Doppelbrüche

Doppelbrüche Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Doppelbrüchen.

  Tipps

  Einen Doppelbruch kannst du beispielsweise so lösen:

  $\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{2 \cdot 4 }{\dfrac{1}{4} \cdot 4}= \frac{8}{1}= 8$

  Der Kehrwert eines Bruchs vertauscht die Zahlen im Nenner und Zähler eines Bruchs.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Zähler und Nenner eines Doppelbruchs bestehen immer aus ganzen Zahlen."

  • Zähler und Nenner des Hauptbruchs können aus Brüchen oder ganzen Zahlen bestehen.

  „Zum Auflösen von Doppelbrüchen kannst du den Nennerbruch mit dem Kehrwert des Zählerbruchs multiplizieren."

  • Um einen Doppelbruch so aufzulösen, musst du den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multiplizieren.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Um einen Doppelbruch aufzulösen, kannst du ihn so erweitern, dass die Brüche aus Nenner und Zähler verschwinden."

  „Zähler und Nenner des Hauptbruches werden durch den Hauptbruchstrich getrennt."

  „Um einen Doppelbruch aufzulösen, kannst du den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multiplizieren."

• Berechne das Ergebnis des Doppelbruchs.

  Tipps

  In einem Doppelbruch wird ein Bruch durch einen anderen geteilt. Eine Merkregel für die Rechnung in diesen Fall lautet:

  „Mit dem Kehrbruch multiplizieren"

  Geschicktes Erweitern bedeutet hier, dass du den Hauptbruch nacheinander mit dem Nenner des Zählerbruchs und anschließend mit dem Nenner des Nennerbruchs erweiterst. Dabei werden die Brüche in Nenner und Zähler zu ganzen Zahlen.

  Lösung

  Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

  „Möchtest du diesen Bruch graphisch lösen, musst du dir überlegen, wie viele Sechstel eines ganzen Kreises in drei halbe Kreise passen. Jeder dieser halben Kreise besteht aus $3$ Sechsteln eines ganzen Kreises. Das Ergebnis ist also:

  $3 \cdot 3=9^“$

  • Mit einer graphischen Lösung kannst du dir die rechnerische Lösung veranschaulichen.

  „Um den Bruch rechnerisch zu lösen, kannst du den Zählererbruch mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren. Dabei erhältst du:

  $\dfrac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{6}}=\frac{3}{2} \cdot \frac{6}{1} =\frac{18}{2} =9^“$

  • In einem Doppelbruch wird ein Bruch durch einen anderen geteilt. Eine Merkregel für die Rechnung in diesen Fall lautet: „Mit dem Kehrbruch multiplizieren“.

  „Eine weitere Möglichkeit den Hauptbruch rechnerisch zu lösen, ist geschicktes Erweitern. Um den Bruch aus dem Zähler verschwinden zu lassen, erweiterst du mit $2$:

  $\dfrac{\frac{3}{2} \cdot 2 }{\frac{1}{6} \cdot 2}= \dfrac{3}{\frac{2}{6}}$

  Durch Erweitern des Hauptbruchs mit $6$ verschwindet der Bruch im Nenner:

  $\dfrac{3 \cdot 6 }{\frac{2}{6} \cdot 6}= \dfrac{18}{2}=9^“$

  • Geschicktes Erweitern bedeutet hier, dass du den Hauptbruch nacheinander mit dem Nenner des Zählerbruchs und anschließend mit dem Nenner des Nennerbruchs erweiterst. Dabei werden die Brüche in Nenner und Zähler zu ganzen Zahlen.

• Entscheide, welche Lösung zu welchem Doppelbruch gehört.

  Tipps

  Du kannst die Doppelbrüche berechnen, indem du den Zähler des Hauptbruchs mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizierst.

  Anschließend kannst du kürzen und vereinfachen.

  Lösung

  Du kannst die Doppelbrüche berechnen, indem du den Zähler des Hauptbruchs mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizierst. Anschließend kannst du kürzen und vereinfachen. So erhältst du:

  • $\dfrac{\frac{3}{5}}{6}=\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{10}$

  • $\dfrac{\frac{3}{2}}{6}=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{4}$

  • $\dfrac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{10}}=\frac{5}{4} \cdot \frac{10}{2} = \frac{25}{4}$

  • $\dfrac{\frac{3}{2}}{4}=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{8}$

• Ermittle das Ergebnis der Doppelbrüche.

