Brüche multiplizieren – Übung

Brüche multiplizieren – Übung Übung

• Beschreibe, was bei der Multiplikation von Brüchen zu beachten ist.

  Tipps

  Der unechte Bruch $\dfrac{7}{3}$ entspricht der gemischten Zahl $2\dfrac{1}{3}$.

  Beispiel:

  $5 \cdot \dfrac{7}{15} = \dfrac{5}{1} \cdot \dfrac{7}{15} = \dfrac{\overbrace{5 : 5}^{1}~ \cdot~ 7}{1~ \cdot ~\underbrace{15 : 5}_{3}} = \dfrac{7}{3}$

  Lösung

  Wir multiplizieren Brüche, indem wir Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnen. Dabei müssen wir folgende Regeln beachten:

  Wenn möglich, sollten wir die Brüche vor dem Multiplizieren kürzen, da die Zahlen im Zähler und Nenner dann nicht so groß werden. Auch das Ergebnis der Multiplikation können wir noch kürzen.

  Beispiel: $\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{7}{15}$

  Rechnung $1$:

  $\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{7}{15} = \dfrac{\overbrace{5 \color{gold}{:5}}^{1}~ \cdot~ 7}{2~ \cdot ~\underbrace{15 \color{gold}{:5}}_{3}} = \dfrac{7}{6}$

  Rechnung $2$:

  $\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{7}{15} = \dfrac{5 \cdot 7}{2 \cdot 15} = \dfrac{35}{30} = \dfrac{\overbrace{35\color{gold}{:5}}^{7}}{\underbrace{30 \color{gold}{:5}}_{6}} = \dfrac{7}{6}$

  Beide Wege sind richtig und führen zum selben Ergebnis. Bei der ersten Rechnung sind die Zahlen etwas kleiner.

  $\Rightarrow \quad$ Wir können Brüche vor dem Multiplizieren kürzen. Richtig!
  $\Rightarrow \quad$ Nach dem Multiplizieren darf das Ergebnis nicht weiter gekürzt werden. Falsch!

  
  

  Bei der Multiplikation mit ganzen und gemischten Zahlen müssen wir diese zunächst in einen unechten Bruch (einen Bruch, bei dem der Zähler größer ist als der Nenner) umwandeln. Dann können wir wie gewohnt kürzen und multiplizieren.

  Beispiel: $3 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$

  $\Rightarrow \quad$ Wir multiplizieren einen Bruch mit einer ganzen Zahl, indem wir den Zähler und den Nenner mit der Zahl multiplizieren. Falsch! Wir multiplizieren nur den Zähler mit der ganzen Zahl.
  $\Rightarrow \quad$ Wenn wir zwei gemischte Zahlen multiplizieren wollen, dann wandeln wir diese zunächst in unechte Brüche um. Richtig!

• Vervollständige die Multiplikation.

  Tipps

  Umwandlung eines gemischten Bruchs:

  $3\dfrac{1}{2} = \dfrac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \dfrac{7}{2}$

  Beim Kürzen teilen wir den Zähler und den Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl.

  Lösung

  Wir multiplizieren Büche, indem wir Nenner mal Nenner und Zähler mal Zähler rechnen. Dabei sollten wir so früh wie möglich kürzen, damit wir keine unnötig großen Zahlen erhalten. Vor dem Multiplizieren müssen wir außerdem gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln.

  Rechnung 1:

  $2 \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{7} = \dfrac{2 \cdot 5 + 4}{5} \cdot \dfrac{1}{7} = \dfrac{14 \cdot 1}{5 \cdot 7} = \dfrac{14\color{gold}{\,{:}\,7}\color{black}{~\cdot ~ 1}}{5 ~\cdot ~ 7\color{gold}{\,{:}\,7}}\color{black}{=} \dfrac{2 \cdot 1}{5\cdot 1} = \dfrac{2}{5}$

  Rechnung 2:

  $\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{4 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \dfrac{4\color{gold}{\,{:}\,4}\color{black}{~\cdot ~} 3\color{dodgerblue}{\,{:}\,3}}{\color{black}{9}\color{dodgerblue}{\,{:}\,3}\color{black}{~\cdot ~} 8\color{gold}{\,{:}\,4}}\color{black}{=} \dfrac{1 \cdot 1}{3\cdot 2} = \dfrac{1}{6}$

• Entscheide, welche Brüche vor dem Multiplizieren gekürzt werden können.

