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Kreuzprodukt – Definition
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Grundlagen zum Thema Kreuzprodukt – Definition
Kreuzprodukt – Definition
Das Kreuzprodukt, auch Vektorprodukt genannt, ist eine Rechenoperation, die aus zwei Vektoren einen dritten Vektor berechnet. Dieser neu berechnete Vektor erfüllt bestimmte Eigenschaften.
Das Kreuzprodukt hat als Ergebnis einen Vektor. Daher kommt der Name. Es wird auch als vektorielles Produkt, Vektorprodukt oder äußeres Produkt bezeichnet.
Wir fassen zunächst diese Eigenschaften zusammen, um uns dann mit der Rechenvorschrift und den Rechenregeln für Kreuzprodukte zu beschäftigen.
Wusstest du schon?
Das Kreuzprodukt wird in der Informatik verwendet, um Computergrafiken zu erstellen. Wenn du ein Videospiel spielst, hilft das Kreuzprodukt dabei, die Position und Ausrichtung von Objekten im Raum zu berechnen. Dank dieser mathematischen Operationen wirken Szenen in Videospielen besonders lebendig und realistisch!
Kreuzprodukt – Vektoren
Ein Vektor, zum Beispiel $\vec a$, in dem euklidischen Raum $\mathbb{R}^3$ hat drei Koordinaten. Diese Koordinaten werden entweder mit den Indizes $1$, $2$, $3$ oder auch mit $x$, $y$, $z$ bezeichnet und spaltenweise aufgeschrieben.
Der Vektor $\vec a$ sieht im $\mathbb{R}^3$ so aus:
$\vec a=\begin{pmatrix} a_1 \ a_2\ a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_x \ a_y\ a_z \end{pmatrix}$.
Das Kreuzprodukt ist nur für Vektoren im $\mathbb{R}^3$ definiert.
Kreuzprodukt – Eigenschaften
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ordnet diesen einen Vektor $\vec{c}$ zu, der die folgenden Eigenschaften hat:
- Der Vektor $\vec{c}$ steht senkrecht auf den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$:
$\vec{c} \in \mathbb{R}^{3} ~ \text{mit} ~ \vec{c} \perp \vec{a} ~ \text{und} ~ \vec{c} \perp \vec{b}$ - Die Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ bilden ein Rechtssystem.
- Die Länge des Vektors $\vec{c}$ entspricht der Fläche des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms: $| \vec{c} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin (\angle (a,b)) $
Das Rechtssystem können wir uns folgendermaßen veranschaulichen: Wenn der Daumen der rechten Hand in Richtung des Vektors $\vec{a}$ zeigt und der Zeigefinger in Richtung des Vektors $\vec{b}$, dann zeigt der senkrecht dazu ausgestreckte Mittelfinger in Richtung des Vektors $\vec{c}$.
Fehleralarm
Das Kreuzprodukt ist nur für dreidimensionale Vektoren definiert. Ein gängiger Fehler ist die Anwendung auf zweidimensionale. Im Zweidimensionalen gibt es jedoch nur das Skalarprodukt.
Kreuzprodukt – Formel
Das Kreuzprodukt der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ kann nach folgender Rechenvorschrift berechnet werden:
$ \begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2\\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1\\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} $
Wusstest du schon?
Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ– das gilt auch für das Rechnen mit Matrizen. Das bedeutet, dass das Kreuzprodukt von Vektor $\vec{a}$ mit Vektor $\vec{b}$ zu einem anderen Ergebnis führt als das Kreuzprodukt von Vektor $\vec{b}$ mit Vektor $\vec{a}$ – also:
$\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}$
Das ist ein wenig wie die Chiralität deiner Hände: Du kannst die linke Hand nicht so drehen, dass sie mit der rechten Hand deckungsgleich wird.
Kreuzprodukt – Herleitung
Die Herleitung des Kreuzprodukts bzw. der Formel zur Berechnung erfolgt anhand der genannten Bedingungen, insbesondere (1) und (3).
