Brüche multiplizieren

Brüche multiplizieren Übung

• Gib die korrekten Aussagen an!

  Tipps

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3~\cdot~ 1}{4~\cdot ~2}=\dfrac38$

  Du kürzt zum Beispiel bei der Aufgabe $\dfrac{7}{15}\cdot\dfrac{5}{21}$ zuerst $7$ und $21$ und anschließend $15$ und $5$.

  Lösung

  Diese Aussagen sind korrekt

  „Das Produkt zweier Brüche gibt den Bruchteil eines Bruchteils an.“

  Zum Beispiel:
  $~\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}$
  Hier wird also der Bruchteil $\dfrac{2}{5}$ von $\dfrac{1}{6}$ gesucht und das entspricht $\dfrac{1}{15}$.

  „Manchmal kann man vor dem Multiplizieren kürzen, um nicht mit zu großen Zahlen rechnen zu müssen.“

  Zum Beispiel:
  $~\dfrac{20}{35}\cdot\dfrac{14}{50} = \dfrac{{20}~\cdot~{14}}{{35}~\cdot~{50}} = \dfrac{20 \color{gold}{\,{:}\,10}\color{black}{~\cdot~14} \color{dodgerblue}{\,{:}\,7}}{35 \color{dodgerblue}{\,{:}\,7}\color{black}{~\cdot~50} \color{gold}{\,{:}\,10}} = \dfrac{2 ~\cdot~ 2}{5 ~\cdot~ 5} = \dfrac{4}{25}$

  Diese Aussagen sind nicht korrekt

  „Beim Multiplizieren zweier Brüche rechnen wir ‚Zähler mal Nenner‘ und ‚Nenner mal Zähler‘.“

  Die allgemeine Regel lautet: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.
  Zum Beispiel: $~\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{7} = \dfrac{{1}~\cdot~{2}}{{3}~\cdot~{7}} = \dfrac{2}{21}$

  „Man darf beim Multiplizieren zweier Brüche nie über Kreuz kürzen.“

  Es ist sogar vorteilhaft, vor dem Multiplizieren zu kürzen oder auch über Kreuz zu kürzen, um große Zahlen zu vermeiden.

  Zum Beispiel:
  $~\dfrac{64}{81}\cdot\dfrac{45}{24} =\dfrac{64 \color{gold}{\,{:}\,8}\color{black}{~\cdot~45} \color{dodgerblue}{\,{:}\,9}}{81 \color{dodgerblue}{\,{:}\,9}\color{black}{~\cdot~24} \color{gold}{\,{:}\,8}} = \dfrac{8~\cdot~5}{9~\cdot~3} = \dfrac{40}{27}$

• Gib die korrekte Lösung an.

  Tipps

  Du überlegst zuerst, wie das erste Quadrat aufgeteilt und markiert ist. Anschließend schaust du dir die hellblaue Markierung an und unterteilst sie gemäß dem zweiten Bruch.

  Das Ergebnis ist der Anteil vom ganzen Quadrat.

  Lösung

  Beispiel 1

  Den Anteil der hellblauen Fläche am großen Quadrat erhältst du, indem du zählst, aus wie vielen kleinen Quadraten sich die hellblaue Fläche und das große Quadrat zusammensetzen. Hier besteht die hellblaue Fläche aus $3$ kleinen Quadraten, während das große Quadrat $9$ kleine Quadrate enthält. Damit ist der Anteil $\frac{3}{9}$, also $\frac{1}{3}$. Jetzt suchst du nach dem rot markierten Anteil der hellblauen Fläche. Rot markiert sind $2$ von $3$ hellblauen Quadraten, das entspricht also $\frac{2}{3}$. Der Anteil der rot markierten Quadrate am großen Quadrat beträgt $\frac{2}{9}$.
  Es ist also folgende Aufgabe dargestellt:
  $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}$ = $\dfrac{2}{9}$

  
  

  Beispiel 2

  Diesmal besteht die hellblaue Fläche aus $9$ kleinen Quadraten, während das große Quadrat $36$ kleine Quadrate enthält. Damit ist der Anteil der hellblauen Fläche am großen Quadrat $\frac{9}{36}$, also $\frac{1}{4}$. Von den $9$ hellblau markierten Quadraten sind $5$ rot markiert, das entspricht einem Anteil von $\frac{5}{9}$. Der Anteil der rot markierten Quadrate am großen Quadrat ist $\frac{5}{36}$.
  Es ist also folgende Aufgabe dargestellt:
  $\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{5}{9}$ = $\dfrac{5}{36}$

• Ermittle das Produkt bei der Multiplikation zweier Brüche.

