Scharen von Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion (2)

Scharen von Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion (2) Übung

• Bestimme die Ableitungen sowie die Koordinatenschnittpunkte der Kurvenschar.

  Tipps

  Wende zum Ableiten die Produktregel an:

  $(uv)'=u'v+uv'$.

  Für die Nullstellen löst du die Gleichung $f_a(x)=0$.

  Beachte, dass $e^x\neq 0$ ist.

  Für den y-Achsenabschnitt setzt du $x=0$ in der Funktionsgleichung ein.

  Lösung

  Ableitungen

  Um eine Kurvendiskussion durchzuführen, benötigt man auf jeden Fall die ersten (drei!) Ableitungen. Da diese Funktion das Produkt zweier Funktionen ist, verwendet man die Produktregel:

  $(uv)'=u'v+uv'$.

  Damit ist

  $f_a'(x)=e^x(1-ax)+e^x(-a)$.

  Nun kann der gemeinsame Faktor $e^x$ ausgeklammert werden zu

  $f_a'(x)=e^x(1-ax-a)=e^x(1-a-ax)$.

  Ebenso können die zweite und dritte Ableitung bestimmt werden:

  • $f_a''(x)=e^x(1-2a-ax)$
  • $f_a'''(x)=e^x(1-3a-ax)$

  Nullstelle

  Es muss die Gleichung $f_a(x)=0$ gelöst werden:

  $e^x(1-ax)=0$.

  Da $e^x\neq 0$ ist, muss $1-ax=0$ sein. Dies ist äquivalent zu

  $x=\frac1a$.

  Damit ist N$\left(\frac1a\big\vert0\right)$ die gesuchte Nullstelle.

  Y-Achsenabschnitt

  Hierfür wird $x=0$ in der Funktionsgleichung eingesetzt:

  $f_a(0)=e^0(1-a\cdot 0)=1$.

  Der y-Achsenabschnitt ist $Y(0|1)$.

• Ermittle die Extrema sowie deren Ortskurve.

  Tipps

  Die ersten beiden Ableitungen sind

  • $f_a'(x)=e^x(1-a-ax)$ sowie
  • $f_a''(x)=e^x(1-2a-ax)$.

  Es muss gelten $f_a'(x)=0$.

  Wenn du diese Gleichung löst, erhältst du ein $x_E$.

  Zusätzlich muss $f_a''(x_E) \neq 0$ gelten.

  Sowohl die x- als auch die y-Koordinate des Extremums hängen von dem Parameter $a$ ab.

  Forme die x-Koordinate nach $a$ um und setze dieses $a$ in der y-Koordinate ein.

  Lösung

  Hier sind drei Kurven der Schar zu sehen sowie die Ortskurve der Extrema (grau).

  Wie kann diese Ortskurve bestimmt werden?

  Zunächst muss die Kurvenschar auf Extrema untersucht werden.

  Die ersten beiden Ableitungen der Funktion $f_a(x)=e^x(1-ax)$ sind

  • $f_a'(x)=e^x(1-a-ax)$ sowie
  • $f_a''(x)=e^x(1-2a-ax)$.

  Notwendigerweise muss $f_a(x)=0$ sein. Da $e^x\neq 0$ ist, muss $1-a-ax=0$ sein. Diese Gleichung wird wie folgt gelöst:

  $\begin{array}{rcl} 1-a-ax&=&0&|&+ax\\ 1-a&=&ax&|&:a\\ \frac1a-1&=&x \end{array}$

  Nun muss diese Lösung noch in der zweiten Ableitung eingesetzt werden. Diese muss hinreichend ungleich $0$ sein:

  $\begin{array}{rcl} f_a''\left(\frac1a-1\right)&=&e^{\frac1a-1}\left(1-2a-a\left(\frac1a-1\right)\right)\\ &=&e^{\frac1a-1}(1-2a-1+a)\\ &=&-ae^{\frac1a-1}<0 \end{array}$

  Das bedeutet, dass die Funktion einen Hochpunkt besitzt. Für die y-Koordinate setzt man $x=\frac1a-1$ in der Funktionsgleichung ein:

  $f_a\left(\frac1a-1\right)=e^{\frac1a-1}\left(1-a\left(\frac1a-1\right)\right)=a\cdot e^{\frac1a-1}$.

