Lineares Wachstum

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist Wachstum?
• Was ist lineares Wachstum?
• Lineares Wachstum und lineare Funktionen

Was ist Wachstum?

Wachstum bedeutet, dass sich eine ursprüngliche Menge mit der Zeit immer weiter erhöht. Betrachte die Variablen $x$ und $y$. Die Variable $x$ ist die unabhängige Variable und die Variable $y$ die abhängige. Sie hängt von $x$ ab.

Wenn bei größer werdender unabhängiger Variable $x$ auch die abhängige Variable immer größer wird, liegt Wachstum vor. Umgekehrt liegt bei wachsendem $x$ aber dabei fallendem $y$ Abnahme vor.

Was ist lineares Wachstum?

Schaue dir das folgende Beispiel an: Paul erhält $20~€$ Taschengeld. Jedes Jahr wird der Betrag um $2~€$ höher.

Du siehst: Das Taschengeld von Paul wächst im gleichen Zeitraum ($1$ Jahr) immer um den gleichen Betrag ($2~€$). Ein solches Wachstum wird als lineares Wachstum bezeichnet.

Präge dir den folgenden Merksatz ein:

Nimmt in gleichen Abschnitten ein abhängiger Wert $y$ immer um den gleichen Wert $d$ zu, so heißt diese Zunahme lineares Wachstum.

Wenn du lineares Wachstum in ein Koordinatensystem einzeichnest, erhältst du eine Gerade:

Eine Gerade ist der Funktionsgraph einer linearen Funktion.

Lineares Wachstum und lineare Funktionen

Eine lineare Funktion $f$ oder genauer Funktionsgleichung sieht so aus:

$f(x)=m\cdot x+b$.

Du kannst lineares Wachstum in Form einer linearen Funktionsgleichung darstellen. Schau dir noch einmal das Beispiel mit Pauls Taschengeld an:

• Die unabhängige Variable $x$ ist die Zeit in Jahren, beginnend mit $x=0$, also der Beginn.
• Die abhängige Variable $y=f(x)$ ist das Taschengeld in $€$ nach $x$ Jahren.

Zunächst schreiben wir die Entwicklung von Pauls Taschengeld in eine Tabelle:

Nun geht es darum, die zugehörige Funktionsgleichung zu bestimmen. Doch was bedeuten die Parameter $m$ und $b$ in der allgemeinen Funktionsgleichung?

• $m$ ist die Steigung der Geraden, welche du durch die lineare Funktionsgleichung erhältst. Bei linearem Wachstum ist $m$ die Änderung der abhängigen Variablen, wenn die unabhängige Variable um eine Einheit verändert wird.
• $b$ ist die Stelle, an welcher die Gerade die $y$-Achse schneidet. $b$ ist also der abhängige Wert für $x=0$. $b$ wird auch als $y$-Achsenabschnitt bezeichnet.

Nun kann es losgehen: Für $x=0$ erhältst du, schaue noch einmal in die Tabelle, $y=20$, also $b=20$. Pro Jahr, dies ist eine Einheit der unabhängigen Variable, erhöht sich Pauls Taschengeld um $2~€$. Damit ist $m=2$.

Fertig ist die lineare Funktionsgleichung, welche die Entwicklung von Pauls Taschengeld beschreibt: $f(x)=2x+20$.

Nun kannst du die zu dem Wachstum gehörende Gerade in ein Koordinatensystem eintragen:

Du kannst dir für lineares Wachstum auch das Folgende merken:

Eine mathematische Größe wächst linear, wenn ihr Wachstumsverhalten sich mit Hilfe einer linearen Funktionsgleichung darstellen lässt (Eigenschaft des Linearen Wachstums).

Wenn $m$ positiv ist, so liegt Wachstum vor. Bei negativem $m$ liegt Abnahme vor.