  Tipps

  Suche nach gemeinsamen Faktoren im Zähler und Nenner der Brüche. Dabei kannst du beliebige Brüche in einem Produkt miteinander kürzen.

  Beispiel:

  $\color{black}{\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{9} =} \dfrac{3 \color{gold}{\,{:}\, 3}}{\color{black}{4}} \cdot \dfrac{1}{9 \color{gold}{\,{:}\, 3}}\color{black}{ = \dfrac{1 ~\cdot ~1}{1 ~\cdot ~ 3} = \dfrac{1}{3}}$

  Hier können die Brüche zwar nicht einzeln gekürzt werden, aber der Zähler des ersten Bruchs kann mit dem Nenner des zweiten Bruchs gekürzt werden.

  Lösung

  Bevor wir Brüche miteinander multiplizieren, sollten wir immer überprüfen, ob wir kürzen können. Dabei können wir gleiche Faktoren im Zähler und Nenner von beliebigen Brüchen, die multipliziert werden, kürzen.

  Beispiel 1: $\quad \dfrac{2}{7} ~\cdot~ \dfrac{3}{21}$
  Hier können wir nur den zweiten Bruch $\frac{3}{21}$ mit $3$ kürzen:

  $\dfrac{2}{7} ~\cdot~ \dfrac{3 \color{gold}{\,{:}\, 3}}{\color{black}{21} \color{gold}{\,{:}\, 3}} = \dfrac{2}{7} ~\cdot~ \dfrac{1}{7} = \dfrac{2}{49}$

  Beispiel 2: $\quad \dfrac{4}{15} ~\cdot~ \dfrac{10}{11}$
  Hier können wir den Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit $5$ kürzen:

  $\dfrac{\color{black}{4}}{15 \color{gold}{\,{:}\, 5}}\color{black}{ ~\cdot~ } \dfrac{10 \color{gold}{\,{:}\, 5}}{11}\color{black}{ ~=~ } \dfrac{4}{3} ~\cdot~ \dfrac{2}{11} = \dfrac{8}{33}$

  Beispiel 3: $\quad \dfrac{1}{3} ~\cdot~ \dfrac{1}{4} ~\cdot~ \dfrac{1}{5}$
  Hier können wir nicht kürzen.

  Beispiel 4: $\quad \dfrac{2}{3} ~\cdot~ \dfrac{3}{4} ~\cdot~ \dfrac{4}{5}$
  Hier können wir den Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit $3$ sowie den Zähler des dritten Bruchs und den Nenner des zweiten Bruchs mit $4$ kürzen:

  $\dfrac{\color{black}{2}}{3\color{gold}{\,{:}\, 3}}\color{black}{ ~\cdot~} \dfrac{3 \color{gold}{\,{:}\, 3}}{\color{black}{4} \color{gold}{\,{:}\, 4}} \color{black}{ ~\cdot~ }\dfrac{4 \color{gold}{\,{:}\, 4}}{\color{black}{5}} = \dfrac{2}{1} ~\cdot~ \dfrac{1}{1} ~\cdot~ \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}$

  Beispiel 5: $\quad \dfrac{13}{5} ~\cdot~ \dfrac{3}{7} ~\cdot~ \dfrac{17}{26}$
  Hier können wir den Zähler des ersten Bruchs und den Nenner des dritten Bruchs mit $13$ kürzen:

  $\dfrac{\color{black}{13} \color{gold}{\,{:}\, 13}}{\color{black}{5}} ~\cdot~\dfrac{3}{7} ~\cdot~ \dfrac{17}{26 \color{gold}{\,{:}\, 13}}\color{black}{ ~=~ } \dfrac{1}{5} ~\cdot~\dfrac{3}{7}\cdot \dfrac{17}{2} = \dfrac{51}{70}$

• Multipliziere die Brüche.

  Tipps

  Wandle zunächst alle Faktoren in Brüche um.

  Versuche immer erst zu kürzen, bevor du multiplizierst.

  Lösung

  Wir multiplizieren Büche, indem wir Nenner mal Nenner und Zähler mal Zähler rechnen. Dabei sollten wir so früh wie möglich kürzen, damit wir keine unnötig hohen Zahlen erhalten. Vor dem Multiplizieren müssen wir außerdem ganze und gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln.

