Ortskurve (Ortslinie) bei ganzrationalen Funktionen

Was ist eine Kurvenschar?

Wenn du einer Funktionsgleichung begegnest, die zwei Variablen enthält, handelt es sich wahrscheinlich um eine Funktion mit Parameter, auch Scharfunktion oder Funktionsschar genannt. Ein Beispiel ist $f_{v}(x)=-\frac{1}{v^2}x^2+0{,}1x$.

Hier ist $x$ die Funktionsvariable und $v$ der Parameter.
Es handelt sich um die Modellierung der Flugbahn eines Fußballs bei verschiedenen Schussgeschwindigkeiten $v$. Die Flughöhe $f(x)$ wird jeweils in Abhängigkeit von der Flugweite $x$ angegeben. Wenn man einen festen Wert für $v$ in die Funktionsgleichung einsetzt, erhält man einen Funktionsterm und einen Graphen.
Für $v=10$ gilt ${f_{10}(x)=-\frac{1}{100}x^2+0{,}1x}$.
Betrachtet man alle Funktionsterme $f_v(x)$ gemeinsam, erhält man eine Familie von Graphen, die sogenannte Kurvenschar.
In der Abbildung siehst du drei Graphen ($f_5(x), f_{10}(x)$ und $f_{15}(x)$) der unendlich viele Graphen umfassenden Kurvenschar.

Alle Graphen einer Kurvenschar haben Gemeinsamkeiten und Unterschiede. In diesem Beispiel kannst du sehen, dass alle Graphen nach unten geöffnet sind und eine Nullstelle im Ursprung haben (die Anstoßstelle des Fußballs). Als Unterschied ist zu benennen, dass die Parabeln verschiedene Streckfaktoren und unterschiedliche Koordinaten der Extrempunkte und zweiten Nullstelle haben (da sich die Flughöhe und Flugweite des Fußballs mit der Schussgeschwindigkeit $v$ ändern). Kurvenscharen gibt es für alle Funktionsklassen. In diesem Text werden wir Beispiele für ganzrationale Funktionen betrachten.

Was ist eine Ortskurve (Ortslinie)?

Betrachte erneut die Flugbahnen für den Fußball bei verschiedenen Schussgeschwindigkeiten.

Anhand der Kurvenschar ist zu sehen, dass die Extrempunkte wiederum auf einer Kurve (in diesem Fall auf einer Geraden) liegen. Das ist die sogenannte Ortskurve (auch: Ortslinie). Den Funktionsterm der Ortskurve (bzw. Ortslinie) kann man rechnerisch bestimmen. Dazu werden zunächst die charakteristischen Punkte mit den Methoden der Kurvendiskussion bestimmt. Beim Lösen von Gleichungen, Ableiten und Integrieren wird der Parameter wie eine Zahl behandelt. Die Nullstellen, Extrempunkte oder Wendepunkte werden in Abhängigkeit vom Parameter berechnet und angegeben.

Wie bestimmt man die Ortskurve?

Man kann die Ortskurve der Extrempunkte oder der Wendepunkte bestimmen. Das Vorgehen ist in beiden Fällen gleich und umfasst zwei Schritte.

Beispiel 1: Ortskurve der Hochpunkte der Flugparabel

Wir bestimmen die Ortskurve der Hochpunkte für das obige Beispiel der Flugbahnen des Fußballs.

Schritt 1: Hochpunkt in Abhängigkeit des Parameters bestimmen

Bilde zunächst die ersten beiden Ableitungen. Der Parameter $v$ wird wie eine Zahl behandelt, wir leiten nach $x$ ab.

$f_v(x)=-\dfrac{1}{v^2}x^2+0{,}1x$

$f^{\prime}_v(x)=-\dfrac{2}{v^2}x+0{,}1$

$f^{\prime\prime}_v(x)=-\dfrac{2}{v^2}$

Setze die erste Ableitung gleich null und setze die Lösung in die zweite Ableitung ein.

$f^{\prime}_v(x)=0 \Longrightarrow -\dfrac{2}{v^2}x+0{,}1=0 \Longrightarrow -\dfrac{2}{v^2}x=-0{,}1 \Longrightarrow x=0{,}05v^2$

$f^{\prime\prime}_v(0{,}05v^2)=-\dfrac{2}{v^2}$

Weil wir für $v$ sinnvollerweise nur positive Werte einsetzen können ($v$ beschreibt die Schussgeschwindigkeit) und $v$ in der Funktionsgleichung der zweiten Ableitung quadriert wird, ist die zweite Ableitung insgesamt für jedes $v$ negativ.
Es gilt $f^{\prime}_v(0{,}05v^2)=0$ und $f^{\prime\prime}_v(0{,}05v^2)<0$, damit liegt bei $x=0{,}05 v^2$ ein Hochpunkt.

Berechnung der $y$-Koordinate:

$f_v(0{,}05v^2)=-\dfrac{1}{v^2}(0{,}05v^2)^2+0{,}1\cdot 0{,}05 v^2 = -\dfrac{1}{v^2}(0{,}0025 v^4)+ 0{,}005 v^2$
$= -(0{,}0025 v^2)+ 0{,}005 v^2=0{,}0025 v^2$

Der Hochpunkt liegt bei $H(0{,}05v^2\,\vert\,0{,}0025 v^2)$.

