Natürliche Zahlen durch Brüche teilen

Natürliche Zahlen durch Brüche teilen Übung

• Berechne, wie viele Gläser Adina jeweils füllen kann.

  Tipps

  Teilst du $15$ Bonbons auf $5$ Personen auf, so rechnest du:

  $15:5$

  Um durch einen Bruch zu dividieren, musst du mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

  Hier ist eine Beispielrechnung:

  $2:\dfrac{1}{5} = 2 \cdot \dfrac{5}{1} = 10$

  Lösung

  Das Aufteilen des Saftes kann man mit einer Geteiltaufgabe darstellen.

  • Der Dividend, also die Zahl, die aufgeteilt wird, ist hier die Menge an Saft, die Adina aufteilen will, nämlich $3~\ell$.
  • Der Divisor, also die Zahl, durch die man teilt, ist in dieser Aufgabe jeweils der Inhalt, der in eines der Gläser passt.
  • Der Quotient, also das Ergebnis, ist bei Adina die Anzahl der Gläser, die sie befüllen kann.

  Verwendet Adina Gläser der Größe $\dfrac{1}{3}~\ell$, so rechnet sie mithilfe der Kehrwertregel:
  $3~\ell : \dfrac{1}{3}~\ell = 3 \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{9}{1}= 9$
  Adina kann also $9$ große Gläser mit Saft füllen.

  Verwendet Adina die kleineren Gläser, die nur $0{,}2~\ell = \dfrac{2}{10}~\ell$ Saft fassen, so rechnet sie:
  $3~\ell : \dfrac{2}{10} = 3 \cdot \dfrac{10}{2}=\dfrac{30}{2}=15$
  Adina kann also $15$ kleine Gläser mit Saft füllen.

  Hinweis: Adina könnte den Saft auch auf die Anzahl der Partygäste bzw. Gläser aufteilen und würde dann als Ergebnis die Menge an Saft erhalten, die sie in jedes Glas füllen muss.

• Gib das Ergebnis der Division an.

  Tipps

  Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruches.

  Hier ist ein Rechenbeispiel:

  $4:\dfrac{2}{5} = 4 \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{4 \cdot 5}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$

  Bei allen diesen Divisionen ist der Quotient größer als der Dividend.

  Lösung

  Um eine ganze Zahl durch einen Bruch zu dividieren, bildest du zuerst den Kehrwert des Bruches und multiplizierst die ganze Zahl mit diesem Kehrwert. Prüfe anschließend, ob du nun noch kürzen kannst.

  Zu dieser Aufgabe gehören folgende Berechnungen:

  1) $3:\dfrac{1}{3} = 3 \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{3 \cdot 3}{1} = \dfrac{9}{1} = 9$

  2) $3:\dfrac{2}{10} = 3 \cdot \dfrac{10}{2} = \dfrac{3\cdot 10}{2} = \dfrac{30}{2} =15$

  3) $2:\dfrac{1}{5} = 2 \cdot \dfrac{5}{1} = \dfrac{2 \cdot 5}{1} = \dfrac{10}{1} = 10$

  4) $12:\dfrac{3}{4} = 12 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{12 \cdot 4}{3} = \dfrac{48~:~3}{3~:~3} = \dfrac{16}{1} = 16$

  5) $3:\dfrac{2}{9} = 3 \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{3 \cdot 9}{2} = \dfrac{27}{2}$

• Wende die Kehrwertregel an.

  Tipps

  Dividieren durch $\frac{7}{8}$ ist dasselbe, wie multiplizieren mit $\frac{8}{7}$.

  Trage auch die passenden Kürzungen ein.

  Multipliziere Brüche, indem du jeweils die Zähler und die Nenner miteinander multiplizierst.

  Lösung

  Um eine Zahl durch einen Bruch zu dividieren, multipliziert du die Zahl mit dem Kehrwert des Bruches. Du kannst dann diese Multiplikation wieder zu einem Bruch zusammenfassen. Dabei wandert die ganze Zahl als Faktor in den Nenner. Das entspricht der Regel Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner bei der Multiplikation von Brüchen, da wir eine ganze Zahl stehts als Bruch mit Nenner $1$ schreiben können. Es gilt also beispielsweise:
  $5 \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{1} \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{5 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \dfrac{5 \cdot 2}{7}$
  Im Anschluss wird dieser Bruch soweit möglich gekürzt.