  $HP\left(\frac1a-1\big\vert a\cdot e^{\frac1a-1}\right)$.

  Ortskurve

  Zunächst wird $x=\frac1a-1$ nach $a$ umgeformt.

  • Addition von $1$ führt zu $x+1=\frac1a$.
  • Nun wird der Kehrwert gebildet: $a=\frac1{x+1}$.

  Dieses $a$ wird nun in der y-Koordinate eingesetzt:

  $y=\frac1{x+1}\cdot e^{x+1-1}=\frac1{x+1}\cdot e^x$.

  Dies ist die gesuchte Ortskurve

  $y(x)=\frac1{x+1}\cdot e^x$.

• Gib die Koordinatenschnittpunkte der Funktion an und untersuche das Grenzwertverhalten.

  Tipps

  Du kannst einige der Aussagen bereits mit dem oben zu sehenden Graphen untersuchen.

  Beachte: Es sind die Nullstellen sowie der y-Achsenabschnitt der Kurvenschar gemeint. Beide hängen von dem Parameter $a$ ab.

  Es gilt

  • $\lim\limits_{x\to \infty}e^{-x}=0$ und
  • $\lim\limits_{x\to -\infty}e^{-x}=„\infty“$.

  Lösung

  Die Nullstellen sind die Lösungen der Gleichung $f_a(x)=0$.

  $\begin{array}{crclll} &(ax+1)\cdot e^{-x+a}&=&0&|&e^{-x+a}\neq 0\\ \Leftrightarrow&ax+1&=&0&|&-1\\ &ax&=&-1&|&:a\\ &x&=&-\frac1a \end{array}$

  Also hängen die Nullstellen bereits von dem Parameter $a$ ab. Für $a=1$ ist $x=-1$ die Nullstelle (siehe Funktionsgraph).

  Für den y-Achsenabschnitt setzt man $x=0$ in der Funktionsgleichung ein:

  $y=f_a(0)=(a\cdot 0+1)\cdot e^{-0+a}=e^a$.

  Für $a=1$ erhält man $y=e$.

  Grenzwerte

  Wenn $x$ sehr groß wird, wird $ax+1$ ebenfalls sehr groß, $e^{-x+a}$ geht jedoch viel schneller gegen $0$. Deshalb ist

  $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=0$.

  Nun kann $x\to -\infty$ betrachtet werden: $ax+1$ geht ebenfalls gegen $-\infty$ und $e^{-x+a}$ gegen $\infty$. Damit gilt gesamt

  $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=„-\infty“$.

  Die Grenzwerte kann man an dem Graphen bereits erkennen.

• Untersuche die Funktionenschar auf Extrema.

  Tipps

  Verwende für die Ableitungen die Produktregel: $(uv)'=u'v+uv'$.

  Die erste Ableitung muss $0$ sein. Dies führt zu einer Gleichung.

  Deren Lösung(en) setzt du in der zweiten Ableitung ein: Ist diese

  • positiv, dann liegt ein Tiefpunkt vor, oder
  • negativ, dann liegt ein Hochpunkt vor.

  Sowohl die x- als auch die y-Koordinate des Extremums hängt von dem Parameter $a$ ab.

  Lösung

  Um diese Funktion auf Extrema zu untersuchen, benötigt man die ersten beiden Ableitungen. Hierfür verwendet man die Produktregel $(uv)'=u'v+uv'$:

  $\begin{array}{crlll} f'(x)&=&a\cdot e^{-x+a}-(ax+1)e^{-x+a}&|&\text{ Ausklammern}\\ &=&(-ax+a-1)e^{-x+a} \end{array}$

  und die zweite Ableitung

  $\begin{array}{crlll} f''(x)&=&-a\cdot e^{-x+a}-(-ax+a-1)e^{-x+a}&|&\text{ Ausklammern}\\ &=&(ax-2a+1)e^{-x+a} \end{array}$

  Für Extrema muss notwendigerweise gelten, dass die erste Ableitung $0$ ist:

  $\begin{array}{crclll} &(-ax+a-1)e^{-x+a}&=&0&|&e^{-x+a}\neq 0\\ \Leftrightarrow&-ax+a-1&=&0&|&-a+1\\ &-ax&=&-a+1&|&:(-a)\\ &x&=&1-\frac1a \end{array}$

  Nun muss der gefundene Wert hinreichend in der zweiten Ableitung eingesetzt werden, um zum einen herauszufinden, ob und falls ja, welches Extremum vorliegt.