  Tipps

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{3}{4}= \dfrac{2~\cdot ~3}{6~\cdot ~4} = \dfrac{6}{24}$ = $\dfrac{1}{4}$

  Du rechnest immer Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

  Achte darauf, dass du vollständig kürzt.

  Lösung

  Beim Multiplizieren von Brüchen multiplizieren wir immer Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Um große Zahlen zu vermeiden, kann man vor dem Multiplizieren kürzen oder über Kreuz kürzen.

  Produkt: $~\dfrac 47$

  Diesem Produkt können wir folgende Multiplikationen zuordnen:

  $~\dfrac 27 \cdot \dfrac 21=\dfrac{2~\cdot ~2}{7~\cdot ~1}=\dfrac 47$

  $~\dfrac 41 \cdot \dfrac 17=\dfrac{4~\cdot ~1}{1~\cdot ~7}=\dfrac 47$

  Produkt: $~\dfrac 23$

  Diesem Produkt können wir folgende Multiplikationen zuordnen:

  $~\dfrac 23 \cdot \dfrac 33=\dfrac{2~\cdot~3}{3~\cdot~3}=\dfrac 69=\dfrac 23$

  $~\dfrac 39 \cdot \dfrac 21=\dfrac{3~\cdot~2}{9~\cdot~1}=\dfrac 69=\dfrac 23$

  Produkt: $~\dfrac 13$

  Diesem Produkt können wir folgende Multiplikationen zuordnen:

  $~\dfrac {2}{12} \cdot \dfrac 42 = \dfrac{2~\cdot ~4}{12~\cdot ~2} = \dfrac {8}{24} = \dfrac 13$

  $~\dfrac 46 \cdot \dfrac 24 = \dfrac{4~\cdot ~2}{6~\cdot ~4} = \dfrac {8}{24} = \dfrac 13$

• Gib den gekürzten Bruch an!

  Tipps

  Du musst über Kreuz kürzen und anschließend Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\dfrac{3}{11}\cdot\dfrac{33}{15}=\dfrac{3~\cdot ~33}{11~\cdot ~15}$

  Hier kannst du die Zahlen $11$ und $33$ sowie $3$ und $15$ kürzen. Dann erhältst du:

  $ \dfrac{1~\cdot ~3}{1~\cdot ~5} = \dfrac{3}{5}$

  Lösung

  Bei dieser Aufgabe musst du auch über Kreuz kürzen. Du kürzt den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs sowie den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs. So erhältst du die folgenden Rechnungen:

  Beispiel 1

  $\dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{21}{8} = \dfrac{2~\cdot~{21}}{7~\cdot~8} = \dfrac{2 \color{gold}{\,{:}\,2}\color{black}{~\cdot~21} \color{dodgerblue}{\,{:}\,7}}{7 \color{dodgerblue}{\,{:}\,7}\color{black}{~\cdot~8} \color{gold}{\,{:}\,2}} = \dfrac{1~\cdot~3}{1~\cdot~4} = \dfrac{3}{4}$

  Beispiel 2

  $\dfrac{55}{7}\cdot\dfrac{49}{55} = \dfrac{{55}~\cdot~{49}}{7~\cdot~{11}} = \dfrac{55 \color{gold}{\,{:}\,11}\color{black}{~\cdot~49} \color{dodgerblue}{\,{:}\,7}}{7 \color{dodgerblue}{\,{:}\,7}\color{black}{~\cdot~11} \color{gold}{\,{:}\,11}} = \dfrac{5~\cdot~7}{1~\cdot~1} = \dfrac{35}{1} = 35$

  Beispiel 3

  $\dfrac{25}{18}\cdot\dfrac{27}{35} = \dfrac{{25}~\cdot~{27}}{{18}~\cdot~{35}} = \dfrac{25 \color{gold}{\,{:}\,5}\color{black}{~\cdot~27} \color{dodgerblue}{\,{:}\,9}}{18 \color{dodgerblue}{\,{:}\,9}\color{black}{~\cdot~35} \color{gold}{\,{:}\,5}} = \dfrac{5~\cdot~3}{2~\cdot~7} = \dfrac{15}{14}$

• Nenne die allgemeine Regel für die Multiplikation von Brüchen.