  Bei der ersten Division ist der Divisor $\dfrac{9}{8}$. Du musst also den Dividenden $3$ mit dem Bruch $\dfrac{8}{9}$ multiplizieren, um den Quotienten zu berechnen. Hier ist die korrekte Rechnung:

  $3:\dfrac{9}{8} = 3 \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{3\color{dodgerblue}{\,{:}\,3}\color{black}{~\cdot~8}}{9\color{dodgerblue}{\,{:}\,3}} = \dfrac{1 \cdot 8}{3} = \dfrac{8}{3}$

  Bei der zweiten Division ist der Dividend $7$ und der Divisor $\dfrac{21}{6}$. Du multiplizierst also mit dem Kehrwert $\dfrac{6}{21}$ und rechnest:

  $7:\dfrac{21}{6} = 7\cdot\dfrac{6}{21} =\dfrac{7\color{dodgerblue}{\,{:}\,7}\color{black}{~\cdot~6}}{21 \color{dodgerblue}{\,{:}\,7}} = \dfrac{1 \cdot 6\color{gold}{\,{:}\,3}}{3\color{gold}{\,{:}\,3}} = \dfrac{2}{1} = 2$

• Entscheide, welche Rechnungen zu den Ergebnissen gehören.

  Tipps

  Hier ist ein Rechenbeispiel:

  $3:\dfrac{6}{5} = 3 \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{3 \cdot 5}{6} = \dfrac{5}{2}$

  Kürze dein Ergebnis so weit wie möglich.

  Lösung

  Um die Divisionsaufgaben zu lösen, musst du den Bruch durch seinen Kehrwert und das Geteiltzeichen durch ein Malzeichen ersetzen. Dann kannst du die Brüche noch kürzen und vereinfachen. Hier ist eine ausführliche Beispielrechnung:

  Wir ersetzen zuerst die Division durch den Bruch $\dfrac{15}{2}$ durch die Multiplikation mit seinem Kehrbruch $\dfrac{2}{15}$:

  $5:\dfrac{15}{2} = 5 \cdot \dfrac{2}{15}$

  Als Nächstes fassen wir die Multiplikation auf einem Bruchstrich zusammen und kürzen mit $5$:

  $5 \cdot \dfrac{2}{15} = \dfrac{5 \cdot 2}{15} = \dfrac{10 ~:~ 5}{15 ~:~ 5}$

  Nun fassen wir das Ergebnis zusammen:

  $\dfrac{10 ~:~ 5}{15 ~:~ 5} = \dfrac{2}{3}$

  Im Folgenden siehst du alle korrekten Zuordnungen:

  Quotient $\mathbf{\dfrac{2}{3}}$:

  1) $1:\dfrac{3}{2} = 1 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$

  2) $5:\dfrac{15}{2} = 5 \cdot \dfrac{2}{15} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$

  3) $7:\dfrac{21}{2} = 7 \cdot \dfrac{2}{21} = \dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}$

  $\,$

  Quotient $\mathbf{\dfrac{6}{7}}$:

  4) $2:\dfrac{7}{3} = 2 \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{6}{7}$

  5) $15:\dfrac{35}{2} = 15 \cdot \dfrac{2}{35} = \dfrac{30}{35} = \dfrac{6}{7}$

  6) $2:\dfrac{14}{6} = 2 \cdot \dfrac{6}{14} = \dfrac{12}{14} = \dfrac{6}{7} $

  $\,$

  Quotient $\mathbf{\dfrac{6}{5}}$:

  7) $3:\dfrac{5}{2} = 3 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5}$

  8) $18:\dfrac{45}{3} = 18 \cdot \dfrac{3}{45} = \dfrac{54}{45} = \dfrac{6}{5}$

  9) $7:\dfrac{35}{6} = 7 \cdot \dfrac{6}{35} = \dfrac{42}{35} = \dfrac{6}{5}$

• Bestimme den Kehrwert.

  Tipps

  Der Kehrwert von $\dfrac{1}{4}$ ist $\dfrac{4}{1}$.

  Der Kehrwert eines Bruches enthält dieselben Zahlen wie der Bruch selbst, aber Zähler und Nenner sind vertauscht.

