Scharen von Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion (1)

Scharen von Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion (1) Übung

• Beschreibe das allgemeine Vorgehen bei einer Kurvendiskussion.

  Tipps

  Es müssen dreimal Nullstellen berechnet werden:

  • die der Funktion,
  • die der 1. Ableitung, für die Extrema, und
  • die der 2. Ableitung, für die Wendepunkte.

  Wenn die 1. Ableitung $0$ ist, heißt dies nur, dass eine waagerechte Tangente an der entsprechenden Stelle vorliegt. Es muss noch kein Extremum sein.

  Auch ein Sattelpunkt hat eine waagerechte Tangente.

  Beachte, dass die Kriterien bei den Extrema und Wendepunkten sehr ähnlich aussehen.

  Lösung

  Bei einer Kurvendiskussion müssen die folgenden Punkte bearbeitet werden. Die Reihenfolge kann dabei verändert werden, wobei die Ableitungen für die Extrema und Wendepunkte benötigt werden.

  1. Zunächst werden die ersten drei Ableitungen benötigt.
  2. Der Graph der Funktion kann die y-Achse in einem Punkt schneiden, dem y-Achsenschnittpunkt. Diesen erhält man, indem man $x=0$ in der Funktionsgleichung einsetzt. Es kann mehrere Schnittpunkte mit der x-Achse geben, die Nullstellen. Dafür muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden.
  3. Extrema: Es sind zwei Kriterien zu untersuchen: (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E)\neq0$. Dabei steht „(n)“ für notwendig und „(h)“ für hinreichend.
  4. Wendepunkte: Es sind zwei Kriterien zu untersuchen: (n) $f''(x_W)=0$ und (h) $f'''(x_W)\neq0$.
  5. Die Grenzwerte der Funktion für $x \to ±\infty$ werden berechnet.
  6. Zu guter Letzt kann der Graph der Funktion mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse und gegebenenfalls ergänzend einer Wertetabelle skizziert werden.

• Gib den y-Achsenschnittpunkt, die Nullstelle, den Extrem- und den Grenzwert für $x\to \infty$ der Funktion an.

  Tipps

  Der y-Achsenschnittpunkt liegt auf der y-Achse, also ist die x-Koordinate dieses Punktes $0$.

  Die Nullstelle liegt auf der x-Achse, also ist die y-Koordinate dieses Punktes $0$.

  Für Extrema gilt

  • (notwendig) $f'(x_E)=0$ und
  • (hinreichend) $f''(x_E)\neq 0$.

  Für Wendepunkte gilt

  • (notwendig) $f''(x_W)=0$ und
  • (hinreichend) $f'''(x_W)\neq 0$.

  Lösung

  Wir wollen die Achsenschnittpunkte, die Extrema und das Grenzverhalten der Funktionsschar $f_a(x)=e^x\cdot (x+a)$ berechnen.

  • y-Achsenschnittpunkt: Es muss $x=0$ in der Funktionsgleichung eingesetzt werden: $y=e^0(0+a)=a$, also $Y(0|a)$.
  • Nullstelle: Es muss die Gleichung $f_a(x)=0$ gelöst werden.

  $\begin{align*} &&f_a(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&e^x(x+a)&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x+a&=0 &|&~-a\\ &\Leftrightarrow&x&=-a. \end{align*}$

  Also $N(-a|0)$.

  • Extrema: Der Ansatz lautet (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E)\neq0$.

  $\begin{align*} &&f'_a(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&e^x(x+a+1)&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x+a+1&=0 &|&~-a-1\\ &\Leftrightarrow&x_E&=-a-1. \end{align*}$

  Einsetzen von $x_E=-a-1$ in

  • $f''_a(-a-1)=e^{-a-1}>0$
  • führt zu $TP(-a-1|-e^{-a-1})$. Die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von $-a-1$ in der Funktionsgleichung $f_a(x)$.
  • Der Grenzwert kann zum Beispiel durch Testeinsetzen berechnet werden. Das heißt man setzt immer größere positive $x$ in der Funktionsgleichung ein und stellt eine Vermutung über den Grenzwert (zum Beispiel für $a=1$, der Grenzwert ist für alle $a$ gleich) an:

  $\begin{array}{l|c|c|c} x& 10&100&\rightarrow \infty\\ \hline f(x)&242291,12…&2,71…\cdot 10^{45}&\rightarrow \infty \end{array}$

  Es liegt der uneigentliche Grenzwert, „$+\infty$“, vor.