Eine vereinfachte Form der Herleitung, die lediglich auf der ersten Eigenschaft des Kreuzprodukts beruht, haben wir an anderer Stelle gezeigt.
Kreuzprodukt – Beispiel
Wir berechnen ein einfaches Beispiel, um die Rechenvorschrift zu üben. Gegeben seien die folgenden Vektoren:
$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ~ \text{und} ~ \vec{b} = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $
Wir wenden auf diese beiden Vektoren die Regel zur Berechnung des Kreuzprodukts an:
$ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1\\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec{c} $
An diesem Beispiel sehen wir, dass die oben genannten Eigenschaften durch den berechneten Vektor erfüllt sind: Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ zeigen gerade in die Richtungen der $x$- und $y$-Achsen eines dreidimensionalen Koordinatensystems, der Vektor $\vec{c}$ in Richtung der $z$-Achse – sie stehen also alle im rechten Winkel zueinander. Dieses Koordinatensystem ist außerdem ein Rechtssystem. Die Länge des Vektors $\vec{c}$ beträgt genau $1$. Das entspricht der Fläche des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms. Da die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ im rechten Winkel zueinander stehen, spannen sie gerade ein Quadrat mit Seitenlänge $1$ auf.
Ausblick – das lernst du nach Kreuzprodukt
Weiter geht es mit Linearkombinationen! Darauf aufbauend führen dich Vektorräume tiefer hinein in die faszinierende Welt der Vektorrechnung. Erfahre, wie das Kreuzprodukt zur Lösung realer Probleme beiträgt. Lerne weiter und erlebe Mathematik hautnah!
Zusammenfassung des Kreuzprodukts
- Das Kreuzprodukt ist eine Operation mit zwei Vektoren, welche einen dritten Vektor zum Ergebnis hat.
- Der Ergebnisvektor steht senkrecht auf den beiden Vektoren des Kreuzproduktes.
- Das Kreuzprodukt gilt nur im $\mathbb{R}^3$.
- Eine Herleitung der Formel des Kreuzproduktes ist möglich über den Sachverhalt, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren null ist, wenn diese senkrecht zueinander stehen.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreuzprodukt
Das Kreuzprodukt ist eine mathematische Operation, die auf zwei Vektoren angewendet wird und einen neuen Vektor ergibt.
Das Kreuzprodukt wird in verschiedenen Bereichen wie Geometrie, Physik und Ingenieurwesen verwendet, um Flächeninhalte, Normalenvektoren und Drehmomente zu berechnen.
Das Vektorprodukt wird durch Anwendung einer speziellen Formel auf zwei Vektoren berechnet, entweder in Komponentenform oder geometrisch mittels der Rechte-Hand-Regel. Die resultierenden Vektoren erfüllen bestimmte Eigenschaften.
Das Skalarprodukt ergibt eine skalare Größe, während das Kreuzprodukt einen Vektor liefert. Das Skalarprodukt misst die projektive Länge zweier Vektoren, während das Kreuzprodukt den Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms berechnet.
Das Kreuzprodukt hat bestimmte Eigenschaften wie die Länge des resultierenden Vektors, Rechenregeln für die Multiplikation mit Skalaren sowie das Assoziativ- und Distributivgesetz. Diese Eigenschaften sind für die Anwendung des Kreuzprodukts von Bedeutung.
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30 Tage kostenlos testenKreuzprodukt – Definition Übung
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Definiere das Vektorprodukt.
TippsDu kannst die Vektoren zweimal untereinander schreiben und die erste und letzte Zeile streichen:
$\begin{array}{c} \not{a_{1}}\\ a_2\\ a_3\\ a_1\\ a_2\\ \not{a_3} \end{array} \begin{array}{c} \times\\ \times\\ \times \end{array} \begin{array}{c} \not{b_1} \\ b_2\\ b_3\\ b_1\\ b_2\\ \not{b_3} \end{array}$
Zunächst werden die zweite und dritte Koordinate über Kreuz multipliziert und die Produkte subtrahiert, dann die dritte und erste und zuletzt die erste und zweite.