  Lösung

  Wenn wir durch einen Bruch teilen, müssen wir im ersten Schritt den Kehrwert dieses Bruchs bilden. Den Kehrwert oder Kehrbruch eines Bruchs erhältst du, indem du Zähler und Nenner tauschst.

  Der Kehrwert des Bruches $\dfrac{a}{b}$ ist also der Bruch $\dfrac{b}{a}$. Hierbei stehen $a$ und $b$ für beliebige Zahlen.

  In dieser Aufgabe sollst du jedem Bruch seinen Kehrwert zuordnen. Hier sind die korrekten Zuordnungen:

  1) Der Kehrwert von $\dfrac{7}{5}$ ist der Bruch $\dfrac{5}{7}$.

  2) Der Kehrwert von $\dfrac{2}{10}$ ist der Bruch $\dfrac{10}{2}$.

  3) Der Kehrwert von $\dfrac{3}{4}$ ist der Bruch $\dfrac{4}{3}$.

  4) Der Kehrwert von $\dfrac{2}{9}$ ist der Bruch $\dfrac{9}{2}$.

  Der Bruch $\dfrac{1}{5}$ ist nicht der Kehrwert einer der echten Brüche $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{2}{10}$, $\dfrac{3}{4}$ oder $\dfrac{2}{9}$.

  Denn $\dfrac{1}{5}$ ist der gekürzte Bruch zu $\dfrac{2}{10}$, ist also dasselbe wie $\dfrac{2}{10}$ und nicht der Kehrwert.

• Prüfe, ob die Becher reichen, um die Limonade vollständig zu verkaufen.

  Tipps

  Finde eine passende Divisionsaufgabe, um die Anzahl der benötigten Becher zu berechnen.

  Beispiel: $8$ Becher für je $\dfrac{3}{5}~\ell$

  $5 : \dfrac{3}{5} = 5 \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{25}{3} = 8\dfrac{1}{3}$

  Um die ganze Limonade zu verkaufen, braucht es $8\dfrac{1}{3}$, also mindestens $9$, Becher dieser Größe. Die $8$ Becher reichen daher nicht.

  Lösung

  Wir können mithilfe einer Divisionsaufgabe die Anzahl der Becher berechnen, die jeweils für $5~\ell$ Limonade benötigt werden. Dazu teilen wir die ganze Zahl $5$ durch die Bechergröße.

  $\displaystyle 5 : \frac{3}{8} = 5 \cdot \frac{8}{3} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$
  Freddie hat $15$ Becher besorgt. Diese reichen aus, weil $15 \gt 13\dfrac{1}{3}$.

  $\displaystyle 5 : \frac{1}{4} = 5 \cdot \frac{4}{1} = \frac{20}{1} = 20$
  Freddie hat $15$ Becher besorgt. Diese reichen nicht aus, weil $15 \lt 20$.

  $\displaystyle 5 : \frac{1}{2} = 5 \cdot \frac{2}{1} = \frac{10}{1} = 10$
  Freddie hat $12$ Becher besorgt. Diese reichen aus, weil $12 \gt 10$.

  $\displaystyle 5 : \frac{2}{5} = 5 \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2}$
  Freddie hat $12$ Becher besorgt. Diese reichen nicht aus, weil $12 \lt 12\dfrac{1}{2}$.

  $\displaystyle 5 : \frac{1}{5} = 5 \cdot \frac{5}{1} = \frac{25}{1} = 25$
  Freddie hat $20$ Becher besorgt. Diese reichen nicht aus, weil $20 \lt 25$.

  $\displaystyle 5 : \frac{1}{3} = 5 \cdot \frac{3}{1} = \frac{15}{1} = 15$
  Freddie hat $18$ Becher besorgt. Diese reichen aus, weil $18 \gt 15$.

  
  

  Hinweis: Alternativ könntest du auch berechnen, wie viel Limonade in die Becher passt, die Freddie besorgt hat und diesen Wert dann mit den $5~\ell$ von Zazie vergleichen.

  Beispiel: In die $15$ Becher für je $\dfrac{3}{8}~\ell$ passen insgesamt: $15 \cdot \dfrac{3}{8}~\ell = \dfrac{45}{8}~\ell = 5\dfrac{5}{8}~\ell$. Das sind mehr als $5~\ell$, daher reichen die $15$ Becher von Freddie in diesem Fall.