  Tipps

  Der Zähler eines Bruchs ist die Zahl über dem Bruchstrich. Unter dem Bruchstrich steht der Nenner.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{20}$

  Lösung

  Brüche geben den Anteil an einem Ganzen an. Wenn man sie multipliziert, dann erhält man den Bruchteil eines Bruchteils. Die allgemeine Regel für das Multiplizieren von Brüchen lautet:

  Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner

  Ein Zahlenbeispiel könnte wie folgt aussehen:

  $\dfrac 25 \cdot \dfrac 13=\dfrac{2~\cdot ~1}{5~\cdot ~3}=\dfrac {2}{15}$

• Gib die Ergebnisse der Rechnung an!

  Tipps

  Auch hier gilt Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, nur dass hier drei Zähler und anschließend drei Nenner miteinander multipliziert werden.

  Du kannst hier immer den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des dritten Bruchs kürzen. Es gibt aber auch weitere Zahlen, die sich kürzen lassen.

  Lösung

  Grundsätzlich kann man hier über Kreuz kürzen, um größere Zahlen zu vermeiden.

  Beispiel 1

  Hier kannst du jeweils $6$ und $24$ sowie $7$ und $14$ miteinander kürzen. Der größte gemeinsame Teiler von $6$ und $24$ ist $6$. Von $7$ und $14$ ist der größte gemeinsame Teiler $7$. Damit folgt:

  $\dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{14}{17}\cdot\dfrac{1}{24} = \dfrac{6\cdot{14}\cdot{1}}{7\cdot{17}\cdot{24}} = \dfrac{6 \color{gold}{\,{:}\,6}\color{black}{~\cdot~14} \color{dodgerblue}{\,{:}\,7}\color{black}{~\cdot~1}}{7 \color{dodgerblue}{\,{:}\,7}\color{black}{~\cdot~17 ~\cdot~ 24} \color{gold}{\,{:}\,6}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 2 \color{lightsalmon}{\,{:}\,2}\color{black}{~\cdot~ 1}}{1 ~\cdot~ 17 ~\cdot~ 4\color{lightsalmon}{\,{:}\,2}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 1 ~\cdot~ 1}{1 ~\cdot~ 17 ~\cdot~ 2} = \dfrac{1}{34}$

  Beispiel 2

  Hier kannst du jeweils $5$ und $35$ sowie $8$ und $4$ miteinander kürzen. Der größte gemeinsame Teiler von $5$ und $35$ ist $5$. Von $8$ und $4$ ist der größte gemeinsame Teiler $4$. Damit folgt:

  $\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{1}{35} = \dfrac{5\cdot{8}\cdot{1}}{4\cdot{9}\cdot{35}} = \dfrac{5 \color{gold}{\,{:}\,5}\color{black}{~\cdot~8} \color{dodgerblue}{\,{:}\,4}\color{black}{~\cdot~1}}{4 \color{dodgerblue}{\,{:}\,4}\color{black}{~\cdot~9 ~\cdot~ 35} \color{gold}{\,{:}\,5}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 2 ~\cdot~ 1}{1 ~\cdot~ 9 ~\cdot~ 7} = \dfrac{2}{63}$

  Beispiel 3

  Hier kannst du jeweils $6$ und $24$ sowie $7$ und $14$ miteinander kürzen. Der größte gemeinsame Teiler von $6$ und $24$ ist $6$. Von $7$ und $14$ ist der größte gemeinsame Teiler $7$. Damit folgt:

  $\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{18}{16} = \dfrac{4\cdot{1}\cdot{18}}{9\cdot{3}\cdot{16}} = \dfrac{4\color{gold}{\,{:}\,4}\color{black}{~\cdot~ 1 ~\cdot~ 18} \color{dodgerblue}{\,{:}\,9}}{9 \color{dodgerblue}{\,{:}\,9} \color{black}{~\cdot~ 3 ~\cdot~ 16\color{gold}{\,{:}\,4}}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 1 ~\cdot~ 2\color{lightsalmon}{\,{:}\,2}}{1 ~\cdot~ 3 ~\cdot~ 4\color{lightsalmon}{\,{:}\,2}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 1 ~\cdot~ 1}{1 ~\cdot~ 3 ~\cdot~ 2} = \dfrac{1}{6}$