  Rechnung 1:

  $\dfrac{4}{14} \cdot \dfrac{18}{6} = \dfrac{4 \cdot 18}{14 \cdot 6} = \dfrac{4 \color{gold}{\,{:}\, 2}\color{black}{~\cdot~}18\color{dodgerblue}{\,{:}\,6}}{\color{black}{14}\color{gold}{\,{:}\,2}\color{black}{~\cdot~}6\color{dodgerblue}{\,{:}\,6}} \color{black}{=} \dfrac{2 \cdot 3}{7 \cdot 1} = \dfrac{6}{7}$

  Rechnung 2:

  $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{16}{9} = \dfrac{3 \cdot 16}{4 \cdot 9} = \dfrac{3 \color{gold}{\,{:}\, 3}\color{black}{~\cdot~}16\color{dodgerblue}{\,{:}\,4}}{\color{black}{4}\color{dodgerblue}{\,{:}\,4}\color{black}{~\cdot~}9\color{gold}{\,{:}\,3}} \color{black}{=} \dfrac{1 \cdot 4}{1 \cdot 3} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}$

  Rechnung 3:

  $1\dfrac{1}{3} \cdot 2\dfrac{3}{5} = \dfrac{1\cdot 3 + 1}{3}\cdot \dfrac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{13}{5} = \dfrac{4 \cdot 13}{3 \cdot 5} = \dfrac{52}{15} = 3\dfrac{7}{15}$

  Rechnung 4:

  $7 \cdot \dfrac{3}{28} = \dfrac{7}{1} \cdot \dfrac{3}{28} = \dfrac{7 \cdot 3}{1 \cdot 28} = \dfrac{7 \color{gold}{\,{:}\, 7}\color{black}{~\cdot~}3}{\color{black}{1~\cdot~28}\color{gold}{\,{:}\,7}} \color{black}{=} \dfrac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \dfrac{3}{4}$

  Rechnung 5:

  $3\dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{20}{74} = \dfrac{3 \cdot 12 + 1}{12} \cdot \dfrac{20}{74} = \dfrac{37}{12}\cdot \dfrac{20}{74} = \dfrac{37 \cdot 20}{12 \cdot 74} = \dfrac{37 \color{gold}{\,{:}\, 37}\color{black}{~\cdot~}20\color{dodgerblue}{\,{:}\,4}}{\color{black}{12}\color{dodgerblue}{\,{:}\,4}\color{black}{~\cdot~}74\color{gold}{\,{:}\,37}} \color{black}{=} \dfrac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \dfrac{5}{6}$

• Gib die Zahlen als unechte Brüche an.

  Tipps

  Eine gemischte Zahl ist die Summe aus einer ganzen Zahl und einem Bruch.

  Beispiel:

  $3 \dfrac{1}{3} = 3 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{1} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 ~\cdot~ 3}{1 ~\cdot~ 3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{3}$

  Lösung

  Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch, die zusammengezählt, also addiert werden.
  Betrachten wir ein Beispiel:

  $3 \dfrac{1}{3} = 3 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{1} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 ~\cdot~ 3}{1 ~\cdot~ 3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{3}$

  Wir haben zunächst die ganze Zahl in einen Bruch umgewandelt und dann auf denselben Nenner erweitert. Wir müssen also die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruchs multiplizieren und das Ergebnis zum Zähler des Bruchs addieren.

  Zahl 1:

  $3\dfrac{2}{5} = \dfrac{3 ~\cdot~ 5 ~+~ 2}{5} = \dfrac{17}{5}$

  Zahl 2:

  $3\dfrac{6}{7} = \dfrac{3 ~\cdot~ 7 ~+~ 6}{7} = \dfrac{27}{7}$

  Zahl 3:

  $5\dfrac{1}{5} = \dfrac{5 ~\cdot~ 5 ~+~ 1}{5} = \dfrac{26}{5}$

  Zahl 4:

  $7\dfrac{1}{7} = \dfrac{7 ~\cdot~ 7 ~+~ 1}{7} = \dfrac{50}{7}$

  Zahl 5:

  $1\dfrac{3}{7} = \dfrac{1 ~\cdot~ 7 ~+~ 3}{7} = \dfrac{10}{7}$

  Zahl 6:

  $1\dfrac{4}{5} = \dfrac{1 ~\cdot~ 5 ~+~ 4}{5} = \dfrac{9}{5}$

• Ermittle das Ergebnis der Multiplikation.