Schritt 2: Ortskurve der Hochpunkte bestimmen

Da wir den Hochpunkt einer Parameterfunktion bestimmt haben und mindestens eine Koordinate vom Parameter $v$ abhängt, handelt es sich bei $H(0{,}05v^2\,\vert\,0{,}0025 v^2)$ um unendlich viele Punkte. Diese Punkte liegen alle auf einer Kurve, für die beide Koordinaten erfüllt sind. Das heißt, dass beide Gleichungen $x=0{,}05v^2$ und $y=0{,}0025 v^2$ gelten. Wir formen die erste Gleichung nach $v^2$ um, sodass wir sie in die zweite Gleichung einsetzen können.

$v^2=\dfrac{x}{0{,}05}$ in $y=0{,}0025 v^2$ eingesetzt ergibt

$y=0{,}0025\cdot \dfrac{x}{0{,}05}=0{,}05x$.

Die Ortskurve der Hochpunkte ist in diesem Fall durch die Funktionsgleichung $y=0{,}05x$ gegeben. Vergleiche mit der Abbildung oben (rote Gerade).

Beispiel 2: Ortskurve der Tiefpunkte einer Funktion dritten Grads

Bestimme die Ortskurve der Tiefpunkte von $f_{b}(x)=0{,}1x^3-1{,}2b^2x \text{ mit } b>0$.

Schritt 1: Tiefpunkt in Abhängigkeit des Parameters bestimmen

Ableitungen:

$f_{b}(x)=0{,}1x^3-1{,}2b^2x$

$f^{\prime}_b(x)=0{,}3x^2-1{,}2b^2$

$f^{\prime\prime}_b(x)=0{,}6x$

Nullstellen der ersten Ableitung:

$f^{\prime}_b(x)=0 \Longrightarrow 0{,}3x^2-1{,}2b^2=0 \Longrightarrow 0{,}3x^2=1{,}2b^2 \Longrightarrow x^2=4 b^2$

$x_{1{,}2}=\pm 2b$

Einsetzen in die zweite Ableitung:

$f^{\prime\prime}_b(+2b)=0{,}6\cdot 2b=1{,}2b$

$\text{wegen } b>0 \text { gilt } f^{\prime\prime}_b(+2b)>0 \Longrightarrow \text { Tiefpunkt bei } x=1{,}2b$

$f^{\prime\prime}_b(-2b)=0{,}6\cdot (-2b)=-1{,}2b$

$\text{wegen } b>0 \text { gilt } f^{\prime\prime}_b(-2b)<0 \Longrightarrow \text { Hochpunkt bei } x=-1{,}2b$

Berechnung der $y$-Koordinate des Tiefpunkts:

$f_{b}(2b)=0{,}1\cdot (2b)^3-1{,}2b^2\cdot 2b =0{,}8 b^3-2{,}4 b^3= -1{,}6 b^3$

Der Tiefpunkt liegt bei $T(2b\,\vert-1{,}6 b^3)$.

Schritt 2: Ortskurve der Tiefpunkte bestimmen

Die Ortskurve muss die beiden Gleichungen $x=2b$ und $y=-1{,}6 b^3$ erfüllen.
Forme die erste Gleichung nach $b$ um und setze $b=\frac{x}{2}$ in die zweite Gleichung ein:
$y=-1{,}6\left(\dfrac{x}{2}\right )^3=-0{,}2 x^3$

Die Ortskurve der Tiefpunkte entspricht dem Graphen von $y=-0{,}2 x^3$. Vergleiche mit der folgenden Abbildung (roter Graph).

Beispiel 3: Ortskurve der Wendepunkte

Bestimme die Ortskurve der Wendepunkte von $f_{t}(x)=\frac{1}{6}x^3-4tx^2$.

Schritt 1: Wendepunkt in Abhängigkeit des Parameters bestimmen

Ableitungen:

$f_{t}(x)=\dfrac{1}{6}x^3-4tx^2$

$f^{\prime}_{t}(x)=\dfrac{1}{2}x^2-8tx$

$f^{\prime\prime}_{t}(x)=x-8t$

$f^{\prime\prime\prime}_{t}(x)=1$

Nullstellen der zweiten Ableitung:

$f^{\prime\prime}_{t}(x)=0 \Longrightarrow x-8t=0 \Longrightarrow x=8t$

Es gilt $f^{\prime\prime}_{t}(8t)=0$ und $f^{\prime\prime\prime}_{t}(8t)\neq 0$, also liegt bei $x=8t$ eine Wendestelle vor.

Berechnung der $y$-Koordinate:

$f_{t}(8t)=\frac{1}{6} (8t)^3-4t(8t)^2=\frac{1}{6}\cdot 512 t^3-4t \cdot 64t^2=\frac{256}{3}t^3-256 t^3=-\frac{512}{3}t^3$

Der Wendepunkt liegt bei $WP(8t\,\vert-\frac{512}{3}t^3)$.

Schritt 2: Ortskurve der Wendepunkte bestimmen

Die Ortskurve muss die beiden Gleichungen $x=8t$ und $y=-\frac{512}{3}t^3$ erfüllen.
Forme die erste Gleichung nach $t$ um und setze $t=\frac{x}{8}$ in die zweite Gleichung ein:
$y=-\dfrac{512}{3}\left( \dfrac{x}{8}\right)^3=-\dfrac{512}{3}\left( \dfrac{x^3}{512}\right)=-\dfrac{1}{3}x^3$

Die Ortskurve der Wendepunkte entspricht dem Graphen von $y=-\dfrac{1}{3}x^3$.