LösungDas Vektorprodukt ist wie folgt definiert:
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.
Diese Definition kann man sich wie folgt einprägen:
$\begin{array}{c} \not{a_1}\\ a_2\\ a_3\\ a_1\\ a_2\\ \not{a_3} \end{array} \begin{array}{c} \times\\ \times\\ \times \end{array} \begin{array}{c} \not{b_1} \\ b_2\\ b_3\\ b_1\\ b_2\\ \not{b_3} \end{array}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$
Das bedeutet,
- man schreibt den jeweiligen Vektor zweimal übereinander und
- streicht die erste und letzte Zeile.
- Nun werden immer über Kreuz die Koordinaten multipliziert und subtrahiert.
-
Berechne das Vektorprodukt.
TippsDas Vektorprodukt ist definiert als:
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$
Schreibe negative Werte immer in Klammern.
LösungDas Vektorprodukt ist wie folgt definiert:
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.
Nun muss man die Vektoren ersetzen:
$\begin{pmatrix} 1 \\-2\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (-2)\cdot (-2)-3\cdot 0 \\ 3\cdot 2-1\cdot (-2) \\ 1\cdot 0-(-2)\cdot 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 8\\ 4 \end{pmatrix}$.
-
Prüfe, welcher Vektor orthogonal zu einem der vorgegebenen Vektoren ist.
TippsZwei Vektoren sind orthogonal, bedeutet:
$\vec u \perp \vec \Leftrightarrow \vec u \cdot \vec v=0$.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist wie folgt definiert:
$\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2\\ u_3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix} =u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3$.
Du kannst einen zu einem Vektor senkrechten Vektor finden, indem du eine Koordinate auf $0$ setzt, die beiden anderen Koordinaten vertauschst und bei einer Koordinate das Vorzeichen wechselst.
Zum Beispiel:
$\vec v=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$,
dann steht der Vektor
$\vec u=\begin{pmatrix} 0 \\ 3\\ -2 \end{pmatrix}$
senkrecht auf $\vec v$.
Wenn ein Vektor $\vec v$ senkrecht auf den Vektor $\vec u$ steht, so steht auch jedes Vielfache von $\vec v$ senkrecht auf $\vec u$.
Ein Vektor steht weder auf $\vec a$ noch auf $\vec b$ senkrecht.
LösungUm zu überprüfen, ob zwei Vektoren orthogonal sind, berechnet man das Skalarprodukt. Dieses muss $0$ sein.
(1)
$\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2\\ 1 \end{pmatrix}=1\cdot 0+1\cdot(-2)+2\cdot 1=0$.
Bei diesen beiden Vektoren kann man erkennen, dass der zweite aus dem ersten hervorgeht durch
- erste Koordinate gleich $0$ setzen,
- Vertauschen der zweiten und dritten Koordinate sowie
- Vertauschen des Vorzeichens in der zweiten Koordinate.
$\begin{pmatrix} 3 \\-2\\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=3\cdot 1+(-2)\cdot1+(-1)\cdot 1=0$.
(3)
$\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\neq0$ und
$\begin{pmatrix} 3 \\ -2\\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\neq0$.
(4)
$\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3\\ 0 \end{pmatrix}=1\cdot (-3)+1\cdot(-3)+2\cdot 0=0$.
(5)
$\begin{pmatrix} 3 \\-2\\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ 0 \end{pmatrix}=3\cdot 2+(-2)\cdot3+(-1)\cdot 0=0$.
-
Bestimme einen zu den beiden Vektoren senkrechten Vektor durch das Vektorprodukt.
TippsBeachte:
- das Vektorprodukt zweier Vektoren ist eindeutig,
- ein zu zwei Vektoren orthogonaler Vektor ist nicht eindeutig, da jedes beliebige Vielfache des orthogonalen Vektors auch wieder orthogonal ist.
