Scharen von Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion

Scharen von Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion Übung

• Gib den Definitionsbereich der Wurzelfunktion an und untersuche die Funktion auf Symmetrie.

  Tipps

  Beachte: Die Wurzel ist nur für Zahlen größer oder gleich $0$ definiert.

  Eine Funktion ist

  • achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn $f(-x)=f(x)$ ist, oder
  • punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn $f(-x)=-f(x)$ ist.

  Der Definitionsbereich ist nicht symmetrisch.

  Lösung

  Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller Werte, die für die Variable $x$ eingesetzt werden dürfen. Wir können uns also auch fragen, was nicht für $x$ eingesetzt werden darf.

  Da eine Wurzel in der Funktion vorkommt, muss man sich klar machen, dass diese nur für Zahlen (Terme) größer oder gleich $0$ definiert ist: Dies führt zu der Ungleichung $x+a\ge 0$. Durch Subtraktion von $a$ erhält man $x\ge -a$.

  Dann ist der Definitionsbereich der Funktionenschar gegeben durch:

  $\mathbb{D}_{f_a}=\{x\in\mathbb{R}~:~x\ge -a\}$

  Da der Definitionsbereich nur alle Zahlen größer oder gleich $-a$ umfasst, kann die Funktionenschar niemals symmetrisch sein.

• Bestimme den Hochpunkt der Funktionsschar $f_a(x)=\sqrt{x+a}-(x+a)$.

  Tipps

  Verwende die Ableitung der Wurzelfunktion

  $(\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x}$.

  Bei Extrema muss für die 1. Ableitung $f'(x)=0$ gelten und für die 2. Ableitung an den ermittelten Stellen $f''(x_E) \neq 0$.

  Wenn du zu einem gegebenen $x$-Wert den Funktionswert bestimmen möchtest, setzt du den $x$-Wert in die Funktionsgleichung ein.

  Lösung

  Zunächst wollen wir die Funktion auf Nullstellen untersuchen. Es muss also gelten $f_a(x)=0$.

  Das bedeutet $\sqrt{x+a}-(x+a)=0$. Durch Ausklammern von $\sqrt{x+a}$ erhält man

  $\sqrt{x+a}\left(1-\sqrt{x+a}\right)=0$. Es muss also

  • entweder $\sqrt{x+a}=0$ gelten (dies ist äquivalent zu $x=-a$)
  • oder $1-\sqrt{x+a}=0$.

  Bei der zweiten Gleichung wird zunächst $\sqrt{x+a}$ addiert zu $\sqrt{x+a}=1$. Dann wird auf beiden Seiten quadriert. Dies führt zu $x+a=1$. Zuletzt wird $a$ subtrahiert. Also ist $x=1-a$.

  Die beiden Nullstellen sind dann $x_1=-a$ oder $x_2=1-a$. In welcher Weise du die Nullstellen nummerierst, ist natürlich nicht entscheidend.

  Hier kann auch noch der y-Achsenabschnitt bestimmt werden. Hierfür wird $x=0$ in die Funktionsgleichung eingesetzt: $y=f_a(0)=\sqrt a-a$.

  Kommen wir nun zu den Ableitungen. Die Ableitung der Wurzelfunktion ist

  $(\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x}$.

  Damit ist $f_a'(x)=\frac1{2\sqrt{x+a}}-1$. Die innere Ableitung ist dabei $1$.

  Diese Ableitung kann als Potenz geschrieben und dann noch einmal abgeleitet werden:

  $f_a'(x)=\frac12\left((x+a)^{-\frac12}\right)-1.$

  Nun leiten wir ab:

  $f_a''(x)=\frac12\cdot \left(-\frac12\right)\cdot(x+a)^{-\frac32}=-\frac1{4\sqrt{(x+a)^3}}$.

  Hier ist schon zu sehen, dass die 2. Ableitung nie $0$ werden kann. Es kann also keine Wendepunkte geben.

  Zur Untersuchung auf Extrema wird zunächst die Gleichung $f_a'(x)=0$ gelöst:

  $\begin{array}{rclll} \frac1{2\sqrt{x+a}}-1&=&0&|&+1\\ \frac1{2\sqrt{x+a}}&=&1&|&\cdot\sqrt{x+a}\\ \frac12&=&\sqrt{x+a}&|&(~~)^2\\ \frac14&=&x+a&|&-a\\ \frac14-a&=&x \end{array}$

  Um festzustellen, ob hier wirklich ein Extremum vorliegt und - wenn ja - welches, wird dieses Ergebnis in die 2. Ableitung eingesetzt:

  $f_a''\left(\frac14-a\right)=-\frac1{4\sqrt{\frac14-a+a}}=-\frac12 < 0$.

  Da die 2. Ableitung negativ ist, liegt ein Hochpunkt vor. Nun muss noch die y-Koordinate dieses Hochpunktes berechnet werden.

  $f_a\left(\frac14-a\right)=\sqrt{\frac14-a+a}-(\frac14-a+a)=\sqrt{\frac14}-\frac14=\frac12-\frac14=\frac14$.

  Damit ist der Hochpunkt $HP\left(\frac14-a\bigg\vert\frac14\right)$ gefunden.

• Entscheide, welcher Funktionsgraph zu welchem Parameter gehört.

  Tipps

  Schaue dir die gegebenen Informationen an: den Definitionsbereich, die Nullstellen sowie den Hochpunkt.

