als $90^{\circ}$ sind. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Winkel von genau $90^{\circ}$ und ein stumpfwinkliges Dreieck hat einen Winkel, der größer als $90^{\circ}$ ist.

  • Die Höhen $h$ spitzwinkliger Dreiecke verlaufen innerhalb des Dreiecks und der Höhenschnittpunkt $H$ liegt innerhalb des Dreiecks.

  • Die Höhen $h$ stumpfwinkliger Dreiecke können außerhalb des Dreiecks verlaufen und treffen sich immer außerhalb des Dreiecks.

  • Zwei Höhen $h$ von rechtwinkligen Dreiecken verlaufen auf den Seitenlinien des Dreiecks und alle Höhen treffen sich immer in einem Eckpunkt.

• Ermittle die Höhen eines Dreiecks.

  Tipps

  Die Längen der Höhen kannst du bestimmen, indem du das Dreieck in dein Heft zeichnest und wie gewohnt die Höhen konstruierst. Dann kannst du die Längen der Höhen abmessen.

  Hast du Probleme das Dreieck zu zeichnen, kannst du es in ein Koordinatensystem platzieren. Dabei liegt der Punkt $A$ bei $(0\vert0)$, $B$ bei $(0\vert7)$ und $C$ hat die Koordinaten $(3,5\vert 1,9)$.

  Lösung

  Die Längen der Höhen kannst du bestimmen, indem du das Dreieck in dein Heft zeichnest und wie gewohnt die Höhen konstruierst. Dann kannst du die Längen der Höhen abmessen.

  Hast du Probleme das Dreieck zu zeichnen, kannst du es in ein Koordinatensystem platzieren. Dabei liegt der Punkt $A$ bei $(0\vert0)$, $B$ bei $(0\vert7)$ und $C$ hat die Koordinaten $(3,5\vert 1,9)$.

  Damit ergeben sich folgende Höhen:

  $h_a=2,6~\text{cm}$

  $h_b=4,3~\text{cm}$

  $h_c=1,9~\text{cm}$

• Beschrifte das Dreieck und seine Höhen.

  Tipps

  Beachte, dass Seitenlängen immer mit einem kleinen Buchstaben bezeichnet werden.

  Große Buchstaben bezeichnet die den Seitenlängen gegenüberliegenden Eckpunkte. ($b$ liegt gegenüber der Seitenlänge $B$)

  Lösung

  So kannst du das Dreieck beschriften. Beachte, dass Seitenlängen immer mit einem kleinen Buchstaben bezeichnet werden. Dieselben großen Buchstaben bezeichnet die den Seitenlängen gegenüberliegenden Eckpunkte. Höhen werden nach der Seitenlänge bezeichnet, die senkrecht zu ihnen steht.

• Bestimme den Flächeninhalt eines Dreieck mithilfe der Höhe.

  Tipps

  In einem rechtwinkligen Dreieck verlaufen die Höhen der Seitenlängen, die am rechten Winkel anliegen, genau durch die jeweils andere Seitenlänge am rechten Winkel. Also ist hier $b$ die Höhe zur Seitenlänge $a$ und umgekehrt.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu bestimmen, müssen wir zuerst eine Höhe des Dreiecks bestimmen. Die Höhe $h_c$ konstruieren wir wie gewohnt durch einen Kreisbogen um den Punkt $C$. Um die beiden Schnittpunkte des Kreisbogens mit der verlängerten Seitenlänge $C$ zeichnen wir zwei weitere Kreisbogen. Durch die Schnittpunkte dieser beiden Kreisbögen zeichnen wir ein Lot. Jetzt können wir die Höhe $h_c$ abmessen. Diese beträgt: $2,4~\text{cm}$.“

  • Diesen Wert erhältst du, wenn du das Lot wie beschrieben konstruierst.

  „Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich durch:

  $A=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$.

  Dabei kann $g$ eine beliebige Seitenlänge sein. $h$ ist die zu dieser Seitenlänge gehörige Höhe. Bei uns lautet die Formel also:

  $A=\frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$“

  • Hier können wir jede beliebige Seitenlänge und ihre Höhe einsetzen.

  „Setzen wir die Werte ein, erhalten wir:

  $A=\frac{1}{2} \cdot 5~\text{cm} \cdot 2,4~\text{cm}=6~\text{cm}^2$“.

  „Der Flächeninhalt lässt sich auch einfacher bestimmen. Verwenden wir eine der anderen Seitenlängen als Höhe, vereinfacht sich die Rechnung zu:

  $A=\frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.

  Hier erhalten wir:

  $A=\frac{1}{2} \cdot 3~\text{cm} \cdot 4~\text{cm}=6~\text{cm}^2$“.

  • In einem rechtwinkligen Dreieck verlaufen die Höhen der Seitenlängen, die am rechten Winkel anliegen, genau durch die jeweils andere Seitenlänge am rechten Winkel. Also ist hier $b$ die Höhe zur Seitenlänge $a$ und umgekehrt. Damit vereinfacht sich die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts, da wir keine Höhe bestimmen müssen.