  $f_a''\left(1-\frac1a\right)=\left(a\cdot\left(1-\frac1a\right)-2a+1\right)e^{-\left(1-\frac1a\right)+a}=-ae^{-\left(1-\frac1a\right)+a}<0$

  Da $e^{~~}$ immer positiv ist und $-a$ negativ, liegt ein Hochpunkt vor.

  Nun muss noch die y-Koordinate des Extremums berechnet werden:

  $y=f_a\left(1-\frac1a\right)=\left(a\cdot\left(1-\frac1a\right)+1\right)e^{-\left(1-\frac1a\right)+a}=ae^{-1+\frac1a+a}$.

  Somit lautet der Hochpunkt

  $HP\left(1-\frac1a\big\vert a e^{-1+\frac1a+a}\right)$.

• Beschreibe die Herleitung und die Bedeutung der Ortskurve der Extrema.

  Tipps

  Schaue dir das folgende Beispiel an: $E\left(a\big\vert\frac1a\right)$.

  Hier ist

  • $x(a)=a$ und
  • $y(a)=\frac1a$.

  Somit ist also $a=x$.

  Setze dieses $a$ in der y-Koordinate ein:

  $y=y(x)=\frac1x$.

  Dies ist die gesuchte Ortskurve.

  Lösung

  Wenn man alle Extrema einer Kurvenschar in ein Koordinatensystem einträgt, erhält man wieder eine Kurve.

  Diese Kurve, auf der alle Extrema liegen, wird als Ortskurve der Extrema bezeichnet.

  Wie kann diese Ortskurve bestimmt werden?

  • Zuerst formt man die x-Koordinate, welche von dem Parameter $a$ abhängen muss, nach diesem Parameter um. Der Parameter ist nun in Abhängigkeit von $x$ gegeben.
  • Nun wird der Parameter in der y-Koordinate eingesetzt. Diese hängt nun von $x$ ab.

  Also ist $y=y(x)$ die gesuchte Ortskurve.

• Bestimme die Ortskurve der Extrema und ordne den Graphen den zugehörigen Parameter zu.

  Tipps

  Forme die x-Koordinate des Hochpunktes nach $a$ um und setze dieses $a$ in der y-Koordinate ein: So erhältst du die Ortskurve der Extrema.

  Es ist

  $a=\frac1{1-x}$.

  Um den jeweiligen Graphen zu identifizieren, kannst du für $a$ verschiedene Werte in dem Hochpunkt einsetzen.

  Übrigens:

  • Die Nullstelle der Funktionenschar ist $x=-\frac1a$ und
  • die Funktionenschar schneidet die y-Achse bei $e^a$.

  Lösung

  Der Hochpunkt dieser Funktion lautet

  $HP\left(1-\frac1a\big\vert ae^{-1+\frac1a+a}\right)$.

  Ortskurve

  Zuerst wird die x-Koordinate nach $a$ umgeformt:

  $\begin{array}{rclll} x&=&1-\frac1a&|&-1\\ x-1&=&-\frac1a&|&:(-1)\\ 1-x&=&\frac1a&|&\text{ Kehrwert}\\ \frac1{1-x}&=&a \end{array}$

  Dieses $a$ wird in der y-Koordinate eingesetzt:

  $y=\frac1{1-x}e^{-1+\frac1{\frac1{1-x}}+\frac1{1-x}}=\frac1{1-x}e^{-x+\frac1{1-x}}$.

  Die gesuchte Ortskurve ist somit

  $y(x)=\frac1{1-x}e^{-x+\frac1{1-x}}$.

  Um nun herauszufinden, welcher Wert für den Parameter $a$ zu welchem Graphen gehört, kann man sich den entsprechenden Hochpunkt anschauen. Dabei genügt eigentlich schon die x-Koordinate:

  • Bei dem roten Graphen ist $x=0$, also ist $a=\frac1{1-0}=1$.
  • Bei dem grünen Graphen ist $x=-1$, also ist $a=\frac1{1-(-1)}=\frac12=0,5$.
  • Bei dem blauen Graphen ist die x-Koordinate nicht so exakt abzulesen. Diese ist $x=\frac13$, also ist $a=\frac1{1-\frac13}=\frac32=1,5$.