  Setze jeweils den gegebenen Wert für den Parameter ein.

  Zum Beispiel sind die Nullstellen für $a=0$ gegeben durch $x=0$ sowie $x=1$.

  Für $a=2$ ist der Hochpunkt $HP\left(-1,75|0,25\right)$.

  Lösung

  Wenn man zu einer Funktionenschar die Nullstellen, den y-Achsenabschnitt sowie die Extrema (und gegebenenfalls auch die Wendepunkte) berechnet hat, kann man diese für verschiedene Werte des Parameters $a$ in ein Koordinatensystem eintragen.

  Übrigens: Diese Punkte (oder Stellen) müssen nicht von dem Parameter abhängen.

  Wenn man dann die so erhaltenen Punkte miteinander verbindet, erhält man die Graphen von verschiedenen Funktionen der Funktionenschar.

  Um zu erkennen, welcher Graph zu welchem Parameter gehört, kann man sich die Punkte anschauen. In diesem Beispiel genügt bereits ein Blick auf den Definitionsbereich. Die Graphen müssen in dieser Reihenfolge mit den Parametern versehen werden:

  • $a=0$
  • $a=-1$
  • $a=2$
  • $a=-3$
  • $a=1$

  Wie wir sehen, hat ein negatives Vorzeichen eine Verschiebung nach rechts zur Folge, ein positives Vorzeichen eine Verschiebung nach links.

• Leite die Funktionenschar zweimal ab und gib die Achsenabschnitte an.

  Tipps

  Die Nullstellen erhältst du durch Lösen der Gleichung $f_a(x)=0$.

  Den y-Achsenabschnitt erhältst du durch Einsetzen von $x=0$ in die Funktionsgleichung $y=f_a(0)$.

  Verwende die Kettenregel

  $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

  sowie

  $(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}$.

  Lösung

  Achsenabschnitte

  • Damit $f_a(x)=0$ ist, muss der Term unter der Wurzel $x^2+a^2=0$ sein. Da $a>0$ nach Voraussetzung gilt, kann die Summe der beiden Quadrate nie $0$ sein. Damit kann es keine Nullstellen geben.
  • Zur Bestimmung des y-Achsenabschnittes wird $x=0$ in die Funktionsgleichung eingesetzt. So erhält man $f_a(0)=\sqrt{0^2+a^2}=a$.

  Ableitungen

  Es ist $f_a(x)=\sqrt{x^2+a^2}$. Damit lässt sich $f_a'(x)$ wie folgt mit Hilfe der Kettenregel, $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$, sowie $(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}$ berechnen:

  $f_a'(x)=\left(\sqrt{x^2+a^2}\right)'=\frac1{2\sqrt{x^2+a^2}}\cdot 2x=\frac x{\sqrt{x^2+a^2}}$.

  Nun kann die zweite Ableitung berechnet werden:

  $\left(\frac x{\sqrt{x^2+a^2}}\right)'=\frac{\sqrt{x^2+a^2}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+a^2}}}{\sqrt{x^2+a^2}^2}=\frac{a^2}{\sqrt{x^2+a^2}^3}$.

  Dabei wurde die Quotientenregel verwendet.

• Nenne die verschiedenen Bestandteile und Eigenschaften einer Kurvendiskussion.

  Tipps

  Man kann sicher eine Umkehrfunktion bestimmen, sofern es eine gibt.

  Die Funktion $f_a(x)=\sqrt{x+a}-(x+a)$ besitzt übrigens keine Umkehrfunktion.

  Der Punkt $(0|4)$ kann ein y-Achsenabschnitt sein, der Punkt $(4|0)$ nicht. Dort kann allerdings eine Nullstelle liegen.

  Lösung

  Die einzelnen Punkte einer Kurvendiskussion sind:

  • Bestimmung des Definitionsbereichs
  • Untersuchung der Funktion auf Symmetrie
  • Ermittlung der ersten drei Ableitungen (manchmal genügen sogar schon die ersten beiden)
  • Bestimmung der Nullstellen und des y-Achsenabschnitts
  • Bestimmung der Extrema der Funktion
  • Zeichnen einer Skizze in ein Koordinatensystem mithilfe der Ergebnisse aus den vorigen Schritten

• Untersuche die Funktionenschar auf Extrema.

  Tipps

  Die erste Ableitung ist ein Bruch. Ein Bruch wird nur $0$, wenn der Zähler $0$ wird.

  Setze die Lösung der Gleichung $f_a'(x)=0$ in die zweite Ableitung ein: $f''(x_E)$

  Ist diese größer (kleiner) $0$, liegt ein Tiefpunkt (Hochpunkt) vor.

  Lösung

  Für Extrema muss $f_a'(x)=0$ sein, also

  $\frac x{\sqrt{x^2+a^2}}=0$.

  Dies ist äquivalent zu $x=0$.

  Einsetzen von $x=0$ in die zweite Ableitung führt zu

  $f_a''(0)=\frac{a^2}{\sqrt{0^2+a^2}^3}=\frac{a^2}{a^3}=\frac1a$

  Da nach Voraussetzung $a>0$ ist, führt dies zu einem Tiefpunkt.

  Die y-Koordinate des Tiefpunktes ist $f_a(0)=\sqrt{0^2+a^2}=a$.

  Somit ist $TP(0|a)$ der Tiefpunkt der Funktionenschar.