• Bestimme die ersten drei Ableitungen der Funktion.

  Tipps

  Zur Ableitung eines Produktes zweier Funktionen wird die Produktregel angewendet:

  $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

  oder in der Kurzschreibweise $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u \cdot v'$.

  Für die Exponentialfunktion $e^x$ gilt $(e^x)'=e^x$.

  Da beim Anwenden der Produktregel zum Beispiel auf die Funktion $f(x)=x e^x$ der zweite Faktor sowohl als Funktion als auch als Ableitung erhalten bleibt, kann dieser ausgeklammert werden:

  $\begin{align*} (x e^x)'&=1 e^x+xe^x\\ &=(1+x)e^x\\ &=(x+1)e^x. \end{align*}$

  Ebenso kann in der 2. und 3. Ableitung der Faktor $e^x$ ausgeklammert werden.

  Die 2. Ableitung ist die Ableitung der 1. Ableitung.

  Die 3. Ableitung ist die Ableitung der 2. Ableitung.

  Lösung

  Zur Berechnung der 1. Ableitung wird

  • zum einen die Produktregel $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u \cdot v'$ und
  • zum anderen $(e^x)'=e^x$ sowie $(x^2)'=2x$ verwendet.

  $\begin{align*} f'(x)&=2x e^x+x^2 e^x\\ &=(2x+x^2)e^x\\ &=(x^2+2x)e^x. \end{align*}$

  Dabei wurde der Faktor $e^x$ ausgeklammert.

  Ebenso können die 2. und 3. Ableitung berechnet werden.

  $\begin{align*} f''(x)&=(2x+2)e^x+(x^2+2x)e^x\\ &=(2x+2+x^2+2x)e^x\\ &=(x^2+4x+2)e^x. \end{align*}$

  $\begin{align*} f'''(x)&=(2x+4)e^x+(x^2+4x+2)e^x\\ &=(2x+4+x^2+4x+2)e^x\\ &=(x^2+6x+6)e^x. \end{align*}$

• Ermittle die Schnittpunkte mit der x-Achse und die Extrem- und Wendepunkte der Funktion.

  Tipps

  Die ersten drei Ableitungen sind:

  $\begin{align*} f'(x)&=(x^2+2x)e^x\\ f''(x)&=(x^2+4x+2)e^x \\ f'''(x)&=(x^2+6x+6)e^x \end{align*}$

  Für Extrema müssen die folgenden Punkte bearbeitet werden

  • (n) $f'(x_E)=0$
  • (h) $f''(x_E)\neq 0$.
  • Für $f''(x_E)>0$ haben wir einen Tiefpunkt und für $f''(x_E)<0$ einen Hochpunkt.
  • Angabe des Extrempunktes $E(x_E|f(x_E))$.

  Für Wendepunkte müssen die folgenden Punkte bearbeitet werden

  • (n) $f''(x_W)=0$
  • (h) $f'''(x_W)\neq 0$.
  • Angabe des Wendepunktes $WP(x_W|f(x_W))$.

  Es gilt $e^{-2}\approx 0,13533 \approx 0,14$ und $\sqrt{2}\approx 1,41421 \approx 1,41$.

  Lösung

  Die ersten drei Ableitungen sind:

  $\begin{align*} f'(x)&=(x^2+2x)e^x\\ f''(x)&=(x^2+4x+2)e^x \\ f'''(x)&=(x^2+6x+6)e^x \end{align*}$

  Zunächst werden die Nullstellen berechnet. Es muss gelten

  $\begin{align*} &&f(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&x^2e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x^2&=0 &|&~\sqrt{}\\ &\Leftrightarrow&x&=0. &\end{align*}$

  Die Nullstelle ist $x=0$ und somit ist der Schnittpunkt mit der x-Achse $N(0|0)$.