Es genügt nicht zu überprüfen, welcher Vektor orthogonal zu den beiden vorgegebenen Vektoren ist.
Es gilt $\vec a \times \vec b=-\vec b \times \vec a$.
LösungDas Vektorprodukt ist wie folgt definiert:
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.
Das Ergebnis des Vektorproduktes ist eindeutig. Wird die Reihenfolge der Multiplikation vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen in jeder Koordinate des Vektors.
Nun muss man die Vektoren ersetzen:
$\begin{pmatrix} 1 \\1\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ -2\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot (-1)-2\cdot (-2) \\ 2\cdot 3-1\cdot (-1) \\ 1\cdot (-2)-1\cdot 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 7\\ -5 \end{pmatrix}$.
Ob der gefundene Vektor tatsächlich orthogonal zu den beiden Vektoren steht, kann mit dem Skalarprodukt überprüft werden.
$\begin{pmatrix} 1 \\1\\2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3\\ 7\\ -5 \end{pmatrix}=1\cdot 3+1\cdot 7+2\cdot (-5)=0~\surd$.
$\begin{pmatrix} 3 \\-2\\-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3\\ 7\\ -5 \end{pmatrix}=3\cdot 3+(-2)\cdot 7+(-1)\cdot (-5)=0~\surd$.
-
Ergänze die Bedeutung des Vektorproduktes.
TippsDas Vektorprodukt von $\vec a=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 2 \end{pmatrix}$ ist $\vec n=\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ -1 \end{pmatrix}$.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren liefert eine Zahl, einen Skalar.
Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.
LösungWenn man zu zwei gegebenen Vektoren einen Vektor finden muss, welcher senkrecht, das heißt orthogonal, zu den beiden Vektoren steht, so kann man dies durch Lösen von Gleichungen tun.
Dies geht einfacher: mit dem Vektorprodukt.
Das Vektorprodukt zweier Vektoren, $\vec a$ und $\vec b$, liefert einen Vektor, $\vec n$, im Gegensatz zu dem Skalarprodukt, welches einen Skalar liefert.
Dieser Vektor ist orthogonal zu den beiden Vektoren, welche multipliziert werden. Das heißt:
- $\vec n \perp \vec a$ und
- $\vec n \perp \vec b$.
-
Berechne das Vektorprodukt der beiden Vektoren.
TippsDas Vektorprodukt ist wie folgt definiert:
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.
Du kannst überprüfen, ob dein Ergebnis stimmt: Das Skalarprodukt des Ergebnisvektors mit jedem der beiden multiplizierten Vektoren muss $0$ sein.
LösungUnter Verwendung der Definition des Vektorproduktes
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$
erhält man die folgende Rechnung.
$\begin{pmatrix} 0 \\ 11\\ 3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 5 \\ -1\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11\cdot3-3\cdot(-1) \\ 3\cdot 5-0\cdot 3\\ 0\cdot(-1)-11\cdot 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 36 \\ 15 \\ -55 \end{pmatrix}$
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Kurze Frage von meinen SuS: Wie hast du die Videos aufgenommen?
Du hast in dem Gleichungssystem nur 2 Gleichungen, aber 3 Variablen. Du kannst hier eine der drei Variablen frei wählen, da du das Gleichungssystem sonst nicht lösen kannst. In dem Fall ist es nicht wichtig, welche der Variablen du wählst. Du kannst dir einfach eine aussuchen. Man hätte also auch n1 oder n2 wählen können. Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.
Was bedeutet : Die Komponenten des Normalenvektors n1, n2 und n3 erfüllen eine Gleichungssystem mit zwei Gleichungen. ?
Warum ist n3 gleich 1? (at ca. 2:05)
@Dzj71: Die Komponenten des Normalenvektors n1, n2 und n3 erfüllen eine Gleichungssystem mit zwei Gleichungen. Damit kannst du eine Variable frei wählen, z.B. n3=1. Du hättest aber auch n1=1 oder n2=5 setzen können.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.