  Tipps

  Kürze, wenn möglich vor dem Multiplizieren, damit die Zahlen nicht unnötig groß werden.
  Gemeinsame Faktoren findest du zum Beispiel mithilfe einer Primfaktorzerlegung.

  Beispiel:

  $\color{black}{\dfrac{3}{13} \cdot \dfrac{169}{6} \cdot \dfrac{5}{39} = \dfrac{3 ~\cdot~ 169 ~\cdot~ 5}{13 ~\cdot~ 6 ~\cdot~ 39}}$

  $\color{black}{=} \dfrac{3\color{gold}{\,{:}\,3}\color{black}{ ~\cdot~ 169 }\color{dodgerblue}{\,{:}\,13}\color{black}{~\cdot~ 5}}{13\color{dodgerblue}{\,{:}\,13} \color{black}{~\cdot~ 6}\color{gold}{\,{:}\,3}\color{black}{ ~\cdot~ 39}}$

  $\color{black}{=} \dfrac{1 ~\cdot~ 13 \color{dodgerblue}{\,{:}\,13}\color{black}{~\cdot~ 5}}{1~\cdot~ 2 ~\cdot~ 39\color{dodgerblue}{\,{:}\,13}}\color{black}{ = }\dfrac{1 ~\cdot~ 1 ~\cdot~ 5}{1 ~\cdot~ 2 ~\cdot~ 3} = \dfrac{5}{6}$

  Lösung

  Wenn wir einen Bruch mit einer ganzen oder gemischten Zahl multiplizieren, wandeln wir diese zunächst in einen unechten Bruch um. Dann kürzen wir, wenn möglich, und multiplizieren Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner:

  $\color{black}{38 \cdot \dfrac{7}{95} = \dfrac{38}{1} \cdot \dfrac{7}{95} = \dfrac{38 ~\cdot~ 7}{1 ~\cdot~ 95} =} \dfrac{38 \color{gold}{\,{:}\,19}\color{black}{~\cdot~}7}{95 \color{gold}{\,{:}\,19}}\color{black}{=} \dfrac{2 ~\cdot~ 7}{5} = \dfrac{14}{5} = 2\dfrac{4}{5}$

  Auch, wenn wir mehrere Brüche miteinander multiplizieren, ändert sich das Vorgehen nicht. Wir können alle Brüche auf einem Bruchstrich zusammenfassen und nach Möglichkeit kürzen:

  $\color{black}{\dfrac{45}{81} \cdot \dfrac{18}{30} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{45 ~\cdot~ 18 ~\cdot~ 5}{81 ~\cdot~ 30 ~\cdot~ 6} =} \dfrac{45\color{gold}{\,{:}\,5}\color{black}{~\cdot~} 18\color{dodgerblue}{\,{:}\,9}\color{black}{~\cdot~} 5}{81\color{dodgerblue}{\,{:}\,9}\color{black}{~\cdot~} 30\color{gold}{\,{:}\,5}\color{black}{~\cdot~} 6} = \dfrac{9~\cdot~2~\cdot~5}{9~\cdot~6~\cdot~6} = \dfrac{9\color{dodgerblue}{\,{:}\,9}\color{black}{~\cdot~} 2\color{gold}{\,{:}\,2}\color{black}{~\cdot~} 5}{9\color{dodgerblue}{\,{:}\,9}\color{black}{~\cdot~}6\color{gold}{\,{:}\,2}\color{black}{~\cdot~}6} = \dfrac{1~\cdot~1~\cdot~5}{1~\cdot~3~\cdot~6} = \dfrac{5}{18}$

  $\quad$

  $\color{black}{\dfrac{2}{75} \cdot \dfrac{13}{12} \cdot \dfrac{25}{26} = \dfrac{2 ~\cdot~ 13 ~\cdot~ 25}{75 ~\cdot~ 12 ~\cdot~ 26} =} \dfrac{2\color{gold}{\,{:}\,2}\color{black}{~\cdot~}13\color{dodgerblue}{\,{:}\,3}\color{black}{~\cdot~}25\color{red}{\,{:}\,25}}{\color{black}{75}\color{red}{\,{:}\,25}\color{black}{~\cdot~}12\color{gold}{\,{:}\,2}\color{black}{~\cdot~}26\color{dodgerblue}{\,{:}\,13}} \color{black}{=} \dfrac{1~\cdot~1~\cdot~1}{3~\cdot~6~\cdot~2} = \dfrac{1}{36}$