  Tipps

  Mit dem Kehrbruch kannst du die Lösungen bestimmen. Ein Beispiel kann lauten:

  $\dfrac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{10}}=\frac{5}{4} \cdot \frac{10}{2} = \frac{25}{4}$

  Lösung

  Du kannst die Doppelbrüche berechnen, indem du den Zähler des Hauptbruchs mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizierst. Anschließend kannst du kürzen und vereinfachen. So erhältst du:

  • $\dfrac{\frac{8}{6}}{\frac{4}{3}}= \frac{8}{6} \cdot\frac{3}{4}= \frac{4}{2} \cdot \frac{1}{1}= 2$

  • $\dfrac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{9}}= \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{2}= \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1}=6 $

  • $\dfrac{\frac{6}{2}}{\frac{9}{6}}=2$

  • $\dfrac{\frac{9}{8}}{\frac{3}{24}}=9$

  • $\dfrac{\frac{12}{2}}{\frac{6}{3}}=3$

  • $\dfrac{\frac{63}{3}}{\frac{12}{4}}=7$

• Ergänze die rechnerischen Lösungen.

  Tipps

  In den Zeichnungen geben die dunkelgelben Kreise an, welche Zahl im Zähler des Doppelbruchs steht. Die eingezeichneten Kreisteile geben an, durch welchen Bruch geteilt wird.

  Die Doppelbrüche wurden mit der Methode der Multiplikation mit dem Kehrwert des Nennerbruchs gelöst.

  Lösung

  In den Zeichnungen geben die dunkelgelben Kreise an, welche Zahl im Zähler des Doppelbruches steht. Die eingezeichneten Kreisteile geben an, durch welchen Bruch geteilt wird. Dann wurden die Doppelbrüche mit der Methode der Multiplikation mit dem Kehrwert des Nennerbruchs gelöst. Damit kannst du die Rechnungen so zuordnen:

  • Zu den zwei vollen Kreisen gehört:

  $\begin{array}{ll} \dfrac{2}{\frac{1}{4}} &= 2:\frac{1}{4} \\ &= 2 \cdot \frac{4}{1}\\ &=8\\ \end{array}$

  • Zu dem Halbkreis gehört:

  $\begin{array}{ll} \dfrac{\frac{1}{2} }{ \frac{1}{6}} &= \frac{1}{2} : \frac{1}{6} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{1}\\ &=\frac{6}{2}\\ &=3\\ \end{array}$

  • Und die Rechnung für die drei Halbkreise lautet:

  $\begin{array}{ll} \dfrac{\frac{3}{2} }{\frac{1}{6} }&= \frac{3}{2} :\frac{1}{6} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{1} \\ &= \frac{18}{2} \\ &=9 \end{array}$

• Erschließe, welche Rechnungen korrekt durchgeführt wurden.

  Tipps

  Bestimme, welche Aufgaben richtig gelöst wurden, indem du die Lösungen selbst bestimmst. Vereinfache dazu die Rechnungen in den Brüchen und multipliziere anschließend mit dem Kehrbruch.

  Lösung

  Bestimme, welche Aufgaben richtig gelöst wurden, indem du die Lösungen selbst bestimmst. Vereinfache dazu die Rechnungen in den Brüchen und multipliziere anschließend mit dem Kehrbruch. Dann erhältst du, dass diese Rechnungen falsch sind:

  • „$\dfrac{\frac{3-5}{8}}{\frac{9-3}{2}} \neq-\frac{1}{3}$"

  Hier erhältst du korrekterweise:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{\frac{3-5}{8}}{\frac{9-3}{2}}&=\dfrac{\frac{-2}{8}}{\frac{6}{2}}\\ &=\frac{-2}{8} \cdot \frac{2}{6}\\ &=\frac{-1}{4} \cdot \frac{1}{3}\\ &=-\frac{1}{12}\\ \end{array}$

  • „$\dfrac{\frac{12-4}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{5+8}} \neq\frac{13}{9}$"

  Hier lautet die Rechnung:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{\frac{12-4}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{5+8}}&=\dfrac{\frac{8}{3}}{\frac{6}{13}}\\ &=\frac{8}{3} \cdot \frac{13}{6}\\ &=\frac{4}{3} \cdot \frac{13}{3}\\ &=\frac{52}{9}\\ \end{array}$

  Diese Rechnungen wurden korrekt durchgeführt:

  • „$\dfrac{\frac{3 \cdot 2}{5-7}}{\frac{8}{3+5}}=-3$"

  • „$\dfrac{\frac{-3-5}{12}}{\frac{18-6}{2+3}}=-\frac{5}{18}$"

  • „$\dfrac{\frac{3-12}{2 \cdot 9 }}{\frac{-18}{9}}=\frac{1}{4}$"