Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Grafische Verfahren zum Lösen quadratischer Gleichungen
• Quadratische Gleichungen mit zwei Lösungen
• Grafisches Lösen mithilfe einer Wertetabelle
• Grafisches Lösen durch Bestimmung der Schnittpunkte
• Quadratische Gleichungen mit einer Lösung
• Quadratische Gleichungen mit keiner Lösung

Grafische Verfahren zum Lösen quadratischer Gleichungen

Anhand von Beispielen betrachten wir, wie man die Lösungsmenge quadratischer Gleichungen zeichnerisch bestimmen kann. Hierzu betrachten wir quadratische Gleichungen mit

• zwei Lösungen,
• einer Lösung und
• keiner Lösung.

Zu jedem Beispiel betrachten wir zwei Methoden, mit denen man eine quadratische Gleichung grafisch lösen kann.

Quadratische Gleichungen mit zwei Lösungen

Zunächst haben wir mit der Gleichung $x^{2} - 4x + 3 = 0$ die Normalform einer quadratischen Gleichung gegeben. Wir können sie als folgende Funktion auffassen:

$f(x) = x^{2} - 4x + 3$

Nun können wir diese mithilfe einer grafischen Methode lösen.

Grafisches Lösen mithilfe einer Wertetabelle

Es liegt nun nahe, zunächst eine entsprechende Wertetabelle anzufertigen. Anschließend tragen wir die Punkte aus der Wertetabelle in ein Koordinatensystem ein. Da es sich hierbei um eine Normalparabel handelt, benutzen wir zum Verbinden der Punkte die Parabelschablone.

Die Parabel schneidet die $x$-Achse zweimal, und zwar bei $1$ und $3$. Diese beiden $x$-Werte sind die Nullstellen der Funktion und gleichzeitig die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung $x^{2} - 4x + 3 = 0$. Wir erhalten somit folgende Lösungsmenge:

$\mathbb{L} = \{1;3\}$

Dieses Verfahren lässt sich auch auf kompliziertere quadratische Gleichungen anwenden. Wir betrachten nun folgende quadratische Gleichung:

$2x^{2} + x = 3x + 1,5$

Da diese quadratische Gleichung nicht in der allgemeinen Form $ax^{2}+bx+c=0$ vorliegt, muss sie zunächst entsprechend umgeformt werden. Es folgt dann:

$\begin{array}{llll} 2x^{2} + x &=& 3x + 1,5 & \vert -3x \\ 2x^{2} - 2x &=& 1,5 & \vert -1,5 \\ 2x^{2} - 2x - 1,5 &=& 0 & \end{array}$

Die linke Seite der Gleichung fassen wir als Funktion auf und schreiben dafür:

$f(x) = 2x^{2} - 2x - 1,5$

Nach Erstellen einer Wertetabelle und Eintragen der berechneten Punkte in das Koordinatensystem erhalten wir wie im ersten Beispiel den Graphen der Funktion.

Diesem Funktionsgraphen können wir nun die Schnittstellen mit der $x$-Achse entnehmen und erhalten folgende Lösungsmenge der betrachteten quadratischen Gleichung:

$\mathbb{L} = \{-0,5;1,5\}$

Grafisches Lösen durch Bestimmung der Schnittpunkte

Statt aufwändig eine Wertetabelle anzufertigen, können wir auch anders vorgehen. Hierbei wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass $x^{2}$ alleine auf einer Seite der Gleichung steht. Wir stellen die Gleichung also wie folgt um:

$\begin{array}{llll} 2x^{2} + x &=& 3x + 1,5 & \vert -x \\ 2x^{2} &=& 2x+1,5 & \vert :2 \\ x^{2} &=& x+0,75 & \end{array}$

Nun betrachten wir die beiden Seiten der quadratischen Gleichung als getrennte Funktionsgleichungen. Dazu nehmen wir Folgendes an:

$\begin{array}{lll} f(x) &=& x^{2} \\ g(x) &=& x + 0,75 \end{array}$

Nun haben wir die quadratische Funktion $f$ einer Normalparabel und die lineare Funktion $g$ einer Geraden. Die Graphen beider Funktionen werden in ein Koordinatensystem gezeichnet. Die Graphen schneiden sich zweimal. Die $x$-Werte $x_{1} = -0,5$ und $x_{2} = 1,5$ dieser Schnittpunkte entsprechen der Lösung der ursprünglichen quadratischen Gleichung.

Diese beiden Lösungen haben wir bereits bei der Methode mit der Wertetabelle erhalten.

Quadratische Gleichungen mit einer Lösung

Es gibt auch Fälle, bei denen die quadratische Gleichung nur eine Lösung hat. Für den Graphen der Funktion bedeutet das, dass der Schnittpunkt mit der $x$-Achse gleichzeitig der Scheitelpunkt der Parabel ist.

Für das bessere Verständnis betrachten wir die folgenden quadratischen Gleichungen:

$\begin{array}{lllll} 1) && x^{2} - 2x + 1 &=& 0 \\ 2) && x^{2} - 6x + 9 &=& 0 \end{array}$

Wir können hier die zweite binomische Formel erkennen und sparen uns diesmal das Erstellen von Wertetabellen. Aus den zwei quadratischen Gleichungen lassen sich wie folgt Funktionen in Scheitelpunktform herstellen:

$f(x) = (x - 1)^{2}$ mit dem Scheitelpunkt $S(1|0)$

$g(x) = (x - 3)^{2}$ mit dem Scheitelpunkt $S(3|0)$

Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts ist die einzige Nullstelle der jeweiligen Funktion und entsprechend auch die einzige Lösung der zugehörigen quadratischen Gleichung. Wir können die beiden Funktionsgraphen mit der Parabelschablone zeichnen, da es sich um verschobene Normalparabeln handelt.

Quadratische Gleichungen mit keiner Lösung

Und was passiert, wenn die quadratische Gleichung keine Lösung hat?

Für die grafische Lösung bedeutet das: Die Parabel schneidet die $x$-Achse nicht, besitzt also auch keine Nullstelle. Somit hat die entsprechende quadratische Gleichung keine Lösung, wie man an dem folgenden Beispiel erkennen kann:

$x^{2} + 2 = 0$

Wir schreiben diese Gleichung wieder als eine Funktion $f(x) = x^{2} + 2$. Der Graph dazu lässt erkennen, dass es keine Nullstellen gibt.