  Sowohl für die Extrema als auch für Wendepunkte müssen jeweils ein notwendiges und ein hinreichendes Kriterium untersucht werden:

  • Extrema: Der Ansatz lautet (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E)\neq0$.

  $\begin{align*} &&f'(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&(x^2+2x)e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x^2+2x&=0\\ &\Leftrightarrow&x(x+2)&=0\\ &\Leftrightarrow&x&=0\\ &\qquad \qquad \text{oder} &x&=-2. &\end{align*}$

  Jede dieser beiden x-Koordinaten muss in die 1. Ableitung eingesetzt werden:

  $\mathbf{x_{E1}=0}$: $f''(0)=2e^0=2>0$. Es liegt also ein Tiefpunkt vor. Die y-Koordinate ist $0$. Also ist $TP(0|0)$ ein Tiefpunkt.

  $\mathbf{x_{E2}=-2}$: $f''(-2)=((-2)^2+2 4\cdot(-2)+2)e^{-2}=-2e^{-2}<0$. Es liegt also ein Hochpunkt vor. Die y-Koordinate ist $y=(-2)^2e^{-2}≈0,54$. Also ist $HP(-2|0,54)$ ein Hochpunkt.

  • Wendepunkte: Der Ansatz lautet (n) $f''(x_W)=0$ und (h) $f'''(x_W)\neq0$.

  $\begin{align*} &&f''(x)&=0\\ &\Leftrightarrow&(x^2+4x+2)e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x^2+4x+2&=0\\ &\Leftrightarrow&x_{1/2}&=-\frac42±\sqrt{\left(\frac42\right)^2-2}\\ &\Leftrightarrow &x_{W1}&=-2+\sqrt{2}≈-0,59\\ &&x_{W2}&=-2-\sqrt{2}≈-3,41. \end{align*}$

  Jede dieser beiden x-Koordinaten muss in die 3. Ableitung eingesetzt werden:

  • $\mathbf{x_{W1}=-0,59}$: $f'''(-0,59)≈1,56\neq0$. Es liegt also ein Wendepunkt vor. Die y-Koordinate ergibt sich durch Einsetzen von $x=-0,59$ in der Funktionsgleichung. Der erste Wendepunkt ist $WP_1(-0,59|0,19)$.

  • $\mathbf{x_{W2}=-3,41}$: $f'''(-3,41)≈-0,09\neq0$. Auch hier liegt also ein Wendepunkt vor. Die y-Koordinate ergibt sich wieder durch Einsetzen von $x=-3,41$ in der Funktionsgleichung. Der zweite Wendepunkt ist $WP_2(-3,41|0,38)$.

• Bestimme den Wendepunkt der Funktion.

  Tipps

  „notwendiges“ Kriterium $f''(x_W)=0$ für Wendepunkte bedeutet,

  • dass, sofern dieses Kriterium nicht erfüllt ist, keine Wendepunkte vorhanden sind.
  • wenn das Kriterium erfüllt ist, muss noch das hinreichende Kriterium $f'''(x_W)\neq 0$ untersucht werden.

  Das notwendige Kriterium ist immer das Lösen einer Gleichung (hier $f''(x)=0$); das hinreichende das Einsetzen der Lösung(en) dieser Gleichung in die 3. Ableitung.

  Um den Wendepunkt anzugeben, muss noch zu der x-Koordinate die y-Koordinate durch Einsetzen in der Funktionsgleichung berechnet werden.

  Lösung

  Wendepunkte müssen die notwendige Bedingung $f''(x_W)=0$ und die hinreichende Bedingung $f'''(x_W)\neq0$ erfüllen. Wir berechnen:

  $\begin{align*} &&f''_a(x_W)&=0\\ &\Leftrightarrow&e^{x_W}(x_W+a+2)&=0 &|&~e^{x_W}\neq 0\\ &\Leftrightarrow&x_W+a+2&=0 &|&~-a-2\\ &\Leftrightarrow&x_W&=-a-2. \end{align*}$

  Einsetzen von $x_W=-a-2$ in $f'''_a(-a-2)=e^{-a-2}\neq0$ ergibt, dass auch die notwendige Bedingung erfüllt ist.

  Die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von $-a-2$ in die Funktionsgleichung $f_a(x)$. Dies führt zum Wendepunkt $WP(-a-2|-2e^{-a-2})$.

• Entscheide, welche Funktionsgleichung zu dem Graphen gehört.

  Tipps

  Der y-Achsenschnittpunkt liegt auf der y-Achse, also ist $x=0$.

  Für die Schnittpunkte mit der x-Achse gilt $y=0$.

  Für Extrema müssen die folgenden Punkte bearbeitet werden

  • (n) $f'(x_E)=0$
  • (h) $f''(x_E)\neq 0$.
  • Bei Tiefpunkten gilt $f''(x_E)>0$ und bei Hochpunkten $f''(x_E)<0$.
  • Angabe des Extrempuntkes $E(x_E|f(x_E))$.

  Mit Hilfe der Achsenschnittpunkte kannst du aus den fünf angegebenen Funktionen die richtige Funktion eindeutig auswählen.

  Lösung

  Der rote Funktionsgraph besitzt den y-Achsenschnittpunkt $Y(0|3)$ und den x-Achsenschnittpunkt $N(-1,5|0)$. Mit Hilfe der Achsenschnittpunkte kannst du aus den fünf angegebenen Funktionen die richtige Funktion eindeutig auswählen: Die zugehörige Funktion lautet $f(x)=(2x+3)e^x$.

  Zur Bestimmung der Extrema werden noch die ersten beiden Ableitungen benötigt. Dies erhält man mit der Produktregel:

  $\begin{align*} f'(x)&=2e^x+(2x+3)e^x\\ &=(2x+5)e^x\\ f''(x)&=2e^x+(2x+5)e^x\\ &=(2x+7)e^x. \end{align*}$

  Für Extrema muss die 1. Ableitung $0$ sein:

  $\begin{align*} (2x+5)e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ 2x+5&=0 &|&~-5~ |~:2\\ x_E&=-2,5. \end{align*}$

  Dieses $x$ wird in die 2. Ableitung eingesetzt, um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um ein Extremum handelt und um welches. Dann wird $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt und man erhält:

  • $TP(-2,5|-0,16)$.

  Da der blaue Funktionsgraph zwei Nullstellen besitzt, muss das entsprechende Polynom, welches ein Faktor der Funktion ist, mindestens quadratisch sein. Der y-Achsenschnittpunkt ist $Y(0|-1)$ und x-Achsenschnittpunkte sind $N_1(-1|0)$ sowie $N_2(1|0)$.

  Die einzige Funktion, die dies erfüllt ist $g(x)=(x^2-1)e^x$.

  Zur Bestimmung der Extrema werden noch die ersten beiden Ableitungen benötigt. Dies erhält man mit der Produktregel:

  $\begin{align*} f'(x)&=2xe^x+(x^2-1)e^x\\ &=(x^2+2x-1)e^x\\ f''(x)&=(2x+2)e^x+(x^2+2x-1)e^x\\ &=(x^2+4x+1)e^x. \end{align*}$

  Für Extrema muss die 1. Ableitung $0$ sein:

  $\begin{align*} (x^2+2x-1)e^x&=0 &|&~e^x\neq 0\\ x^2+2x-1&=0 &|&~\text{p-q-Formel}\\ x_{E1}&=-1+\sqrt2≈0,41\\ x_{E2}&=-1-\sqrt2≈-3,41. \end{align*}$

  Beide $x$ werden in die 2. Ableitung eingesetzt, um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um Extrema handelt und um welche. Dann werden die $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt und man erhält:

  • $TP(0,41|-1,25)$ sowie $HP(-2,41|0,43)$.